Geometria delle masse

Geometria delle Masse

Generalita

Dato un sistema discreto di punti materiali {P₁, m₁}, {P₂, m₂}, ..., {P_n, m_n}, indichiamo la massa totale del sistema con:

m = _i=1ⁿm_i, con m_i>0 ∀i=1,2,...,n

Nel caso di un sistema materiale continuo C, si introduce la funzione densita di massa ρ(P), funzione continua e non negativa dei punti P del continuo C, per cui la massa totale del continuo risulta:

m = ∫_Cdm = ∫_Cρ(P)dC

Dove dC è una parte elementare di C, dm = ρ(C)dC la sua massa, ρ(P) la funzione densita valutata in un punto qualsiasi del dC.

Se ρ(P) = cost, il continuo si dice omogeneo ed in questo caso:

m = ρ mis C

Nota: Si puo avere una densita lineare, di superficie, di volume, a seconda della struttura di C e in corrispondenza la dimensioni di ρ variano.

GEOMETRIA DELLE MASSE

GENERALITÀ

Dato un sistema discreto di punti materiali {P₁, m₁}, {P₂, m₂}, ..., {P_n, m_n} indichiamo la massa totale del sistema con:

m = _i=1ⁿ m_i, con m_i > 0 Vi = 1...n

Nel caso di un sistema materiale continuo C, si introduce la funzione densità di massa ρ(P), funzione continua e non negativa dei punti P del continuo C, per cui la massa totale del continuo risulta:

m = ∫_C dm = ∫_C ρ(P) dC

Dove dC è una parte elementare di C, dm = ρ(C)dC la sua massa, e ρ(P) la funzione densità valutata in un punto qualsiasi del dC.

Se ρ(P) = cost, il continuo si dice omogeneo ed in questo caso

m = ρ misC

Nota Si può avere una densità lineare, di superficie, di volume, a seconda della struttura di C e in corrispondenza la dimensioni di ρ variano.

CENTRO DI MASSA

Il centro di massa di un sistema discreto di punti materiali:

{(Pi, mi)}, i = 1,..., m è il punto ta definito dall’equazione vettoriale:

(P₀ - O) = (1/m) ∑_i=1^m mi (Pi - O)

essendo O un punto arbitrariamente prefissato.

Oss. Detto e un versore qualsiasi, esso coincide con il centro del sistema di vettori applicati parallele e canonici {(Pi, mi)},i = 1,..., m e quindi tutte le proprietà valide per un sistema di vettori applicati paralleli, continuano ad essere valide anche per il centro di massa.

Per un continuo materiale (P₀ - O) = 1/m ∫_C ρ(P)(P - O) dC

e se il SISTEMA è OMOGENEO (P₀ - O) = 1/mis ∫_C (P - O) dC

in tal caso, la posizione del centro di massa non dipende dalla massa e si dice che il centro di massa coincide col centro di figura del continuo C.

OSS: La grandezza mi(Pi - O) prende il nome di: MOMENTO STATICO o MOMENTO DI PRIMO GRADO (a volte anche momento del primo ordine)

Momenti d'inerzia

(Momenti di Secondo Grado)

Di un sistema discreto di punti materiali si definisce momento d'inerzia rispetto ad un punto O

rispetto ad una retta z rispetto ad un piano P la quantità:

∑_i=1ⁿ m_i ⋅ δ(P_i)²

dove δ(P_i) è la distanza del generico punto (P_i.m_i) rispettivamente dal punto O, dalla retta z, dal piano P.

Nello specifico:

1. Momento Polare (rispetto ad O)

   I_O = ∑_i=1ⁿ m_i (P_i - O)²

2. Momento di Inerzia (rispetto ad una retta z)

   I_r = ∑_i=1ⁿ m_i (P_i - O) × | 1 |² = ∑_i=1ⁿ m_i d_i²

   con O punto arbitrario di z, ed 1 versore

   (P_i - O) × 1 = (d_i distanza) (P_i - O)² = d_i²

3. Momento Planare (di secondo grado) (rispetto piano P)

   I_P = ∑_i=1ⁿ m_i (P_i - O) ⋅ &b {pi}²

Momento d'inerzia per sistemi continui :

Per un sistema continuo indicati con:

1. massa dell'elementino dC
2. P punto qualsiasi dell'elementino dC

Il momento d'inerzia si puo scrivere come:

d m S(P)²

=>

I_x I_y I_z = ∫ S(P)² dC

dove, a seconda dei casi: S(P) indichi la distanza da un punto O, da una retta r, o da un piano π.

Se il sistema materiale è continuo ed omogeneo:

I_x I_y I_z = ρ∫ S(P)² dC

P = ^m/_misC

Momento Deviatore o Centrifugo

Si definisce momento deviatore o momento centrifugo, a prodotto d'inerzia, rispetto ad una coppia di piani πⁱ e π^i' non paralleli e ai due rispettive versori normali n ed n', la quantità:

I_{πⁱ, π^i'} = -Σ_i=1ⁿ m_i [(P_i - O) · n] [(P_i - O) · n']

Se il sistema è continuo:

I_{πⁱ, π^i'} = -∫_C ρ(P) [(P - O) · n] [(P - O) · n']

In entrambi i casi, O è un punto arbitrario comune ai due piani πⁱ e π^i'.

Teorema di Huygens

Per i momenti d'inerzia sopra definiti, qualunque sia il sistema materiale, discreto o continuo, valgono le seguenti formula che esprimono il III di Huygens.

I_o = I_P^o + m OP²

I_π = I_xde + m d_π²

I_π' = I_fde + m d_π'²

I_{πⁱ, π^i'} = I_{πⁱ, π^i'} - m [(P - O) · n] [(P - O) · n']

Tali relazioni mostrano un'importante proprietà del centro di massa:

• a) in P_o si realizza il momento minimo dov
• b) il momento di inerzia relativo a rette parallele ad una direzione è minimo per la retta di tale fascio (improprio) passante per il centro di massa
• c) analoga proprietà di minimo vale per il momento I_p rispetto ai piani di una stessa giacitura.

Raggio D'Inerzia

Di un sistema materiale discreto o continuo, il raggio d'inerzia rispetto ad un polo O, una retta r o un piano π sono le rispettive lunghezze così definite:

δ_o = √_Io/m ; δ_π = √_Iπ/m ; δ_II = √_III/m

Esso definisce la distanza da O, r, π a cui bisogna porre il punto (P^*, m) di massa uguale alla massa totale del sistema affinché il momento d'inerzia del solo punto (P^*, m) sia uguale al momento d'inerzia dell'intero sistema rispetto allo stesso punto O, alla stessa retta r o stesso piano π.

Di siffatti punti ce ne sono tanti e sono tutti quelli che appartengono alla superficie sferica di centro O e raggio δ_o (per i momenti polari) per δ_π avremo un cilindro. È conoscenza del raggio d'inerzia che semplifica il calcolo dei momenti d'inerzia.

Teorema di Huygens (-Steiner)

Dimostrazione

Considerando un generico momento d'inerzia per un sistema di punti materiali

I_o = ∑_i m_i (P_i - O)²

Il vettore (P_i - O) possiamo decomporlo

{ (P_i - O) = (P_i - P_o) + (P_o - O) }

I_o = ∑_i m_i [(P_i - P_o) + (P_o - O)]² =

= ∑_i m_i (P_i - P_o)² + ∑_i m_i (P_o - O)² + 2 ∑_i m_i (P_i - P_o)(P_o - O)

Il termine 2 ∑_i m_i (P_i - P_o)(P_o - O) = 0 perché considerando

(P_o - O) = 1/m ∑_i m_i (P_i - O) = 1/m ∑_i [(P_i - P_o) + (P_o - O)] m_i =

= 1/m ∑_i (P_i - P_o) + (P_o - O) ⇔

⇔ m (P_o - O) - m (P_o - O) = ∑_i m_i (P_i - P_o) = 0

dalla Relazione per la determinazione del centro di massa

considerando che

∑_i m_i (P_i - P_o)² = I_Po

∑ m_i (P_o - Q)² = m (P_o - 0)²

[ I_o = I_Po + m (P_o - 0)² ]

Th. Huygens è Dimostrato

Momenti di Secondo Grado : Proprietà

Assegnato un sistema materiale discreto e continuo e preso un terna cartesiana _{(O; x,y,z)} definamo:

1. Momenti d'inerzia rispetto agli assi

   I₁₁ = ⁿ∑_i=1 m_i (ȳ_i² + z̅_i²)

   I₂₂ = ⁿ∑_i=1 m_i (x̅_i² + z̅_i²)

   I₃₃ = ⁿ∑_i=1 m_i (x̅_i² + ȳ_i²)

2. Momenti d'inerzia rispetto aos piani coordinati

   I₁ = ⁿ∑_i=1 m_i x_i²

   I₂ = ⁿ∑_i=1 m_i y_i²

   I₃ = ⁿ∑_i=1 m_i z_i²

3. Momento d'inerzia rispetto all'origine della terna

   I_o = ⁿ∑_i=1 m_i (x̅_i² + ȳ_i² + z̅_i²)

4. Momenti Centrifughi

   I₁₂ = - ⁿ∑_i=1 m_i X̅_iȳ_i

   I₁₃ = - ⁿ∑_i=1 m_i x_iz_i

   I₂₃ = - ⁿ∑_i=1 m_i ȳ_i z̅_i - (con I₁₂ = I₂₁ , I₁₃ = I₃₁ , I₂₃ = I₃₂)

Legami importanti

I₀ = I₁ + I₂ + I₃ : Il momento di inerzia rispetto ad un punto è la somma dei momenti di inerzia rispetto a tre piani a due a due perpendicolari e che si intersecano nel punto.

I₁₁ = I₂ + I₃ , I₂₂ = I₁ + I₃ , I₃₃ = I₁ + I₂

Il momento di inerzia rispetto ad una retta r è uguale alla somma dei momenti di inerzia rispetto a due piani perpendicolari tra loro e che si intersecano sulla retta r.

Se poi il sistema materiale è piano ed assumiamo il piano del sistema coincidente col piano cartesiano z = 0, si deduce il legameI₀ = I₃₃ = I₁₁ + I₂₂ che esprime la seguente

Proprietà

"Il momento di inerzia di un sistema materiale piano (contenuto nel piano π) rispetto ad un punto O ∈ π è uguale al momento di inerzia rispetto ad una retta passante per O e perpendicolare a π, oppure alla somma dei momenti di inerzia rispetto a due rette l appartenenti a π, perpendicolari tra di loro e che si intersecano in O."

Ellissoide d'Inerzia

Sia (O; x, y, z) una terna cartesiana col

S = Σ (m_i; x_i; y_i; z_i) un sistema materiale di punti (anche se tutti i risultati che otterremo saranno validi anche per sistemi continui).

Calcolati tutti i possibili momenti di inerzia

I_jk con j, k = 1, 2, 3

è possibile conoscere i momenti di inerzia rispetto ad ogni retta per O (oppure analogamente presa una retta tra r determinare la legge di variazione del momento d'inerzia tra o dove r attraversa la stella di rette per O).

1) Assumiamo una retta tra r con O_r e versore di r (v/₁)

Siano α, β, γ i coseni direttori di r

⎧_ex^/₂ = α

⎪_ey^{- β}/₂ = γ

⎨_ez^/_|⎪

2) La distanza di un punto P_i dalla retta r

può essere determinata :

⟦(r - O) × e_i⟧² = ⎢x y z⎢ x^{- γ}

⎢α β γ⎢ y^{- β}⎢ ⎢⠀

⎢⎢(⟨y_{- βz⟩²) + (⟨x⟩²) + (⟨β⟩²) + ⟨⟩⎥}

per cui della relazione del momento di inerzia

I_r = _i=1ⁿ(∫_i - x)² otteniamo

(2*) [ I_r = I₁₁ x² + I₂₂ y² + I₃₃ z² + 2 I₁₂ xy + 2 I₁₃ xz + 2 I₂₃ yz ]

Attraverso tale relazione ottenuta, è possibile costruire un diagramma dei momenti di inerzia relativi alle rette delle stelle di centro O, costrendo per ogni versore e il vettore

Q - O = ^λ /_√Ir e (*) ; ∫ e , Q ∈er

λ = costante dimensionale

Dette x, y, z le coordinate di Q, abbiamo

| Q - 0 |₂ = x | Q - 0 |₃ = y | Q - 0 |_y = z

(**) Essendo dalle (*) | (Q - 0)² | _x = λ²| (1*)

Combinate le (**) e le (*) | esto ottiene

I_x ^x + I_xy y² + I_zz z² + 2 I₁₂ xy + 2 I₁₃ xz + 2 I₂₃ yz = λ²

(2*)

Questa è l'equazione dell'ellissoide di inerzia col centro in O -

- ellissoide di inerzia del sistema anterale relativo al punto O.

1. Continuazione Ellissoide d'inerzia

L'ellissoide di inerzia costituisce un luogo geometrico.

Ovviamente abbiamo ipotizzato _Iz ≠ 0

Assi Principali d'Inerzia

È importante osservare che la relazione (^Q-02/_Ir = r²),

attraverso cui si definisce l'ellissoide di inerzia,

faccia intervenire solo il punto O ed il sistema

materiale. =>

=> Def.: Pertanto l'ellissoide di inerzia non cambia

se si cambia la terna di assi ortogonali

nella quale è la rappresentazione analitica (3^*).

L'avviamente cambiano la terna verso l'oggetto

ma se il centro della terna O è lo stesso, l'ellissoide

in sé è invariato?

1) Se si considerano gli Assi di Simmetria

dell'ellissoide, questi sono detti Assi Principali

d'Inerzia, e per questi l'equazione dell'ellissoide

si riduce alla forma canonica

[I₁X² + I₂Y² + I₃Z² = 1]

dove X, Y, Z rappresentano gli Assi Principali

della terna principale di inerzia (O,X,Y,Z),

I₁, I₂, I₃ indicano i momenti d'inerzia rispetto

agli assi di simmetria (i quinti assi principali)

Data la forma canonica dell'ellissoide d'inerzia risulta avere facile calcolare i semiassi dell'ellissoide stesso

a = ¹/_√I1 ; b = ¹/_√I2 ; c = ¹/_√I3

Si possono verificare i seguenti 3 casi:

1. a ≠ b ≠ c (ellissoide è a tre assi, ed il terzo principale rispetto ad O una sola terna (O, X, Y, Z))
2. a = b ≠ c (ellissoide è a due assi ed è ROTONDO rispetto al terzo asse, le terne principali sono ∞¹ in O tutte con Z = C (semiretta))
3. a = b = c (ellissoide è una SFERA ed ogni terna in O è principale d’inerzia)

L'ellissoide costruito in P_o (centro di massa) si dice centrale e la TERNA CENTRALE di centro P_o.

Oss. : Non necessariamente una terna centrale è principale e non è detto che l'ellissoide in quiescenza sia una sfera.

Oss.: Da notare che per una Terna Principale d’Inerzia i momenti centrifughi sono nulli. Il che semplifica il calcolo dell’equazione e non ha anche importanti risultati cinematici.

Proprietà (Generale): l’asse massimo dell’ellissoide è la retta per quella delle stelle di centro O, per la quale il momento è minimo. L’asse minimo, quello per cui il momento di inerzia è massimo.

Matrice D'Inerzia

(Omografia Di Inerzia o anche Tensore D'Inerzia)

Dato un sistema materiale ad un punto O

Si introduce una terna (O, X, Y, Z) e si considera la matrice simmetrica

• I₁₁ I₁₂ I₁₃
• I₁₂ I₂₂ I₂₃
• I₁₃ I₂₃ I₃₃

i cui elementi sono i Momenti d’Inerzia rispetto agli assi coordinati X, Y, Z della terna scelta in O (I₁₁, I₂₂, I₃₃) sulla diagonale principale.I restanti sono i momenti centrifughi calcolati rispetto ai piani coordinati.

In generale fornisce uno strumento compatto per l’analisi della distribuzione delle masse rispetto alla terna considerata, discende direttamente dall’ellissicità d’inerzia, e la sua importanza sta prevalentemente in due fatti:

1. la possibilità di definire un operatore lineare da R³ in R³

tale che:

tramite il prodotto righe per colonne, molto utile per il calcolo di grandezze cinematiche come il Momento della Quantità di moto K(ω)...

Essendo una MATRice SiMMETRicA, per il In SPETTRALE è Diagonalizzabile (è anche una matrice Reale):

per cui è possibile definire il polinomio caratteristico

p(λ) = det(G(0) - 2_I3)

P(λ) = 0 ↔ (λ-λ₁)(λ-λ₂)(λ-λ₃) = 0

che risulta essere un'equazione di 3^o grado decomponibile in polinomi di 1^o grado (la cui molteplicità algebrica può variare da 1 a 3 "n=1")

Gli zeri di tale equazione sono gli Autovalori, che rappresentano i Momenti di Inerzia degli assi di una terna Principale di inerzia in O

Calcolando gli: Autovettori relativi agli autovalori

A × X = λ × X, X ≠ 0n+1, ∃ AUTOVETTORe

Si ha che la matrice Diagonale ottenuta sia

(

)

)

)

(

diagonale sulla base

(

)

(

)

)

NOTA:

ricordando che un