Integrale doppio

0) \( \int \left\lVert \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial u} \times \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial v} \right\rVert du dv = \int \langle F(\bar{\sigma}(u,v)), \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial u} \times \frac{\partial \bar{\sigma}}{\partial v} \rangle du dv \)

Integrale doppio (o di area)

Voglio calcolare il volume sotteso dal grafico di una f(z=area)

E = [a,b] x [c,d]

f ≥ 0, f continua su E

Definiamo una partizione di E in sottoaree

Ri=[ai, bi] x [ci, di] di ampiezza _i = Area(Ri) ∀i=1...N

con Ri ∩ Rj = ∅ se i ≠ j

La somma di Riemann associata alla partizione di E

Sp(f) = \(\sum_{i=1}^{N} f(\alpha_i, \beta_i) \Delta\)

Volume parallelepipedo costruito su Ri di altezza f(αi, βi)

\(Sp(f) \xrightarrow{\Delta \to 0} \iint\limits_{E} f(x,y) dx dy \) indipendentemente da Δ

Se E è un rettangolo

\(e = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx\)

0) ^∂x⁄_∂u x ^∂x⁄_∂v du dv = ^{〈F(σ(u,v))〉 ∂x}⁄_∂u x ^∂x⁄_∂v du dv

Integrale doppio (o di area)

Voglio calcolare il volume sotto al grafico di una funzione

f in 2 variabili:

E = [a,b] x [c,d]

f ≥ 0, f continua su E

Definiamo una partizione di E in sottoinsiemi

Ri = [ai,bi) x [ci,di) di ampiezza Δ = Area(Ri) V i = 1...N

con 2i ∩ 2j = Φ se i ≠ j

La somma di Riemann associata alla partizione di E

è S_P(f) = ^N ∑ _i=1 f(ai, ci). Δ

Volume parallelepipedo costruito su Pi di altezza f(ai, ci)

S_P(f) → ∬ f(x,y) dx dy approssimativamente

dopo E

Se E è un rettangolo

a volumentto di altezza sotto al grafico di f

relativamente alla striscia [x, x+Δx) x [c,d]

e' ≈ ^{_c ∫}_d f(x,y) dy Δx

Visto in 3D

DEF: Se E è un rettangolo , E = [ a, b ] x [ c, d ], f continua , f : E → R , l' integrale di Riemann di f corrisponde a

∫_a^b(∫_c^df ( x, y ) dy) dx = (∫_c^d(∫_a^bf ( x, y ) dx) dy = ∫∫ f ( x, y ) dx dy

ES: Sia f ( x, y ) = e^x/y 1/y³ 1 < x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2

calcolare l'integrale.

∫∫_Ef dx dy = (∫₁²(∫₁²e^x/y 1/y³ dx) dy = (∫₁²[ e^x/y y/y³ ]₁²) dy =

= ∫₁²e^2/y-e^1/y dy = ∫₁² 1/y² e^2/y e^-1/y dy = 1/y²

[-1/2 e^-2/y + e 1/y²]₁² = [-1/2 e^-2/y + e 1/y²]1² =

= - 1/2 e + e^1/2 + 2 e - 1/2 e - 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e + 1/2 e

Riesciamo ora il caso in cui il dominio E mediante un pentagono

∑_i=1^N mis ( Ri ) ≤ mis ( E ) < ∑_Nⁱ⁼¹ mis ( Ri )

E è misurabile secondo Riemann x la proiettiva di E è di misura 0

(area nulla ha area) ∀ ε > 0 ∃ ricoprimento di rettangoli a due a due disgiunti di ∂ E ( frontiera di E )

tale che   Σ mis(E_i) < ε.

Per definire   ∫∫_E f(x,y) dxdy, consideriamo una partizione approssimante di dominio   E, costituita da rettangoli   [R_i]

          ∫∫_E f(x,y) dxdy = lim_N→∞ Σ^N_i=1   ∫∫_Ri f(x,y) dxdy.

Domini normali

• rispetto all'asse x:   E = {(x,y) ∈ ℝ² /  α < x < b,  μ(x) < y < ρ(x)}  

   con  α, β ∈ [a,b] →ℝ, continue

     y

   x

• rispetto all'asse y: E = {(x,y) ∈ ℝ² / δ(y) < x < ψ(y) , c < y < d}

INTEGRALI SU DOMINI NORMALI

• normale all'asse x

      ∫∫_E f(x,y) dxdy = ∫_a^b(x) ( ∫_κ(x)^μ(x) f(x,y) dy) dx

• normale all'asse y

      ∫∫_E f(x,y) dxdy = ∫_c^δ(y) ( ∫_ψ(y)^d f(x,y) dx) dy

Es:

f(x,y) = x y²

E

• { (x,y) ∈ ℝ² / 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ x }
• { (x,y) ∈ ℝ² / 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ √y }

risolviamo ⛭

∬E f(x,y) dx dy = ∫01 ( ∫x2x x y2 dy ) dx = x [ y3/3 ]x2x =

- ∫₀¹ (x³/3 - x⁵/3 ) dx

Proprietà

I. ∬_D (A f + B g) dx dy = A ∬_D f dx dy + B ∬_D g dx dy LINEARITÀ

  ∀ f ≥ g ⇔ ∬_D f(x,y) dx dy ≥ ∬_D g(x,y) dx dy

II. ADDITIVITÀ RISPETTO AL DOMINIO D. D = D₁∪D₂ / D₁∩D₂ = ∅ (oppure ci può mancare l'assioma di calunni)

∬_D f(x,y) dx dy = ∬_D1 f dx dy + ∬_D2 f dx dy

Ex

MOMENTO D'INERZIA DI UNA LAMINA DI FORMA CIRCOLARE

Supponiamo la densita β = cost.

I = ∬_D m (x²+ y²) dx dy

- R ≤ x ≤ θ

I = ∫_{-√(R²-x²)}^√(R2-x2) ( ∫_-R^R m (x²+ y²) dy ) dx = (mx²y + m y³/3)_B dx =

= m ∫_-R^R 2x²√(R²-x²) + 2/3 (R²-x²)³ dx sostiture x = Rcosθ

In generale I = ∬ [(x-x_o)²+(y-y_o)²]ρ(x,y) dxdy

EX BARYCENTER della SUPERFICIE Σ={(x,y,z)∈ℝ³/x²+y²≤1, z=3∖ 1/4}

_{con DENSITÀ SUPERFICIALE COSTANTE} b

Parametro di Σ σ/D⊆ℝ²→ℝ³, σ(D)=Σ

σ(u,v)=(u,v,3-v) , u²+v²≤1

x_B = ∬ x ρdσ =        ∥_D u -v uduv ∥

∬ ρdσ    e' la massa   ∥_D ∂σ ∥

y_B = ∥_D v ∥

Calcoliamo x_B

∂σ/∂u = (1,0,0)  ∂σ/∂v = (0,-1,-1)

∂σ/∂u × ∂σ/∂v = √2       σ

∬_D u √2 du dv

= ∬_D mu.du dv = ∬_D mu.du dv/σ

L'integrale ^B ∫∫ μ dv dv vale zero poiché il campo in una struttura di volumi

O e O₁ annullano

B = (0, 0, b)

Flusso del campo elettrico puntiforme attraverso una

sfera di centro (0, 0, 0) e raggio R.

bisogna dare un orientamento alla sup

E(x, y, z) = ^q/_{4πε0 (x²+y²+z²)^3/2}

x(θ, φ) = R sinθ cosφ

y(θ, φ) = R sinθ sinφ

z(θ, φ) = R cosθ

0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π

D = [0, π] x [0, 2π]

( ∫∫ E·n dΣ = ∫∫ E·σ(θ, φ)

Calcoliamo il vettore 1 alla sfera

Dato un trip (x, y, z) il vettore sarà

V = ( ^x / _R, ^y / _R, ^z / _R )

x _∂σ x ^∂σ = det

= det |

θ

c Rcosθy Rcosθφ -R sinθ

Rsinyφ Rsiny sinθy Rcosθy 0

=(r²sin²θ cosφ, r²sin²θ sinφ, r²sinθ cosφ) =

= R sinθ σ(Θ, φ)

Calcoliamo qϕ al punto

τ = σ (ϑ, φ) = _q/_4πε0 σ (ϑ, φ) / R³

∫Eσ σ (ϑ, φ) 2π x 2π = q /_4πε0 ⇒ σ (ϑ, φ), risulto σ (ϑ, φ)) = q /_4πε0

⟨σ (ϑ, φ), σ (ϑ, φ)⟩ = q /_4πε0 . sin ϑ

∥σ∥² = R²

∬₀^2π∫₀^π q /_4πε0 sin ϑ dϑdφ = q /_4πε0 ∫₀^π sin ϑ. 2π dϑ =

= q /_4πε0 [-cosϑ]₀^π 2π = q / ε₀

cambiamento di coordinate negli integrali doppi

Φ: A⊂R²→D⊂R² con A,D aperti Φ invertibile (invertente)

Φ∈C¹(A), Jφ invertibile nei pt di A

Dunque, allora ∫_Df(x,y) dxdy = ∫_A(f o φ(u,v) |det Jφ(u,v)| du dv)

EX Coordinate Polari

{ x = ρcosϑ con ρ > 0 , 0 ≤ ϑ ≤ 2π

y = ρsinϑ

Le coordinate polari vengono spesso utilizzate

per risolvere gli integrali su un dominio limitazioni da uno

Ciocia le PC waarbij = personale Cross paese da 0 a 1

cercleare per venner e necessario da 0 a 1

Ex:

Calcolare ∫∫ (x² + y³) dA

dA = |Jpq| ρ dθ dρ

Minimiziamo le coordinate:

• x = ρcosθ
• y = ρsinθ
• 0 ≤ θ ≤ π

Variare: Coordi ellittiche

x = a ρcosθ

y = b ρsinθ

|det Jpq| = a.b ρ

Ex: Area dell'ellisse

A = ∫∫ | J | dA;

= ∫∫ abρ dθ dρ = πa.b

Es: Parallelogrammo