Coniche quadriche e insieme di livello

CONICHE

ELLISSE

^x2/_a² + ^y2/_b² = 1

se è centrata in (x₀, y₀)

^(x-x₀)2/_a² + ^(y-y₀)2/_b² = 1

PARABOLA: y = ax² + bx + c

V(^-b/_2a , ^{-b2 + 4ac}/_4ac)

x = ay² + by + c

V(^-b2+4ec/_4ac , ^-b/_2a)

IPERBOLE: ^x2/_a² - ^y2/_b² = 1

^x2/_a² - ^y2/_b² = -1

ASINTOTI: y = ± ^b/_a x

se è centrata in (x₀, y₀)

^(x-x₀)2/_a² - ^(y-y₀)2/_b² = ± 1

Se a = b → IPERBOLE EQUILATERA

y₁ y₀ = ± ^b/_a (x-x₀)

CONICHE

ELLISSE

^x²/_a² + ^y²/_b² = 1

Se è centrata in (x_o, y_o)

^{(x - x_o)²}/_a² + ^{(y - y_o)²}/_b² = 1

PARABOLA

y = ax² + bx + c

V (-^b/_2a , -^{b² - 4ac}/_4ac)

x = ay² + by + c

V (-^{b² - kcc}/_4ac , -^b/_2a)

IPERBOLE

^x²/_a² - ^y²/_b² = 1

-^x²/_a² + ^y²/_b² = 1

ASINTOTI

y = ±^b/_ax

Se è centrata in (x_o, y_o)

^{(x - x_o)²}/_a² - ^{(y - y_o)²}/_b² = ± 1

Se a = b => IPERBOLE EQUILATERA

y_o, y_o = ±^b/_a(x - x_o)

Iperbole Equilatera Riferita Ai Propri Asintoti

xy = K

K > 0

K < 0

Esempio 1

g(x,y) = log(5 - 2x - 2y)√xy - 1

C.E.

• 5 - 2x - 2y > 0    g₁
• xy - 1 > 0    g₂

g₁ ≥ 0

5 - 2x - 2y = 0 ; y = -x + 5/2

g₂ ≥ 0

xy - 1 = 0 ; xy = 1

g₁(0,0) = 5 ≥ 0

Intersezione

• 5 - 2x - 2y = 0
• xy - 1 = 0

A    {x = 5/2

___________

y₁ = -2

B    {x = 2

___________

y = 1/2

Dg: {(x,y) ∈ ℝ² : x < 0, y ≤ x/2} ∪ {(x,y) ∈ ℝ² : 1/2 ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ -x + 5/2}

Esempio 2

f(x,y) = √y - x² + 8√x-y²

C.E.

• y - x² ≥ 0
• x - y² ≥ 0

g₁(1,0) = -1

g₂(1,0) = -1

Intersezione

{ y = x²

• x = y² → y = y⁴, y(y³-1) = 0

A

• { x = 0
• y = 0

B

• { x = 1
• y = 1

B - y = ±√x

Df = { (x,y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x ≤ 1 , x² ≤ y ≤ √x }

Df. Chiuso, connesso, non aperto

ESEMPIO 3

f(x,y) = arcsin (x² - 2y² - 1)

QUADRICHENONDEGENERIE

ELLISSOIDE: ^x/_a +^y/_b +^z/_c =1

SE: ABC= SFERA: ^x+^y+^z =

PARABOLOIDE ELLITTICO: ^x/_a +^y/_b = Z=0

PARABOLOIDE IPERBOLICO:^x/_a -^y/_b Z=0

IPERBOLOIDE A FALDA: ^x/_a +^y/_b -^z/_c =1

QUADRICHE DEGENERI

CONO: ^x/_a +^y/_b -^z/_c =0

CILINDRO ELLITTICO: ^x/_a +^y/_b =1

CILINDRO IPERBOLICO:^x/_a -^y/_b =-1

CILINDRO PARABOLICO: ^x2x =0