Geometria delle masse

Geometria delle Masse

Generalità

Dato un sistema discreto di punti materiali {(P₁, m₁); (P₂, m₂); ... (P_n, m_n)}, indichiamo la massa totale del sistema con:

m = ∑_i=1ⁿ m_i , con m_i > 0 ∀ i = 1, 2 ... n

Nel caso di un sistema materiale continuo C, si introduce la funzione densità di massa p(P), funzione continua e non negativa dei punti P del continuo C, per cui la massa totale del continuo risulta:

m = ∫_C dm = ∫_C p(P) dC

dove dC è una parte elementare di C, dm = p(C) dC la sua massa, p(P) la funzione densità valutata in un punto qualsiasi del dC.

Se p(P) = cost, il continuo si dice omogeneo ed in questo caso m = p misura C

Note: Si può avere una densità lineare, di superficie, di volume, a secondo della struttura di C e in corrispondenza, le dimensioni di p variano.

Centro di Massa

Il centro di massa di un sistema discreto di punti materiali {(P_i, m_i) | i = 1, ..., n} è il punto P₀ definito dall'equazione vettoriale:

P₀ – O = ¹/_m ⁿ∑_{i = 1} m_i(P_i – O)

essendo O un punto arbitrariamente prefissato. Oss.: Detto e un versore qualunque, esso coincide con il centro del sistema di vettori applicati, paralleli e concordi, {(P_i, m_i e)_{i = 1, ..., n}}, e quindi tutte le proprietà valide per un sistema di vettori applicati paralleli, continuano ad essere valide anche per il centro di massa.

Per un continuo materiale

P₀ – O = ¹/_m ∫_C ρ(P)(P – O) dL

e se il sistema è omogeneo

P₀ – O = ¹/_m ∫_C (P – O) dL

in tal caso, la posizione del centro di massa non dipende dalla massa, e si dice che il centro di massa coincide col centro di figura del continuo C.

Oss.: la grandezza m_i(P_i – O) prende il nome di momento statico o momento di primo grado (a volte anche momento del primo ordine)

Tali relazioni mostrano un'importante proprietà del centro di massa.

• a) In Pe si realizza il momento minimo d'inerzia
• b) il momento d'inerzia relativo a rette parallele a una direzione è minimo per la retta di tale fascio parallelo passante per il centro di massa
• c) analoga proprietà di minimo vale per il momento I_P rispetto ai piani di una stessa giacitura.

Raggio d'inerzia

Di un sistema materiale, discreto o continuo, il raggio d'inerzia rispetto ad un polo O, una retta r o un piano π, sono le rispettive lunghezze cosi definiti:

d₀ = √(I₀/m) ; d_r = √(I_r/m) ; d_π = √(I_π/m)

Esse definiscono la distanza da O, r, π a cui bisogna porre il punto (Pm) di massa uguale alla massa totale del sistema affinché il momento d'inerzia del solo punto (Pm) sia uguale al momento d'inerzia dell'intero sistema rispetto allo stesso punto O, stessa retta r o stesso piano π.

Di sfatti i punti d ne sono tanti e sono tutti quelli che appartengono alla superficie sferica di centro O e raggio d (per i momenti polari), per Sr avremmo un cilindro. La conoscenza del raggio d'inerzia viene semplificare il calcolo dei momenti d'inerzia.

Ellissoide d'Inerzia

Sia (Ox₁x₂y₂) un sistema cartesiano col

S ⊂ ℝ^3, un sistema materiale di punti, anche su tutti i risultati che otterremo saranno validi anche per sistemi continui.

Calcolati tutti i possibili momenti di inerzia

I_xj con j = 1, 2, 3

è possibile conoscere i momenti d'inerzia rispetto ad ogni retta per O (oppure ambivalentemente preso una retta r) determinare la legle di variazione del momento d'inerzia I_ζ dove r appartiene alla stella di rette per O),

• Assumiamo una retta r₁ con O ∈ r e e versore di r₁ (r₁/|r₁|)

Siano l, β, γ i coseni direttore di e

1. (e_x1 = l e_x2 = β; e_z = γ) / |e|

• La distanza di un punto P_i della retta r può essere determinata:

|(P_i • e)²|_i + |(x y z) | l

| x² l

1. (y - βz)² + (lx + z²)² +

+ βx - 2y)²

tale che

trasmette il prodotto righe-per-colonne, molto utile per il calcolo di grandezze cinematiche come il Momento della Quantità di moto L(i) ...

II) Essendo una Matrice Simmetrica, per il in Spettrale è Diagonalizzabile.

(è anche una matrice reale):

per cui è possibile definire il polinomio caratteristico

P(λ) = det(G(Θ) - 2U₃) = >

P(λ) = 0 ⇔ (λ - λ₁)(λ - λ₂)(λ - λ₃) = 0

che risulta essere un'equazione di 3° grado scomponibile in polinomi di 1° grado (la cui molteplicità algebrica può variare tra 1 e 3 "n.e").

Gli zeri di tale equazione sono gli Autovalori che rappresentano i Momenti di Inerzia degli assi di una terna Principale di Inerzia in O

λ₁ ≧ I₁, λ₂ ≧ I₂, λ₃ ≧ I₃ => Momenti Principali

Calcolando gli Autovettori relativi agli autovalori:

AX = λX , X ≠ 0_n-1 + Autovettore

Si ha che la matrice Diagonale ottenuta sia