Fondamenti di statistica

Formule definitorie e computazionali

La somma degli scarti è sempre 0 o molto vicina a 0 considerando gli errori di arrotondamento.

Formula computazionale per la varianza: σ^2 = Σ(X^2) - [Σ(X)]^2/N

La varianza come la somma degli scarti quadratici diviso per N-1:

Per molti scopi è meglio definire la varianza come la somma degli scarti quadratici diviso il numero dei punteggi meno uno:

Varianza: SS/[N-1]

Dividere per N-1 si usa quando si hanno i punteggi di un particolare gruppo di individui e si vuole stimare quale sia la varianza dell'insieme più ampio di individui a cui questi appartengono.

La media e la DS sono riportate molto frequentemente negli articoli di ricerca. La moda, la mediana e la varianza sono invece riportate solo

Alcuni concetti fondamentali della statistica inferenziale

3.1 I punti Z

Descrivere uno specifico punteggio riferendosi alla posizione che esso occupa all'interno dell'intero gruppo

Come usare la media e la DS per creare un punto Z

Indica quanto un punteggio si colloca al di sopra o al di sotto della media

3.1 Cos'è un punto Z?

Punto Z: rappresenta il numero di DS sopra o sotto la media che un dato punteggio ha rispetto alla media

Punteggio sopra la media -> punto Z positivo

Punteggio sotto la media -> punto Z negativo

Soprattutto utili per mostrare dove esattamente un particolare punteggio cade sulla curva normale

3.1 I punti Z come scala

Punteggio grezzo: normale punteggio rispetto al punto Z

3.1 Formula per la trasformazione di un punteggio grezzo in un punto Z

X - M = Z * DS

3.1 Passaggi per la trasformazione di un punteggio grezzo in un punto Z

Due passaggi:

1. Calcolare lo scarto: sottrarre la media dal punteggio grezzo

2. Calcolare il

punto Z: dividere lo scarto per la DS3.1 Formula per trasformare un punto Z in punteggio grezzo

Il processo è inverso o =( ) ( )+o X Z DS M3.1 Passaggi per trasformare un punto Z in un punteggio grezzo

Due passaggi:

1. Calcolare lo scarto: moltiplicare il punto Z per la DS
2. Calcolare il punteggio grezzo: sommare la media allo scarto

3.1 La media e la DS dei punti Z

Media di qualsiasi distribuzione di punti Z è sempre 0 perché quando trasformiamo ciascun punteggio grezzo in un punto Z, togliamo la media del punteggio grezzo

Somma dei punti Z positivi deve essere sempre uguale alla somma dei punti Z negativi -> somma totale 0

DS sempre uguale a 1

Un punto Z a volte è anche definito punto standard per due motivi: 1) i punti Z hanno valori standard per la media e la DS e 2) i punti Z forniscono una sorta di scala standardizzata di misura per qualunque variabile

3.2 La curva normale

Istogrammi a forma di campana approssimano una precisa e importante distribuzione

matematica chiamata -> distribuzione normale o curva normale

Curva normale: distribuzione matematica o teorica

Verificare se le variabili studiate approssimativamente seguono una curva normale chiamata anche distribuzione di Gauss

3.2 Perché la curva normale è così frequente in natura

Nella maggior parte delle prove le influenze positive e negative dovrebbero annullarsi

Punteggi molto elevati o molto bassi sono molto meno frequenti

Questo crea una distribuzione unimodale con la maggior parte dei punteggi in prossimità della parte centrale e un numero minore agli estremi

Una curva unimodale simmetrica non è necessariamente una curva normale

3.2 La curva normale e la percentuale di punteggi fra la media e 1 e 2 deviazione standard della media

Forma della curva normale standard -> % nota di punteggi al di sopra o al di sotto di ogni punto particolare (34% e 14%)

3.2 La tavola della curva normale e i punti Z

Poiché la curva normale è una

Precisa curva matematica possiamo calcolare la % esatta di punteggi compresi fra due punti qualsiasi della curva normale.

Gli statistici hanno elaborato delle tavole della curva normale che forniscono la % di punteggio fra la media e qualsiasi altro punto Z.

Possiamo anche invertire il processo e usare la tavola per trovare il punto Z di una particolare % di punteggi.

3.2 Passaggi per calcolare la % di punteggi sopra o sotto un particolare punteggio grezzo o punto Z usando la tavola della curva normale:

1. Se si parte da un punteggio grezzo, per prima cosa trasformarlo in un punto Z.
2. Disegnare una curva normale, valutare dove cade il punto Z e annerire l'area che contiene la % cercata.
3. Stimare approssimativamente l'area annerita sulla base delle % -> 50% - 34% - 14%.
4. Trovare la % esatta usando la tavola della curva normale, aggiungendo il 50% se necessario.
5. Verificare che la propria % esatta cada nell'intervallo stimato.

3.2 Calcolare i punti Z e i punti grezzi.

A partire dalle % usando la tavola della curva normale:

1. Disegnare una curva normale e annerire l'area approssimativa della nostra % usando le % 50%, 34%, 14%
2. Fare una stima approssimativa di Z nel punto in cui l'area annerita termina
3. Trovare il punto Z esatto usando la tavola della curva normale (-50% della percentuale se necessario prima di cercare il punto Z)
4. Verificare che il nostro punto Z esatto cada nell'intervallo stimato
5. Se si vuole trovare un punteggio grezzo trasformarlo dal punto Z

3.3 Campione e popolazione:

Popolazione: intero gruppo di individui a cui il ricercatore intende applicare i risultati di uno studio, il gruppo più ampio su cui si fanno inferenze sulla base del particolare gruppo di soggetti (campione) studiato

Campione: punteggi del particolare gruppo di soggetti studiato, tipicamente considerato come rappresentativo dei punteggi di una popolazione più ampia

3.3 Perché gli psicologi studiano i campioni

invece delle popolazioni?Lo scopo della ricerca di solito è riuscire a fare generalizzazioni o predizioni riguardanti eventi fuori dalla nostra portata. La strategia in quasi tutta la ricerca in psicologia è studiare un campione di individui che si pensa siano rappresentativi della popolazione generale. I ricercatori cercano di studiare persone che non differiscano dalla popolazione generale in qualunque modo sistematico che sia rilevante per l'oggetto della ricerca. Campione: ciò che viene studiato. Popolazione: un non noto sul quale i ricercatori traggono conclusioni basate sul campione. 3.3 I metodi di campionamento Metodo ideale: selezione casuale -> ricercatore parte dall'elenco completo delle unità della popolazione e casualmente ne seleziona alcune da studiare. Importante non confondere la selezione veramente casuale con quella che potrebbe essere definita una selezione accidentale o di convenienza. 3.3 Terminologia statistica per campioni epopolazioneLa media, la varianza e la DS di una popolazione sono definite parametri della popolazione. Parametro di una popolazione non generalmente noto e può essere stimato solo a partire da ciò che si sa su un campione estratto. I parametri della popolazione sono indicati con lettere greche. Simbolo media di popolazione: μ. Simbolo varianza di popolazione: σ^2. Simbolo DS di popolazione: σ. La media, varianza e DS che si calcolano con i punteggi di un campione sono chiamate statistiche campionarie o del campione -> calcolata da valori noti. I concetti statistici sono gli stessi per la popolazione e per il campione. Si usano simboli diversi per i parametri della popolazione e per le statistiche del campione per specificare se ci si riferisce a una popolazione o a un campione. 3.4 La probabilità: le interpretazioni della probabilità Probabilità: frequenza relativa di un particolare risultato. Risultato (outcome): esito di un esperimento.

semplicemente dio qualunque situazione di cui non si conosce anticipatamente l'esito

Frequenza: quante volte un evento si verifica

Frequenza relativa: numero di volte in cui un evento si verifica rispetto al numero di volte in cui l'evento potrebbe verificarsi

La frequenza relativa attesa è ciò che ci si aspetta di ottenere a lungo termine -> interpretazione frequentista o interpretazione della probabilità come una frequenza relativa a lungo termine

Esprimere quanto siamo sicuri che un particolare evento si verifichi -> interpretazione soggettiva della probabilità

3.4 Calcolo della probabilità

Risultati possibili favorevoli

Probabilità = numero di risultati possibili favorevoli / tutti i risultati possibili

3.4 Passaggi per il calcolo della probabilità

Tre passaggi:

1. Determinare il numero di risultati possibili favorevoli

2. Determinare il numero di tutti i risultati possibili

3. Dividere il numero dei possibili favorevoli per il numero di tutti i risultati possibili

3.4 Intervallo

della probabilitàProbabilità è una proporzione: non può essere <0 o >1o Quando la probabilità di un evento è 0 -> impossibileo Quando la probabilità di un evento è estremamente bassa -> improbabileo o poco probabile3.4 Le probabilità espresse come simboliSimbolo usato per la probabilità è solitamente la lettera po3.4 La probabilità, i punti Z e la distribuzione normaleProbabilità in termini di proporzione di punteggi: si adatta bene allao distribuzione di frequenzaPossiamo anche pensare alla distribuzione normale come unao distribuzione di probabilitàIn una curva normale, la % di punteggi fra due punti Z qualsiasi non èo nota% di punteggi fra due punti Z qualsiasi è identica alla probabilità dio selezionare un punteggio fra questi due punti Z3.5 Controversie: la curva normale è davvero così normale?I metodi statistici principali che gli

Psicologi assumono che i campioni studiati provengano da popolazioni che sono distribuite secondo una curva normale. I ricercatori non conoscono quasi mai la forma reale della distribuzione o della popolazione -> devono assumere che la popolazione abbia una distribuzione normale.

L'uso di campioni non casuali è comune nella maggior parte della ricerca in psicologia, in quanto includono chiunque sia disponibile a partecipare all'esperimento.