Centro di massa quantità di moto totale

Centro di massa e quantità di moto totale

Calcolo del centro di massa

Il centro di massa di un sistema di punti può essere calcolato utilizzando le coordinate medie dei punti. Ad esempio, per due punti possiamo calcolare:

X_medio = (x₁ + x₂) / 2 ; Y_medio = (y₁ + y₂) / 2 ; Z_medio = (z₁ + z₂) / 2

Facciamo ora una media pesata usando le masse dei punti come peso:

X_CM = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) ; Y_CM = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂) ; Z_CM = (m₁z₁ + m₂z₂) / (m₁ + m₂)

X_CM, Y_CM, Z_CM sono le coordinate del centro di massa. Esso non coincide necessariamente con uno dei punti materiali. Nel caso di N punti materiali si ha:

X_CM = Σ_im_ix_i / M = Σ_im_i ; Y_CM = Σ_im_iy_i / M ; Z_CM = Σ_im_iz_i / M

In forma vettoriale si ha:

Y_CM = Σ_im_ir_i / M

Quantità di moto totale

Per un sistema di due particelle abbiamo:

P_totale = m₁v₁ + m₂v₂

Il centro di massa del sistema di due particelle si calcola come:

r_CM = (m₁r₁ + m₂r₂) / M ; con M = m₁ + m₂

Derivando r_CM rispetto al tempo otteniamo:

V_CM = d_rCM/dt = (m₁ d_r1/dt + m₂ d_r2/dt) / M = (m₁v₁ + m₂v₂) / M

Moltiplicando per M:

M V_CM = m₁v₁ + m₂v₂ = P_totale

La quantità di moto totale di un sistema di punti è equivalente alla quantità di moto di un punto materiale che ha massa uguale alla massa totale del sistema e velocità pari alla velocità del centro di massa. La conservazione della quantità di moto implica che M V_CM = costante ⇒ V_CM = costante.

Forze interne e forze esterne

La distinzione tra forze interne ed esterne è fondamentale per comprendere le dinamiche di un sistema di particelle. Le forze interne sono quelle che le particelle esercitano l'una sull'altra all'interno del sistema, mentre le forze esterne sono quelle esercitate da agenti esterni sul sistema stesso.