Appunti schematici di Analisi statistica multivariata - modulo R

OPERATORI LOGICI

x & y , x | y , x ! y | x != y diversoand or not

ARROTONDARE

round(x, n° decimale), ceiling(), floor()

FUNZIONI MATEMATICHE

abs, sign, sqrt, exp, log, log10Inf, pi, NaN, choose(n, x), sin, cos, tan, factorial, NA∞ π indef. x! not available

TIPI DI DATO

numeric, character, logical, complex, mavector, list, finite, infinite, null, nanfactor, ordered

VETTORI

x = c(...) un solo tipo (o numeric o character)vector("tipo", lunghezza) lo crea vuotoas.vector(x, "tipo") trasforma xany di default

NOMI ELEMENTI VETTORE names(x) anche x RINOMINARELUNGHEZZA length(x)TIPOLOGIA mode(x) oppure class(x)

SEQUENZE

x = a:b x = seq(a, b, by = 1, length = u)intervallo quanti numeri tra a e b

LISTE

list(..., ..., ...) ≠ tipiCREARE LISTA VUOTA vector(mode = "list")names(x), length(x)

FACTOR

x = c(...) factor(x) VARIABILE CATEGORIALE non ordinatafactor(x, levels = c(..., ...)) as.factor(x) trasformalevels(y) = levels(factor(x)) ➔ NOMI delle categorie

ORDERED

x = c(...) ordered(x) VARIABILE CATEGORIALE ORDINATAordered(x, levels = c(...)) specifico le categorielevels(ordered(x)) in ordine

FREQUENZE

x = factor o orderedtable(x) ➔ vettore di f. assolutenames(table(x)) nomi categorie

OPERATORI LOGICI

x & y, x | y, x ! y | x != y diverso

and or not

ARROTONDARE

round(x, n°decimale), ceiling(), floor()

FUNZIONI MATEMATICHE

abs, sign, sqrt, exp, log, log₁₀

Inf, pi, NaN, choose(n, x), sin, cos, tan, factorial, NA not available

∞ π indef. (n ^x)

x² e^x ln

TIPI DI DATO

numeric, character, logical, complex, ma

vector, list, finite, infinite, nulle, non

factor, ordered

VETTORI

x = c(...) un solo tipo (o numeric o character)

vector("tipo", lunghezza) lo crea vuoto

as.vector(x, "tipo") trasforma x ↓ any di default

NOMI ELEMENTI VETTORE

names(x) anche x RINOMINARE

LUNGHEZZA

length(x)

TIPOLOGIA

mode(x) oppure class(x)

SEQUENZE

x = a : b

x = seq(a, b, by = 1, length = n)

intervallo quanti numeri tra a e b

LISTE

list(..., ..., ...) # tipi

CREARE LISTA VUOTA

vector(mode = "list")

names(x), length(x)

FACTOR

x = c(...) factor(x) VARIABILE CATEGORIALE non ordinata

factor(x, levels = c(..., ...))

levels(y) = levels(factor(x)) → NOMI delle CATEGORIE

as.factor(x) trasforma

ORDERED

x = c(...) ordered(x) VARIABILE CATEGORIALE ORDINATA

ordered(x, levels = c(...)) specifico le categorie in ordine

levels(ordered(x))

FREQUENZE

x = factor o ordered

table(x) = vettore di f.assolute names(table(x))

nomi categorie

OGGETTI

objects() o ls()

elenco di tutti gli oggetti salvati nella memoria di lavoro

RIMUOVERE VARIABILE

rm(x) solo xrm(list = ls()) tutte

CONDIZIONI

is.tipoVariabile(x) restituisce TRUE/FALSE se x è quel tipo o no

all(condizione su x) → TRUE/FALSE se x soddisfanoany(condizione su x) → TRUE/FALSE se almeno una soddisfa

ORDINAMENTO

x = c(...)sort(x, decreasing = FALSE) crescente= TRUE decrescente

INDICI DEI VALORI ORDINATI

order(x, decreasing = F)= T

RIPETIZIONE

rep(cosa ripetere, quante volte)

c(...)x

c(2, 2, 2)times = 2

SUBSETTING VETTORI

x = c(...)

• x[indici] VALORI CORRISP. A QUESTI INDICI
• un solo valore → un numeroa:b dal a-esimo al b-esimo
• indici = which(condizione)
• INDICE VAL.MAX = which.max(x)
• x[-indici] TUTTI I VALORI TRANNE QUELLI INDICATI
• x[condizione] TUTTI I VALORI CHE SODDISFANO COND.
• x[which(condiz)] condizione & condizionex più condizione
• PER NOME x[c("nome_elem1","nome_elem5")]
• PER T/F x[c(FALSE, TRUE, FALSE, TRUE)]
• di un vettore di 4 elemrestituisce i valori di quello con TRUE

SUBSETTING LISTE

y = list(..)

• y[[indici]] elementi corrispondenti a quegli indici
• y$nome_elemento
• PER ACCEDERE AD UN VALORE DI UN VETTORE NELLA LISTAy[[ind.lista]][i.vet]y$nomevett[i]

ESPRESSIoNI MATEMATICHE

x^[m] → x^m, bar(x)

LETTERE

letters (1:6) prime 6 lettere alfabeto

DIFF

diff (vettori) c(a',b) → b-a

RANGE

range (x) → (min, max)

↳ x = c(..)

DUPLICATED

duplicated (x) → VETTORE di TRUE/FALSE dove TRUE sono i valori doppi

PASTE

UNISCE I VARI CARATTERI IN UN UNICO "NOME"

paste (x, "ciao", "%", "\n"..., sep = " ")

↳ a capo

di default c'è lo spazio

ANALISI DATI

TABELLA → DATA.FRAME

m = length (df $col) = sum (.fi)

fi = table (x) FREQUENZE ASSOLUTE (per DATAFRAME o FACTOR)

Pi = fi/m = table(x) / sum(fi) FREQ. RELATIVE

Fi = cumsum (pi) FREQ. CUMULATE RELATIVE

wi = x_i+1 - x_i = diff (estremi) AMPIEZZA CLASSI

ci = Pi/wi DENSITÀ DI FREQUENZA

ECDF (rep (x; .fi)) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE EMPIRICA

CREO CLASSI

x = c(...) dati , estremi = c(...)

classi = cut (x , breaks = estremi, include.lowest = F, right = T)

chiuso a DX

OPERAZIONI TRA VETTORI

VETTORE NORMALE = V. COLONNA

ADDIZIONE

• TRA 2 VETTORI

  x + y = (x₁ + y₁ x_m + y_m)

  UGUALE LUNGHEZZA

• PER UNO SCALARE

  c + x = (c + x₁ c + x_m)

MOLTIPLICAZIONE

• TRA DUE VETTORI (PRODOTTO SCALARE)

  x · y = (x₁ · y₁ x_m y_m)

  UGUALE LUNGHEZZA

• PER UNO SCALARE

  c x = (c x₁ c x_m)

PRODOTTO VETTORIALE

RIGA × COLONNA o COLONNA × RIGA

t(x) * y

x * t(y)

RISULTATO: m RIGHE x

m × m

RISULTATO: m RIGHE x

m COLONNE y

m COLONNE y

DATA.FRAME

df = data.frame(x, y) dove x e y

• VETTORI
• FACTOR
• ORDERED...

names(df)

POSSO RIASSUMERLI

SUBSETTING DF

subset(df, subset = condizioni , select = nomecolonna)

OPPURE

df$nomecol o df[[indicecolonna]]

OPPURE

df[indiceriga, indicecolonna]

MATRICI

mat = matrix(data, nrow=, ncol=, byrow=F)

NOMINO: rownames = c(...,...,...)

colnames = c(...,...,...)

SUBSETTING

mat[riga, colonna] per accedere ad un vettore

SUM

sum(vettore numerico, na.rm=FALSE) → NUMERO

seq← se true rimuove i valori Na

sum(df[r,c]) somma tutti i valori delle righe e colonne indicate

rowsums(df) &> VETTORE COLONNA, una per ogni riga (:)

colsums(df) → VETTORE RIGA, una per ogni colonna (...)

GRAFICI

• GRAFICO A TORTA

pie (pi, labels = names(x), main = "-titolo-", col = "red")

• GRAFICO A BARRE e DATI QUALITATIVI

barplot (fi, main, xlab, ylab, xlim, ylim, names.arg, )

cex.names, cex.axis, horiz = F, las = 0)

• Se ho una MATRICE o una TABELLA (FREQS.REL) TABLE : X = matr o tabella

barplot (x, ... stesse cose ..., beside = F, legend = rownames(x))

• PLOT - DATI QUANTITATIVI

plot (x, y, xlim, ylim, main, xlab, ylab, sub, col, cex)

pch, type, lwd, cex, cex.main, cex.lab, cex.axis, axes)

diagramma ad aste type = "*h*" - numeri, distribuzioni

diagramma a dispersione no type, solo PCA = SCATTERPLOT

linea continua type = "l"

diagramma a scolini - FUNZ DI RIP. EMPIRICA

linea e punti type = "o" - FUNZIONE DI RIPARTZ.

ISTOGRAMMA ➔ DATI RAGGRUPPATI IN CLASSI

hist ( x , breaks = estremi, freq = F, main, xlab, ylab

tutti i dati

DENSITÀ

(=T FREQUENZE)

, ax.lab , ax.axis, ax.main , cex , col , xlim , ylim ,

, axes = T , nclass )

se = F non, ⤵ numero classi:

mette gli assi se non specifico is

→ li metti tu con estremi ecc ➔ DISTRIBUZIONI

AXIS

CLASSI CON AMPIEZZA ≠

AXIS AGGIUNGO ASSI AL GRAFICO

axis ( side , at = ... , … solite cose (cex, col …) )

a che punto segnare le

stanghette con il numero

TITLE (main ="titolo", sub = " ", xlab, ylab, cex, col, ...)

MTEXT ( testo, side , cex , line ..) MARGINI

TEXT ( pos x, pos y, valori, font , cex , pos , …)

un po sopra

POINTS ( x , y , pch , … )

posizione ⤲ da 1 a 25

ABLINE ( h = , lty = “dashed” , “dotted” )

A al valore o numero AGGIUNGO LINEA ORIZZONT.

PAR ( mfrow = c(1,1) COME SI DISPONGONO I

= c(2,2) GRAFICI

INDICI DI TENDENZA DATI GREZZI

• MODA x = c(...) f_i = table(x)x[which.max(f_i)] → dati raggruppati
• MEDIA mean(x) oppure SUM(x) / m → length(x)
• MEDIANA median(x) oppure
  • ORDINO x
  • POSIZIONE p = 0,5 × (m-1) p = 0,5 × m
  sort(x)[p]
• QUANTILI quantile(x, probs = ...) oppure
  • ORDINO x
  • POSIZ p = 0,25 × (m+1)
  • media dei valori di quella posizione (prima e dopo)
  ↓ 0,25 Q₁ 0,75 Q₃
• RANGE diff(range(x)) differenza tra il max e il min osservato
• DIFFER. INTERQUANTILE IQR(x) oppure diff(quantile(x, c(1,3)/4)) differenza tra Q₃ e Q₁

DATI RAGGRUPPATI

• MODA x[which.max(f_i)]
• MEDIA mean(x)
• MEDIANA x_i [ which (F_i: > 0,5) ][1] indice del primo valore tra i valori che superano 0,5

SUMMARY (x)

BOXPLOT (x)

• → max
• Q₃
• Q₂
• Q₁
• min

• soffici (main, xlab, ...)
• horizontal = F di default

SIMMETRICA

• z̄ = Q₂
• Q₂ - Q₁ = Q₃ - Q₂
• Q₁ - MIN = MAX - Q₃

ASIMMETRIA

OUTLIERS

• A < Q₁ - (1,5) (Q₃ - Q₁)
• B > Q₃ + (1,5) (Q₃ - Q₁)

Relazione tra 2 variabili

• Varianza _var (x)
• Scarto quad. medio _sd (x)
• Coefficiente di variazione _CV = _sd (x) / abs (mean (x))

+ È grande + è variabile x= _σµ

Covarianza

_cov (x,y)

• _cov > 0 ci sono + valori postivi
• se x aumenta, anche y aumenta (stessa dir)
• _cov < 0 ci sono + valori negativi
• se x aumenta, an y diminuisce (≠ direz)
• _cov = 0 incorrelazione indipendenti x ⊥⊥ y

Correlazione

_cor (x,y) _ρ = _cov (x,y) / √_var (x) _var (y)

• _ρ = 0 incorrelazione
• _ρ = ± 1 perfetta correlazione positiva o negativa

Data.frame (x,y) → mette insieme i dati

Tabella a doppia entrata delle freq. congiunte

_table (df) = _{freq. cong. assol.}

_add.margins (freq. cong. assol.) = _{freq. cong. margin.} → la colonna e riga _sum

_table (df) / n = _{freq. cong. rel.} ← m = sum (freq. cong. assol)

oppure

_prop.table (freq. cong. assol.) = _{freq. cong. rel.}

_add.margins (freq. cong. rel.) = _{freq. cong. marg. rel.}

Marginali

_table (df $ x) = freq. x_table (df $ y) = freq. yper quelle relative divido per ∑_x e ∑_y sum_fi sum fi

Condizionate

↓ barplot sovrapposto

_prop.table (freq. cong. assol., 2 ) = freq. x da y

_prop.table (freq. cong. assol., 1 ) = freq. y da x

Nomi tabella frequenze

rownames (table (df)) nomi xcolnames (table (df)) nomi y

LETTURA FILE - IMPORTO

• getwd()
• IMPORTO DATI da FILE TXT read.table(percorso, header = F, sep)
• dati delimitati → read.delim()
• FILE CSV read.csv()
• LETTURA DATASET (nome = read.table(...)) head(nome)

IF - ELSE

OPPUREvariabile = ifelse(condizione, statement 1, statement 2)POSSO ANNIDARE, statement 2 può essere un altro ifelse

CICLO FOR

SAMPLE CAMPIONAMENTO

SET.SEED

per avere lo stesso risultato di un'altra persona imposto prima set.seed(1234)

APPROSSIMARE LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO

• Probabilità che esca un numero, faccio 100 lanci:
  • OUT = SUM (X, 100, REPLACE = T) → quante volte su 100
    • OUT = x
  • SUM (OUT == x) → conta 1 ogni volta che è uguale
• Voglio ripetere 20 volte questa simulazione da 100 lanci OUT = VECTOR (len = 20)FOR (i in 1:20) { LANCI = SAMPLE (x, 100, REPLACE = T) OUT[i] = SUM (LANCI == x)}

  ⇒ OUT sarà un vettore di 20 numeri, ogni numero è la somma di quante volte è uscito x nei 100 lanci.

Oppure

• OUT = SAMPLE (x, m * M_sim, REPLACE = T)
• OUT = MATRIX (OUT, ncol = m, byrow = T) → 100 colonne
• JOB = function (x) SUM (x == x) → FUNZ
• RIS = apply (OUT, 1, JOB) → APPLICO FUNZ
• SUM (RIS) / M_simu → % di prob. che esca x

FUNZIONE

• che prende il posto di x
• applico alle righe (per 2 applico a colonne)

DISTRIBUZIONI V.C.

• d_distr(x, parametri distr.) ➔ FUNZ. DI PROBABILITÀ/DENSITÀ
• p_distr(x, parametri distr.) ➔ FUNZ. DI RIPARTIZIONE
• q_distr(x, parametri distr.) ➔ INVERSA FUNZ. DI RIPARTIZ. (quantile)
• r_distr(m, parametri distr.) ➔ GENERA NUMERI CASUALI secondo la distribuzione

NORMALE

norm (μ,σ²) di default (0,1)

BINOMIALE

binom (m,θ) ➔ PROBABILITÀ

GEOMETRICA

geom (θ) ➔ PROBABILITÀ

POISSON

pois (λ) λ

UNIFORME

unif (a,b) a= min b = max di default (0,1)

GAMMA

gamma (α,θ) di default θ = 1shape 1/scale

ESP. NEGATIVA

exp (θ) di default θ = 1

CHI QUADRATO

chisq (g) g gradi di libertà χ²_g

VALORE ATTESO

E(X) = sum (0:m * d_distr(x, param))

se so quanto vale E(x) nella distribuzione (ad es. media) posso calcolarlo anche così.

APPROSSIMAZIONI

x̄ ➔ E(x)    x̄ = mean (x)s̄² ➔ Var(x)    s̄² = var (x)dove x̄ = r_distr(m, par)

PROBABILITÀ V.C. DISCR.

• P(x = a) ➔ d_distr(a, par)
• P(x ≤ a) ➔ p_distr(a, par)
• P(x < a) ➔ p_distr(a-1, par)
• P(x > a) ➔ 1 - p_distr(a, par)
• P(a ≤ x ≤ b) ➔ sum (d_distr(a:b, param))

CASO NORMALE

Z = rnorm(m) ~ N(0,1) STANDARDX = rnorm(m, μ, σ) ~ N(μ, σ²) NORMALE

CURVE

curve(distr(x, par), from, to, add = T, lty, lwd, ...)min(z) max(z)

Z ➔ dnorm senza param.curve(pdist, from, to, add = T, ...)oppure plot(ecdf(z)) FUNZIONE DI RIP. EMPIRICA

rug(z) aggiunge al grafico un disegno

QUANTILI N. STAND.

Φ_Z(Z_α) = α^* = pnorm (quantile di ordine α)

Z_α = Φ^-1(α) = qnorm (probabilità)

quantile di ordine α ➔ ESTERNO TABELLA

P(Z ≤ Z_α) = Φ_Z(Z_α) = α

P(Z ≥ Z_α) = 1 - Φ_Z(Z_α) = Φ_Z(Z_α) = 1 - α

-- interni tab ➔ Z_α esterno tabella

se non c'è

1-X interni tab ➔ -Z_α esterno tabella

QUANTILI X_α

X_α = qnorm(μ, X, σ)

PROBABILITÀ

P(X < a) = P(X ≤ a) = pnorm(a, μ, σ)

P(X > a) = pnorm(a, μ, σ, lower.tail = F)= 1 - pnorm(a, μ, σ)

P(a < X < b) = pnorm(b, μ, σ) - pnorm(a, μ, σ)

NORMAL PROBABILITY PLOT

qqnorm(X, data.x = T)dati curve vicini sull'asse

oppure plot(sort(x), funz. emp. teor.)

SE ASIM. ➔ uso log(x)

qqline(X, data.x = T)linea di tendenza (passa x q, e G_Zα)

Z_i = qnorm(fun. emp.)