Compito svolto 20 Giugno 2011 Elettrotecnica prof Coco

Esercizio 1:

t < 0

V₂ = V_g1 quindi V_c(0^-) = V₂ = V_g1 = 1 V

inoltre V₁ = a V₂ = V_g1 = 1 V; i_R2 = -V₂ / R₂ = -\(\frac{1}{2}\) A

IKC₁: i₂ + i_R2 - i_R2 - i_L(0^-) = 0 ⇒ i_L(0^-) = i₂

IKC₂: i₁ - i_R2 + V_g1 - V₁ / R₁ = 0 ⇒ i₁ = i_R2

ma i₁ = -i₂ ⇒ i_L(0^-) = -i_R2 = \(\frac{1}{2}\) A

t > 0

Applichiamo Norton

Esercizio 1:

t < 0

V₂ = V_g1 quindi V_c(0^-) = V₂ = V_g1 = 1 V

inoltre V₁ = a V₂ = V_g1 = 1 V;

i_R2 = - V₂ / R₂ = - 1 / 2 A

LKC₁:

i₂ + i_R2 - i_R2 - i_L(0^-) = 0

i_L(0^-) = i₂

LKC₂:

i₁ - i_R2 + V_g1 - V₁ / R₁ = 0

i₁ = i_R2

ma i₁ = - i₂ ⇒ i_L(0^-) = - i_R2 = 1 / 2 A

t > 0

Applichiamo Norton

Applichiamo il Teorema di Norton

Calcolo di R_eq

I_p = ^V_p/_R2 + i₂ + i_R2 = ^V_p/_R2 - i₁ - ^V_p/_R2 = -i₁

Ma V₂ = V₁ = V_p e i₁ = i_R2 = ^V₁/_R1 = ^V_p/_R2 - ^V_p/_R1 = -(¹/_R2 + ¹/_R1) V_p

I_p = ( ¹/_R2 + ¹/_R1) V_p ⇒ R_eq = ^V_p/_Ip = ^{R₁ R₂}/_{R1 + R2} = ²/₅ Ω

Calcolo I_eq

I_eq = i_R2 - i₂ - i_R2 = -i₂ = i₁; V₂ = V₁ = 0

quindi i_R1 = 0 e i₁ = i_R2 = ^V_g2/_R2 = ¹/₂ A

I_eq = ¹/₂ A

Scrivendo una LKC al circuito equivi si ha:

i_L + _VL/^R_eq + i_C = I_eq

Ma V_i = V_C e V_i = L di_L/dt e i_C = C dV_C/dt = CdV_i/dt

Quindi

LC d²i_L/dt² + ^L/_Req di_i/dt + i_L = I_eq

↓

d²i_L/dt² + ⁵/₄ di_L/dt + i_L = ¹/₂

λ² + ⁵/₄ λ + 1 = 0

λ₁ = ¹/₈ (-5 - i √39) , λ₂ = ¹/₈ (-5 + i √39)

La soluzione particolare è V_L = ¹/₂

quindi

i_L(t) = A e^{5/₈ t} cos(^√39/₈ t + ψ) + ¹/₂

Sappiamo che i_L(0⁺) = ¹/₂ A mentre

di_L(0⁺)/dt = ^{V_L(0+) - V_C(0+)}/_L = -¹/₂

I poniamo le c.i

i_L(0) = ¹/₂ = A cos φ + ¹/₂

^di_L/_dt (0) = -2 = - ⁵/₈ A cos φ - ^√3/₈ A sen φ

⇒

¹/₂ = A cos φ + ¹/₂ ⇒ A cos φ = 0 (2)

-2 = -⁵/₈ A cos φ - ^√3/₈ A sen φ

⇒

2 = ^√3/₈ A sen φ (3)

Que derando e sommando le (2) e (3)

si ho

A² = ^{4 ∙ 82}/_{5 5} ⇒ A = ^{2 ∙ 8}/_√3 =

≅ 2,56

e φ = ^π/₂

i_L(t) = 2,56 e ^-5/₈ cos ( ^√3/₈ t + ^π/₂ ) + ¹/₂ A

per t → ∞ si ho v_L(∞) = v_c(∞) = 0 e

v_L(∞) = ¹/₂ A Quindi

e_c(∞) = 0 J e

e_L(∞) = ³/₂ L [^v_L/₂]² =

¹/₁₆ J

2° esercizio:

Applichiamo il Teorema di Thevenin

Z_eq:

Z_eq = Z_E + Z_∅

V_p = 2j I₁, da cui

I_p = _Vp/^2j + _Vp/^R₁ ⇒ Z = _{2j R1}/^{R₁ + 2j}

Z = ₂/^{1 + j}

V_L2 = j3 I₂ + j2 I₁ = j (3 - 2) I₁ = j I₁

Z_eq = ¹/_jC + ^2j/_1+j = -2j + ^2j/_1+j = ^2j/_1+j ( ¹/_1+j -1) =

= ²/_1+j, Quindi R=|Z_eq| = ²/_√2 Ω = √2 Ω

Calcoliamo la V_eq:

V_L1 + V_eq - V_C - V_L2 = 0

⟹ V_eq = V_L2 - V_L1 + V_C

V_C = Z_C I_g

V_g = e^{-j π/₂} - j V

I_g = 1 A

V_L1 + R₁ I_L1 + V_g - V_L2 = 0 (4)

V_L1 = j 3 I_L1 + j 2 ( I_g - I_L1)

V_L2 = j 3 (I_g - I_L1) + j 2 I_L2

Dalla (4) si ha :

j 3 I_L1 + j 2 - j² I_L1 + 2 I_L2 - j ⋅ 3 + j 3 I_L2 +

-j 2 I_L2 = 0

⟹ (2 j + 2) I_L1 = 2 j ⟹ I_L1 = ^{2 j}/_2(1+j)