disequazioni goniometriche

Disequazioni goniometriche

A) sin x > a

Se a ≥ 1: impossibile (la funzione sin x è limitata tra -1 e +1).

Se a < -1: sempre vera (qualunque valore di x soddisfa la disequazione; la funzione sin x è sempre > -1): ∀x ∈ ℝ.

Se a = -1: vera ∀x ≠ ³/₂π + 2kπ [infatti: sin(³/₂π + 2kπ) = -1]

Se -1 < a < 1: scelto α tale che sin α = a con 0 ≤ α < 2π, le soluzioni sono: α + 2kπ < x < π - α + 2kπ, ∀k ∈ ℤ.

B) sin x < a

Se a > 1: disequazione sempre vera, qualunque valore di x la soddisfa, la funzione sin x è sempre < 1: ∀x ∈ ℝ.

Se a ≤ -1: impossibile, nessuna soluzione, la funzione sin x è sempre ≥ -1.

Se a = 1: vera ∀x ≠ _π/₂ + 2kπ [infatti sin(_π/₂ + 2kπ) = 1]

Se -1 < a < 1: scelto α tale che sin α = a con 0 < α ≤ 2π, le soluzioni sono: 2kπ - x < α + 2kπ e π - α + 2kπ < x < 2π + 2k₁, ∀k, k₁ ∈ ℤ.

C) cos x > a

Se a ≥ 1: disequazione impossibile, nessuna soluzione; la funzione cos x è limitata tra -1 e 1.

Se a < -1: sempre vera, qualunque valore di x soddisfa la disequazione; la funzione cos x è sempre > -1: ∀x ∈ ℝ.

Se a = -1: vera ∀x ≠ π + 2kπ [infatti: cos(π + 2kπ) = -1]

Se -1 < a < 1: scelto α tale che cos α = a con 0 < x ≤ π, le soluzioni sono: -α + 2kπ < x < α + 2kπ, ∀ k ∈ ℤ.

D) cos x < a

Se a > 1: disequazione sempre vera: ∀ x ∈ ℝ, la funzione cos x è sempre < 1.

Se a < -1: impossibile, nessuna soluzione; la funzione cos x è sempre ≥ -1.

Se a = -1: vera ∀ x ≠ π + 2kπ [infatti: cos(π + 2kπ) = -1]

Se -1 < a < 1, scelto α tale che cos α = a con 0 ≤ α < π, le soluzioni sono: α + 2kπ < x < 2π - α + 2kπ, ∀ k ∈ ℤ.