Elementi di analisi matematica e geometria - Numeri naturali e relativi

Numeri Naturali

Proprietà Commutativa combinando l'ordine degli addendi nell'addizione e l'ordine dei fattori nella moltiplicazione la somma ed il prodotto non cambia

Addizione 4 + 7 = 7 + 4

Moltiplicazione 3 ∙ 9 = 9 ∙ 3

Proprietà Associativa d'addizione di 3 numeri posto allo stesso risultato da aggiungendo il terzo numero alla somma dei primi due se aggiungendo al primo la somma del secondo e del terzo. Analogamente il prodotto non cambia se moltiplichiamo il prodotto dei primi due per il terzo e se moltiplichiamo il primo per il prodotto del secondo per il terzo.

Addizione (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 8 = 16

Moltiplicazione (3 ∙ 5) ∙ 2 = 15 ∙ 2 = 30 3 ∙ (5 ∙ 2) = 3 ∙ 10 = 30

Proprietà Distributiva (ovvero come trasformare una somma in un prodotto) Questa è una proprietà che collega l'addizione alla moltiplicazione

4 ∙ (7 + 5) = 4 ∙ 12 = 48 oppure 4(7 + 5) = (4 ∙ 7) + (4 ∙ 5) = 28 + 20 = 48

Quando i termini di una somma presentano un fattore comune, possiamo dire che una delle proprietà distributive è di esprimere una somma sotto forma di prodotto

3 ∙ 5 + 3 ∙ 8 = 3(5 + 8) oppure 4 ∙ 37 + 4 ∙ 3 = 4(37 + 3)

Numeri Naturali N

Proprietà Commutativa cambiando l'ordine degli addendi nell'addizione e l'ordine dei fattori nella moltiplicazione la somma ed il prodotto non cambia

Addizione4 + 7 = 7 + 4

Moltiplicazione3 x 9 = 9 x 3

Proprietà Associativa d'addizione di 3 numeri posto al primo l'inetto di aggiungendo il terzo numero alla somma dei primi due se aggiungiamo al primo la somma del secondo e del terzo. Analogamente il prodotto non cambia se moltiplichiamo il prodotto dei primi due e per il terzo, se moltiplichiamo il primo per il prodotto del secondo per il terzo.

Addizione(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 167 + (4 + 5) = 7 + 8 = 16

Moltiplicazione(3 x 5) x 2 = 15 x 2 = 303 x (5 x 2) = 3 x 10 = 30

Proprietà Distributiva (ovvero come trasformare una somma in un prodotto)Questa è una proprietà che collega l'addizione alla moltiplicazione

4 x (7 + 5) = 4 x 12 = 48 oppure 4(7 + 5) = (4 x 7) + (4 x 5) = 28 + 20 = 48

Quando i termini di una somma presentano un fattore comune, possiamo dire che la proprietà distributiva ci dà sempre una somma sotto forma di prodotto

3 x 5 + 3 x 8 = 3(5 + 8) oppure 4 x 37 + 4 x 3 = 4(37 + 3)

Il ruolo dello zero e dell'uno

• Qualsiasi numero aggiunto allo zero rimane invariato

a + 0 = 0 + a = a

• Qualsiasi numero moltiplicato (moltiplicazione) per uno numero rimane invariato

a x 1 = 1 x a = a

• Il prodotto di un numero per zero è sempre uguale a zero

a x 0 = 0 x a = 0

La proprietá delle potenze

La potenza di un numero si definisce come il prodotto di piu' fattori uguali e quel numero

• Q¹ = a
• Q⁰ = 1

Moltiplicazione

Il prodotto di due o piu potenze di Uguale base e una potenza avente la stessa base e l'esponente

La somma degli esponenti

a^m x aⁿ = a^m+n

Divisione

Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base e con esponente

uguale alla differenza degli esponenti

Potenza di Potenza

Esempio: è una potenza della stessa base e con esponente uguale al prodotto degli esponenti.

(3⁵)² = 3⁵ . 3⁵ = 3⁵⁺⁵ = 3^5×2 = 3¹⁰

\( (e^b)^m = e^{m \cdot m} \cdot 5^m \)

Numeri Primi

Sono i numeri che non hanno altri divisori all'infuori di se stessi e dell'unità.

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 18 - 23 - 28 - 31...

M.C.D. Massimo Comune Divisore e M.C.M. Minimo Comune Multiplo

12 = 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

18 = 1 - 2 - 3 - 6 - 3 - 18

I divisori comuni sono 1 - 2 - 3 - 6 il più grande 6 è il M.C.D. di 12 e 18 e 12 e M.C.M. di 12 e 18.

Due numeri si dicono Primi tra loro se il loro M.C.D. è uguale a 1, cioè i due numeri non hanno altri divisori comuni se non l'1.

M.C.D (4, 8) = 1

M.C.D (24, 25) = 1

Numeri Razionali

Z → NumeratoreS → Denominatore

Somma di Frazioni

15/3 + 14/2 = 30 + 42 = 72 = 126 6

\( \left( \frac{e}{b} \right)^{m} = \frac{e^{m}}{b^{m}} \)

Per elevare a potenza una frazione si eleva a quella potenza sia il numeratore sia il denominatore.

Esercizi Numeri Naturali

1. 16, 8, 8, 30, 36
   • 16 | 2
   • 8 | 2
   • 8 | 2
   • 30 | 3
   • 36 | 3
   • | 2
   • | 2
   • | 2
   • | 5
   • | 12 | 3
   • 4 | 2
   • 1
   • 2
   • 2
   • 1
   • 2 | 3
   • 4
   • 1

• 2⁴
• 2³
• 3²
• 3.5.2
• 3².4

MCB | 3

mcm = 8

Numeri Razionali

33. 1/7 + 2/7 = (1 + 2)/7 = 3/7

34. 5/6 + 7/15 - (1/3 - 5) - (5/3 - 1/12 - 3/4)

    5/6 + 7/15 - (5 - 3)/15 - (20/12 - 8/12)

    5/6 + 7/15 - 2/15 - 10/12 =

    (100 + 56 - 16 - 100)/120 = 40/120 = 1/3

(2.3.5⁴) / 120

(3) POLINOMI

Si chiamano polinomi la somma algebrica di più monomi con la amia tra loro.

I monomi si dicono termini del polinomio — il polinomio:

• A due termini si dice BINOMIO
• A tre termini si dice TRINOMIO
• A quattro termini si dice QUADRINOMIO

Si chiama grado di un polinomio il più alto tra i gradi dei suoi termini:

4x⁶ + 3x²y³ + 0,5 + 5b³

il suo grado è 7 in quanto è il grado più alto fraquelli dei suoi termini che sono rispettivamente6, 7, 2, 3

• Un polinomio si dice OMOGENEO se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

2x³ - 5x² + 0,5x²y + 5b³ (GRADO 3)

• Un polinomio si dice ORDINATO rispetto a una lettera se i suoi termini si scrivono in modo che gli esponenti di quella lettera siano crescenti o decrescenti

5ex⁴ - 3x² + 3x - 5

• Un polinomio si dice COMPLETO rispetto ad una lettera se presenta tutte le potenze di quella lettera, dal grado massimo al grado zero

x⁴ - 2x³y + 3x²y² - xy³ + y⁴

Questo polinomio è: Omogeneo Ordinato Completo

SOMMA e DIFFERENZA

La somma e la differenza di somme di due polinomi si riduce eliminando