Integrale doppio

0) ∫∫_{E ∂τ}/^∂u × _∂τ/^∂v dudV = ∫∫₀⁰ (([F(σ(u,v)], _∂τ/^∂u × _∂τ/^∂v) dudV

INTEGRALE DOPPIO (o di area)

Voglio calcolare il volume sotteso dal grafico di una funzione.

E = [a,b]×[c,d]

f≥0, f continua su E

Definiamo una partizione di E in sottoinsiemi R_i = [a_i,b_i] × [c_i,d_i]

di ampiezza Δ_i = Area (R_i) ∀i=1...N

con i∩R_j = φ se i ≠ j

La somma di Riemann associata alla partizione di E è S_P (f) = ∑^N_i=1 f (α_i,β_i) Δ_i

Volume parallelepipedo costruito su Pi di altezza f α_i,ai

S_P(f) −−−−> ∬_E f(x,y) dxdy man mano che Δ −> 0

Se E è un rettangolo

E

a volumeetto di altezza sotto grafico di f

relativamente alla striscia [x, x + Δx] ×[c,d]

E ≈ ∫^d_c f(x,y) dy ⋅ Δx

Visto in 3D:

DEF: Se E è un rettangolo, E=[a,b] x [c,d], f continua, f: E → ℝ l'integrale di Riemann di f corrisponde a

∫_a^b(∫_c^df(x,y)dy)dx = (∫_c^d(∫_a^bf(x,y)dx)dy) = ∬_Ef(x,y)dxdy

ES: Sia f(x,y) = e^x/y ₁/y³, 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2

Calcolare l'integrale.

∬_Ef⭑dxdy = ∫₁²(∫₁²e^x/y₁/y³dx)dy = ∫₁²[₁/y³e^x/y]y₁²dy =

= ∫₁²_1/y²(e^2/y - e^1/y)dy = ∫₁²_1/y²e^2/ydy - ∫₁²_1/y²e^1/ydy =

= [ -_1/2e^2/y + e_1/y ] ₁² = -_1/2e + e^1/2 +₁e² - e = -_1/2e² -_3/2e +¹

Consideriamo ora il caso in cui il dominio E non sia un rettangolo

∪ R_i ⊆ E ⊆ ∪ ℓ_j

/∑_{¹ N} mis(R_i) ≤ mis(E) ≤ /∑_{¹ N} mis(R_i)

E è misurabile secondo Riemann se la frontiera di E è di misura 0 (ovvero non ha area). ∀ ε > 0 ∃ N infiniti di rettangoli a due a due disgiunti ai ∂E (frontiera di E)

L'integrale in B anche vale zero poiché il campo in B è circolare.

E₀ si annullano.

B = (0, 0, 3)

Flusso del campo elettrico puntiforme attraverso una superficie sferica di centro (0, 0, 0) e raggio R.

bisogna dare una orientazione alla superf.

E(x, y, z) = _q/^{4πε₀ (x2 + y2 + z2)3/2}

J_sfera =

• x(θ, φ) = R sinθ cosφ
• y(θ, φ) = R sinθ sinφ
• z(θ, φ) = R cosθ

0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π

⇒ D = [0, π] x [0, 2π]

∬_Σ ⟨E, n̂⟩ dσ = ∬_D E o σ(s, φ) 2R_Z 2π_φ ⟩ dθdφ

Calcoliamo il vettore tangente alla sfera

Noto bene in cui trovo (x, y, z) il vettore secca

V = (x/R, y/R, z/R)

⇒_∂σ/∂θ x _∂σ/∂φ = det

| i j k |

| R cosθ cosφ R sinθ -R sinθ |

| R sinθ R sinφ 0 |

= (R² sin²θ cosφ, R² sin²θ sinφ, R² sinθ cosφ) =

= R sinθ σ(θ, φ)