Definizioni e Teoremi di Geometria e Algebra

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Università degli Studi di Napoli “Federico II”

Ingegneria Informatica

Prof. Francesco Belardo --- Definizioni e teoremi di Salvatore Capuozzo

GEOMETRIA E ALGEBRA

STRUTTURE ALGEBRICHE

Operazione interna

′

è : × → ∗

Operazione associativa

′ ( (

∗ è ∗ ) ∗ = ∗ ∗ ) ∀, , ∈

Operazione commutativa

′

∗ è ∗ = ∗ ∀, ∈

Struttura algebrica

(;

è ∗), ∗ è

Semigruppo

∗

è ,

Monoide

è

Gruppo

è

Gruppo abeliano

è

Anello

+ ∙

(;

+; ∙) :

1) (;

+) è

2) (;

∙) è

′ ′

3) ( )

∙ + = ∙ + ∙ ∀, , ′ ∈

Anello commutativo ′ (

∙ ) è

Anello unitario ′ ′

∙

( )

Corpo

+ ∙

(;

+; ∙) :

1) (;

+) è

∗

2) (

; ∙) è

′ ′

3) ( )

∙ + = ∙ + ∙ ∀, , ′ ∈

∗ ′

0

Campo

+ ∙

(;

+; ∙) :

1) (;

+) è

∗

2) (

; ∙) è

′ ′ ′

3) ( )

∙ + = ∙ + ∙ ∀, , ∈

∗ ′

0

Operazione esterna

′

è : × → ∙

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Riassunto grafico delle strutture algebriche

Struttura algebrica base (Magma) Anello

(A,+) gruppo abeliano

(A,*) (A,*) semigruppo e distributiva

Associativa Elemento neutro

Semigruppo Anello unitario

(A,+) gruppo abeliano

(A,*) associativa (A,*) monoide e distributiva

Elemento neutro Commutativa Inverso

Anello unitario

Monoide Corpo

commutativo

(A,+) gruppo abeliano (A,+) gruppo abeliano

(A,*) associativa ed elemento neutro (A,*) mon. comm. e distr. (A,*) gruppo e distributiva

Inverso Inverso Commutativa

Gruppo Campo

(A,+) gruppo abeliano

(A,*) associativa, elemento neutro e (A,*) gruppo abeliano e distributiva

inverso

Commutativa

Gruppo abeliano

(A,*) associativa, commutativa,

elemento neutro e inverso

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SPAZI VETTORIALI

Spazio vettoriale

+ ∙

(;

+; ∙) :

1) (;

+) è

2) ( (

∙ ∙ ) = ∙ ) ∙ ∀, ∈ ∀ ∈

3) 1 ∙ = ∀ ∈

4) ( + ) ∙ = ∙ + ∙ ∀, ∈ ∀ ∈

5) (

∙ + ) = ∙ + ∙ ∀ ∈ ∀, ∈

Proprietà degli spazi vettoriali

à:

�

1) 0 ∙ ̅ = 0 ∀̅ ∈

2) (−1) ∙ ̅ = −̅ ∀̅ ∈

� �

3) ∙ 0 = 0 ∀ ∈

� �

4) ∙ ̅ = 0 ≠ 0 ⇒ ̅ = 0

⋀

DIMOSTRAZIONE

1) (0

0 ∙ ̅ = + 0) ∙ ̅ = 0 ∙ ̅ + 0 ∙ ̅

(0 )

0 ∙ ̅ − ∙ ̅ = 0 ∙ ̅ + 0 ∙ ̅ − (0 ∙ ̅ )

� � �

0 = 0 ∙ ̅ + 0 ⇒ 0 = 0 ∙ ̅

�

2) (−1) (−1)

0 = 0 ∙ ̅ = �(−1) + 1� ∙ ̅ = ∙ ̅ + 1 ∙ ̅ = ∙ ̅ + ̅

� (−̅ )

0 + = �(−1) ∙ ̅ + ̅ � + (−̅ )

(−1) (−̅ ))

−̅ = ∙ ̅ + (̅ +

�

(−1) (−1)

−̅ = ∙ ̅ + 0 ⇒ −̅ = ∙ ̅

3)

�

4) ∙ ̅ = 0 �

−1 −1

∙ ̅ ∙ = 0 ∙

�

−1

( ∙ ) ∙ ̅ = 0

� �

1 ∙ ̅ = 0 ⇒ ̅ = 0

Sistema ordinato (̅ )

− = , … , ̅ , , è ℎ ,

1

′ ′

Combinazione lineare

(̅ ) ( )

= , … , ̅ , … , ∈ −

1 1

̅ = � ̅ , ̅ , … , ̅

1

=1

, … ,

1

Relazione di dipendenza del sistema ordinato S