Appunti Statistica 1

STATISTICA 1

TERMINOLOGIA

• Popolazione totale dei casi in cui si manifesta il fenomeno oggetto di studio
• Campione parte scelta della totalità dei casi
• Unità statistica caso singolo - individuale
• Carattere concentrazione, oggetto che rileviamo. Il carattere si può manifestare secondo modalità diverse
  • Qualitativo
    • Sconnesso (con nessun legame di qualità)
    • Ordinalabile (es. livello di istruzione)
  • Quantitativo
    • Discreto (quantità numerabile e ordinabile, scala unitaria) - Giorni
    • Continuo (quantità possono assumere tutti i valori e sono soggette a unità di misura) - In altezza

• N = popolazione totale
• Ni = frequenza assoluta
• Ni⁺ = frequenza assoluta cumulata
• Fi = frequenza relativa = N
• Fi⁺ = frequenza relativa cumulata

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE: VARIABILI QUALITATIVE

1. DIAGRAMMA A BARRE (rettangoli separati)

1. DIAGRAMMA A TORTA

Per sapere il d° di ogni spicchio bisogna fare proporz. 360° ✕ Ni/N^totale= α

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE: VARIABILI QUANTITATIVE

1. Variabile discreta → Diagramma a bastoncini
2. Variabile continua → Istogramma

Numero classi

• a_i = ampiezza classe

a_i = numero atomi di frequenza

In questo modo rendiamo omogeneo il confronto. La distribuzione è visualizzata dall'area.

INDICI DI POSIZIONE

Parametro che sintetizza l'ordine e/o grandezza della distribuzione fattoriale.

I indici di P:

• non analitici: moda, mediana e percentili
• analitici: medie potenziate

PROPRIETÀ GENERALI

degli I.P.: g(x)

• Principio di InternaLità di Cauchy ➔ min(x) ≤ g(x) ≤ max(x)
• Moltiplicativa ➔ g(k ⋅ x) = k ⋅ g(x)
• Monotonicità ➔ x > y ⇒ allora g(x) > g(y)

1. MODA

   Il valore a cui è associata la frequenza maggiore

   • La posso calcolare sia x variabili quantitative sia x variabili quantitative
   • Nel caso di classi di intervallo, come procedo?
   • Scelgo la classe che ha densità di frequenza maggiore (=classe modale)
   • Come valore per convenzione ➔ scelgo il valore centrale

   NB: Può succedere ➔ 2 MODI di fi modai ➔ CARATTERE BINOMIALE

2. MEDIANA

   = valore assunto dalla variabile x che divide una popolazione in

   2 parti uguali:

   • la mediana occuore la posizione centrale nella distribuzione di freq. ordinata
   • => si può calcolare solo x le variabili quantitative e qualitative ordinali

   - Osservazioni con N pari ➔ N/2 e N/2 + 1 Indlruolo le 2 posizioni centrali

   - Osservazioni con N dispari ➔ N/2 + 1 poszione centrale

   • Tabella ai frequenze:
   • ordino le modalità
   • calcolo la posizione detla mediana
   • individuo la "i" Ni > alla posizione della mediana ➔ trovo la mediana
   • Classi di intervallo:
   • calcolo le fi
   • calcolo le Fi
   • enter ce posizione sulla caluna Ni

   ESEMPIO

   • X_i - X_i-1 | N_i | f_i | F_i
   • 1-4 || 50 | 0,25 | 0,25
   • 4-9 || 75 | 0,375 | 0,375
   • 9-15 || 75 | 0,875 | 0,875

   (15 Matt

   ➔ A = 15, l = 5 | = * : 0,75

   x = 1,461 => m = 4,461 * 12,461 = ⇒ Mediana

VARIANZA

σ² = VAR(x)

quadrato dello scarto quadratico medio

σ = scarto quadratico medio

Per confrontare la variabilità tra caratteri quantitativi anche espressi con unità di misura differenti uso il coefficiente di variazione c.v. = σ/μ

Situazioni estreme:

1. Minima variabilità → Tutte le N unità statistiche assumono lo stesso valore

σ² = 0

• x = {5,5,5,5,5}

2. Massima variabilità → la variabilità aumenta se aumenta la distanza dei valori dalla media fissata

Si dimostra che

σ²_max = (b - a)²(μ - a)

VARIANZA NORMALIZZATA

σ²_N = σ²/σ²_maxbassa variabilità alta variabilità

PROPRIETÀ OPERATORE VARIANZA

σ²_x = VAR(x)

VAR(c) = 0

VAR(ax) = a² VAR(x)

VAR(x + y) = VAR(x) + VAR(y)

VAR(x) > 0 sempre è non monotona

Regressione Lineare

Regredire: cercare una relazione funzionale tra variabili con metodi statistici

• Studio della relazione di Y dipendente da X mediante una funzione

Funzione di regressione: è sperata che passi per se medie condizionate e rappresentata analiticamente da un polinomio completo di grado (n-1)

Studio:

• Scelta del modello della funzione interpolante

Grado Polinomio = 0y = c

Grado Polinomio = 1y = cx

Grado Polinomio = 1y = a + bx

• Scelta dei parametri in modo da rendere minima
• Valutazione della bontà del modello con k parametri
• Se il modello non è bene, lo cambio

Stima dei Parametri

I parametri sono scelti in modo da rendere minima la media dei quadrati degli scarti dei valori osservati y e quelli teorici y^*

M[{y - y^*}{y - y^*}'] = min

y = a₁ + bx

M[{y - a - bx}²] = min

{HL(y - a)²} = HL{y - y^*}²a = y

Quando a,b e c trovo la miglior retta che minimizza l’errore quadratico

y = = My - b Mx

= COV(XY)σ_x²

Cosa è la Covarianza (Cov(XY))? È la media dei prodotti degli scarti di ogni variabile dalla propria media aritmetica

Cov(X,Y) = M(x - x)(y - y)= M(xy) - Mx My

! La covarianza può assumere valori + o – e fornisce informazioni sulla tipologia della relazione lineare esistente tra le variabili x e y