Fondamenti di statistica

La rappresentazione dei dati tramite grafici e tabelle:

Statistica: branca della matematica che si occupa dell’organizzazione,

o dell’analisi e dell’interpretazione di un insieme di numeri o dati

La statistica è un metodo di ricerca della verità, ci dirà quanto la nostra

o ipotesi sia sostenibile

Gli psicologi usano i metodi statistici per dare un significato ai numeri o

o dati raccolti nelle proprie ricerche

1.1 Le due branche di metodi statistici:

Metodi statistici con due branche principali:

o 1. Statistica descrittiva: gli psicologi usano la statistica descrittiva per

riassumere e descrivere un insieme di dati raccolti in uno studio di

ricerca

2. Statistica inferenziale: gli psicologi usano la statistica inferenziale

per trarre conclusioni e fare inferenze che sono basate sui dati di

una ricerca la cui portata va oltre i dati raccolti

Lo scopo della statistica descrittiva è di facilitare la comprensione di un

o insieme di dati

1.2 Alcuni concetti di base:

Costrutto: concetto mentale che viene associato a qualche elemento

o della realtà per qualche motivo

Variabile: condizione o caratteristica che può avere diversi valori

o Valore: solo un numero o una categoria

o Punteggio: ogni persona studiata ha un determinato numero o punteggio

o che è il suo valore nella variabile

1.2 Livelli di misura (tipi di variabili):

Variabile numerica o quantitativa: punteggi sono valori numerici

o Variabile a intervalli equivalenti: variabile in cui valori numerici

o rappresentano approssimativamente distanze uguali di unità di misura,

misurate su scale a rapporti (ovvero se ha un punto zero assoluto

significa che il valore dello zero su una variabile indica un’assenza

completa della variabile)

Variabile a ordinamento per ranghi o ordinali: numeri che esprimono

o semplicemente l’ordine della variabile in una graduatoria, fornisce meno

info rispetto a una variabile a intervalli; spesso usate in psicologia perché

sono le uniche info disponibili, perché quando si chiede alla persona di

valutare qualcosa talvolta è più facile, è meno arbitrario farlo in

ordinamento per ranghi oppure perché chiedere alle persone di dare delle

valutazioni lo spinge a fare delle distinzioni

Variabile nominale o categoriali: in cui i valori sono nomi o categorie,

o deriva dalla considerazione che i suoi valori sono nomi

Questi diversi tipi di variabili rappresentano diversi livelli di misura -> il

o livello di misura scelto influenza il tipo di operazioni statistiche che

possono essere usate con una variabile: es studiare gli effetti di un

particolare tipo di lesione cerebrale sulla capacità di riconoscimento degli

oggetti => misurare il numero dei diversi oggetti che una persona riesce

ad osservare contemporaneamente (livello di misura a intervalli

equivalenti), valutare le persone rispetto alla capacità di: osservare

nessun oggetto, solo un oggetto alla volta, un oggetto che evoca altri

oggetti oppure visione ordinaria (ordinamento per ranghi), identificare la

posizione di un oggetto ma non la sua identità, identificare l’identità ma

non la posizione, identificare la presentando altre anomalie nella

percezione dell’oggetto, ciechi o normale percezione visiva (livello di

misura nominale)

Variabili discrete: quelle che danno dei valori specifici e non possono

o esistere valori intermedi fra essi

Variabile continua: fra due valori esiste in teoria un numero infinito di

o valori

1.3 Tabelle di frequenza

La semplice osservazione dei punteggi ci può dare un’idea generale sulle

o tendenze totali ma sicuramente non lo potremmo definire un metodo

accurato

Frequenze cumulate: perché dicono quanti punteggi sono accumulati fino

o a quel punto sulla tabella

Percentuale cumulata: per ogni dato valore è chiamata percentile

o Ci permettono di vedere dove un particolare punteggio si colloca

o nell’insieme totale dei punteggi

Tabella di frequenza: poiché mostra quante volte è usato ciascun

o punteggio

1.3 Come costruire una tabella di frequenza

Quattro passaggi:

o

1. Fare un elenco su un foglio di ogni possibile valore dal minore al

maggiore (anche se uno dei valori fra il min e il max non viene usato lo si

includerà comunque nell’elenco attribuendogli frequenza 0)

2. Scorrere uno a uno i punteggi spuntando ciascun valore nell’elenco

3. Costruire una tabella che riporta quante volte ciascun valore dell’elenco

viene usato, ovvero sommare il numero dei segni accanto a ogni valore

4. Calcolare la % dei punteggi per ogni valore (prendere la frequenza del

valore, dividere per il num totale dei punteggi e moltiplicare per 100)

1.3 Tabelle di frequenza per variabili nominali

Passaggi precedenti assumono che si usino variabili numeriche ma si

o possono anche usare tabelle di frequenza per rappresentare il numero di

punteggi per ogni valore di una variabile nominale

1.3 Tabelle in classi di frequenza

A volte ci possono essere così tanti valori possibili che una tab di

o frequenza ordinaria non è utile

Soluzione: creare delle classi di valori che includano tutti i valori in un

o determinato intervallo

Categorie combinate come queste si chiamano intervalli

o Tabella di frequenza che usa gli intervalli si chiama tabella in classi di

o frequenza

Può dare info anche più direttamente comprensibili di quanto possa fare

o una tab di frequenza ordinaria

Perdiamo qualche info: i dettagli della disaggregazione delle frequenze in

o ciascun intervallo

1.4 Gli istogrammi

Grafico: altro modo per rendere facilmente comprensibile un insieme

o ampio di valori

Tipo di grafico dei dati di una tabella di frequenza è un tipo di grafico a

o barre chiamato istogramma

L’altezza di ogni rettangolo è la frequenza di ciascun valore nella tab di

o frequenza

I rettangoli sono posti gli uni vicini agli altri senza spazi intermedi

o

1.4 Come costruire un istogramma:

Quattro passaggi:

o

1. Costruire una tab di frequenza o una in classi di frequenza

2. Scrivere i valori lungo la parte bassa del foglio da sx a dx, dal minore al

maggiore (istogramma dei dati di una tab in classi di frequenza: i valori

da scrivere in basso sono i punti centrali degli intervalli, metà fra l’inizio

di quell’intervallo e l’inizio dell’intervallo successivo)

3. Lungo il margine sx del foglio creare una scala di frequenza da 0 in basso

fino alla frequenza maggiore osservata

4. In corrispondenza di ciascun valore disegnare un rettangolo la cui base

indica l’ampiezza dell’intervallo e la cui altezza indica la frequenza del

valore

Quando abbiamo una variabile nominale, l’istogramma prende il nome di

o grafico a barre che differisce per gli spazi fra i rettangoli

1.5 Forma delle distribuzioni di frequenza

Una distribuzione di frequenza mostra l’andamento delle frequenze nei

o diversi valori

1.5 Le distribuzioni di frequenza: unimodale e bimodale

Un caso particolare si ha quando la forma di una distribuzione ha un

o unico punto elevato: distribuzione unimodale

Parliamo di distribuzione bimodale quando una distribuzione ha due punti

o relativamente uguali elevati

Distribuzione con due o più punti elevati è definita distribuzione

o multimodale

Distribuzione con valori di frequenza tutti simili: distribuzione

o rettangolare

Poligoni di frequenza: la linea si muove da punto a punto, la distanza di

o ogni punto dalla base del grafico indica il numero dei punteggi con quel

valore

Il più delle volte i punteggi seguono approssimativamente una

o distribuzione simmetrica (se si piega a metà il grafico di una distribuzione

simmetrica le due metà risultano uguali)

Distribuzione obliqua o asimmetrica: lato con meno punteggi è

o considerato la direzione dell’asimmetria, una distribuzione asimmetrica a

destra è anche definita asimmetrica positiva mentre una distribuzione

asimmetrica a sinistra è definita asimmetrica negativa

Quando molti punteggi si accumulano nel limite inferiore perché

o impossibile avere un punteggio più basso, il risultato è definito effetto

pavimento

La maggior parte dei punteggi accumulata nel limite superiore, il

o punteggio massimo, da l’effetto soffitto

1.5 La distribuzione normale e curtica

Altro modo utilizzato per descrivere una distribuzione è in base alla forma

o che essa assume al suo centro: allungata o appiattita

Standard del confronto: curva a campana; distribuzioni spesso simili allo

o standard -> curva normale

Curva normale: simmetrica, unimodale, picco nel suo valore medio

o La curtosi indica quanto la forma di una distribuzione differisce, nel suo

o valore centrale, da una curva normale, rispetto alla quale si verifica un

maggiore appiattimento o un maggiore allungamento

Le distribuzioni che sono più allungate o appiattite rispetto a una curva

o normale tendono anche ad avere una forma diversa delle code: curva più

allungata di solito con un maggior numero di punteggi nelle code della

distribuzione, curva più appiattita con meno punteggi nelle code della

distribuzione rispetto alla curva normale

1.6 Errore nell’usare intervalli di ampiezza diversa

Requisito essenziale di una tabella in classi di frequenza: l’ampiezza degli

o intervalli deve essere uguale

1.6 Esagerazione delle proporzioni

Altezza di un istogramma o di un grafico a barre (o di un poligono di

o frequenza) solitamente comincia da 0, o dal valore più basso della scala,

e prosegue verso il valore più alto della scala

Rapporto fra altezza e larghezza totale dovrebbe essere compreso fra 1 e

o 1.5

1.7 Le tabelle di frequenza e gli istogrammi negli articoli di ricerca

Ricercatori in psicologia usano principalmente le tabelle di frequenza e gli

o istogrammi come un importante passo preliminare prima di effettuare

analisi statistiche più elaborate

Tabelle di frequenza e istogrammi tuttavia non sono solitamente inclusi

o negli articoli di ricerca, e quando lo sono, proprio perché sono cosi rari,

spesso non sono costruiti in modo standard

Tendenza centrale e variabilità

Valore rappresentativo: esprime la tendenza centrale di un gruppo di

o punteggi

Modo semplice di descrivere, con un unico numero, un gruppo di

o punteggi

2.1 Tendenza centrale

Tendenza centrale di un gruppo di punteggi: si riferisce alla parte centrale

o del gruppo di punteggi

Ogni misura di tendenza centrale usa un proprio metodo scientifico per

o trovare un singolo numero che rappresenti il centro di un gruppo di

punteggi

2.1 La media

Comune media aritmetica: la somma di tutti i punteggi diviso il numero

o dei punteggi

Media come a quel valore la cui distanza totale da tutti i punteggi con

o valore superiore è uguale alla sua distanza totale da tutti i punteggi con

valore inferiore

2.1 Formula per la media e simboli statistici

Somma di tutti i punteggi e divisione della somma per il numero dei

o punteggi ΣX

=

M

Formula:

o N

M è un simbolo per la media come soprassegnato

o X́

significa sommare tutti i numeri che seguono

Σ

o sta per tutti i valori nella distribuzione della variabile x

X

o sta per numero dei punteggi in una distribuzione

N

o

2.1 Passaggi per calcolare la media

Due passaggi:

o

1. Sommare tutti i punteggi

2. Dividere questa somma per il numero dei punteggi

2.1 La moda

Moda: valore che si presenta con la frequenza maggiore in una

o distribuzione

In una distribuzione unimodale perfettamente simmetrica, la moda è

o uguale alla media

Moda può essere un valore particolarmente poco rappresentativo,

o possiamo cambiare alcuni punteggi in una distribuzione senza influenzare

la moda, ma questo non è vero per la media, che è influenzata da

qualsiasi cambiamento nei punteggi della distribuzione

La moda è il modo classico di descrivere la tendenza centrale per una

o variabile nominale

2.1 La mediana

Mediana: se si ordinano tutti i punteggi dal minore al maggiore, il

o punteggio che occupa la posizione centrale è la mediana

Cadere fra due diversi punteggi: in questo caso la mediana è la media

o aritmetica di questi due punteggi

2.1 Passaggi per calcolare la mediana

Tre passaggi:

o

1. Ordinare tutti i punteggi dal minore al maggiore

2. Calcolare quanti punteggi occupano la posizione centrale aggiungendo 1

al numero dei punteggi e dividendo per due

3. Contare fino al punteggio o i punteggi che occupano la posizione centrale

2.1 Confronto fra media moda e mediana

In alcuni casi la mediana è migliore della media, questo accade quando vi

o sono alcuni punteggi estremi che influiscono sulla media, ma che non

modificano la mediana

Un punteggio estremo è definito dato anomalo (outlier)

o Influenza dei punteggi molto bassi o alti: la media non è un buon valore

o rappresentativo di questi punteggi, perché è troppo influenzata dai

punteggi estremi

In una curva normale perfetta, i valori di media, moda e mediana

o coincidono

Mediana come modo consueto di descrivere la tendenza centrale con una

o variabile ordinale

2.2 La variabilità

I punteggi sono dispersi in una distribuzione, cioè la variabilità dei

o punteggi all’interno della distribuzione

Variabilità di una distribuzione come il grado di dispersione dei punteggi

o attorno alla media

Distribuzioni che hanno medie uguali possono essere molto diverse nel

o grado con cui i punteggi si discostano dalla media

Distribuzioni con medie diverse possono avere lo stesso grado di

o dispersione attorno alla media

2.2 La varianza

Varianza: fornisce una misura della variabilità dei punteggi

o Ci dice quanto i punteggi si disperdono intorno alla media

o È la media dei quadrati della differenza tra singoli punteggi e la loro

o media aritmetica

2.2 Passaggi per calcolare la varianza

Quattro passaggi:

o

1. Sottrarre la media da ogni punteggio, questo ci da lo scarto

2. Elevare al quadrato ognuno di questi scarti, questo ci da il quadrato dello

scarto o scarto quadratico

3. Sommare i quadrati degli scarti, questo ci da la somma dei quadrati degli

scarti (devianza)

4. Dividere la somma dei quadrati degli scarti per il numero dei punteggi

La distribuzione più dispersa ha una varianza maggiore perché la

o dispersione rende gli scarti più grandi

2.2 La deviazione standard (DS)

Misurazione più frequentemente usata per descrivere la dispersione di un

o gruppo di punteggi

Radice quadrata della varianza

o

2.2 Passaggi per calcolare la deviazione standard

Due passaggi:

o

1. Calcolare la varianza

2. Fare la radice quadrata (per la DS si usa sempre la radice quadrata

positiva)

La DS è una misura di quanto mediamente i punteggi si discostano dalla

o media aritmetica

2.2 Formule per la variazione e la DS

2

( )

−M

Σ X -> varianza

2

o =

DS N

è il simbolo della varianza, sottolinea che la varianza è la

2

o DS

deviazione standard al quadrato

La parte superiore della formula è la somma degli scarti quadratici che

o viene indicata in breve come somma dei quadrati SS

SS

2 =

DS

o N

La parte inferiore della formula è solo N, il numero dei punteggi

o √ -> deviazione standard

2

o DS= DS

√ √

2

) SS

Σ( X−M oppure

o DS=

DS= N

N

La somma degli scarti è sempre 0 o molto vicina a 0 considerando gli

o errori di arrotondamento

2.2 Formule definitorie e computazionali 2

( )

Σ X

2 −[ ]

Σ X

Formula computazionale per la varianza:

o N

2 =

DS N

Formula che si da solitamente per ogni procedimento è dunque quella

o che gli statistici definiscono: formula definitoria

2.2 La varianza come la somma degli scarti quadratici diviso per N-1

Per molti scopi è meglio definire la varianza come la somma degli scarti

o quadratici diviso il numero dei punteggi meno uno

Varianza: SS/[N-1]

o Dividere per N-1 si usa quando si hanno i punteggi di un particolare

o gruppo di individui e si vuole stimare quale sia la varianza dell’insieme

più ampio di individui a cui questi appartengono

2.4 La tendenza centrale e la variabilità negli articoli di ricerca

La media e la DS sono riportate molto frequentemente negli articoli di

o ricerca

La moda, la mediana e la varianza sono invece riportate solo

o occasionalmente

Alcuni concetti fondamentali della statistica inferenziale

3.1 I punti Z

Descrivere uno specifico punteggio riferendosi alla posizione che esso

o occupa all’interno dell’intero gruppo

Come usare la media e la DS per creare un punto Z

o Indica quanto un punteggio si colloca al di sopra o al di sotto della media

o

3.1 Cos’è un punto Z?

Punto Z: rappresenta il num di DS sopra o sotto la media che un dato

o punteggio ha rispetto alla media

Punteggio sopra la media -> punto Z positivo

o Punteggio sotto la media -> punto Z negativo

o Soprattutto utili per mostrare dove esattamente un particolare punteggio

o cade sulla curva normale

3.1 I punti Z come scala

Punteggio grezzo: normale punteggio rispetto al punto Z

o

3.1 Formula per la trasformazione di un punteggio grezzo in un punto Z

X−M

=

Z

o DS

3.1 Passaggi per la trasformazione di un punteggio grezzo in un punto Z

Due passaggi:

o

1. Calcolare lo scarto: sottrarre la media dal punteggio grezzo

2. Calcolare il punto Z: dividere lo scarto per la DS

3.1 Formula per trasformare un punto Z in punteggio grezzo

Il processo è inverso

o =( ) ( )+

o X Z DS M

3.1 Passaggi per trasformare un punto Z in u