Appunti Matematica 3: integrali doppi, integrali di superficie, integrali tripli e calcolo vettoriale

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Revisionato il 22/05/2026

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In questo documento è presente un'accurata trattazione della teoria del calcolo integrale e del calcolo vettoriale.Sono presenti esercizi svolti su ogni argomento.- Integrali …

Esame Analisi matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Felli Veronica

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2018-2019

69 pagine

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CALCOLO INTEGRALE

Caso a più variabili → Integrali doppi

(INTEGRALI DOPPI)

f : A → R

A = rettangolo con lati // assi cartesiani

A = [a,b] x [c,d] = {(x,y) ∈ R²:

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Supponiamo che f ≥ 0

Il problema di fondo è il

calcolo del volume tra il piano

"xy" e il grafico di f su A

V = { (x,y,z) ∈ R³: (x,y) ∈ A ;

0 ≤ z ≤ f(x,y) }

Solido 3D tra xy e il grafico di

Se f(A) fosse parallelo ad xy, V sarebbe un

parallelepipedo. Suddivido il rettangolo "A" in rettangolini

dividendo ciascun lato in "n" intervalli.

Divido [a,b] in n intervalli

b-a

------- = x_i - x_i-1

d-c

------- = y_j - y_j-1

Calcolo Integrale

Case in più variabili → Integrali doppi

(INTEGRALI DOPPI)

f: A → R

A = rettangolo con lati // assi cartesiani

A = [ a,b ] × [ c,d ] = { (x,y) ∈ R² :

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }

Supponiamo che f ≥ 0

Il problema di fondo è il calcolo del volume tra il piano "xy" e il grafico di f su z

V = { (x,y,z) ∈ R³ : (x,y) ∈ A } ;

0 ≤ z ≤ f(x,y)

Solido 3D tra xy e il grafico di f

Se f(A) fosse parallelo ad xy, V sarebbe un parallelepipedo. Suddivido il rettangolo "A" in rettangolini

dividendo ciascun lato in "n" intervalli:

Divido [ a,b ] in n intervalli

lunghezza intervallino =

^b-a/_N = x_i - x_i-1

Divido [ c,d ] in m intervalli

lunghezza intervallino =

^d-c/_M = y_j - y_j-1

In ogni rettangolo fisso un punto _{(x_i; y_j)} ∈ R_ij.

Approssimo la porzione di V che sta sopra ad R_ij con il parallelepipedo di base R_ij e altezza f(x_ij, y_ij).

V_ij = Area (R_ij). Altezza f(x_ij, y_ij) = (x_i, x_i-1)(y_j, y_j-1).

∫^j_i f(x_ij, y_ij).

Ripetendo per ogni rettangolino di V e sommando tutti i "j" ed "i" :

∑^M_i=1 ∑^N_j=1 f(x_ij, y_ij) (x_i-x_i-1)(y_j-y_j-1).

∫^N_j=1 ∫^M_i=1

Approssimo il volume della funzione in R³, dove per base ha (x_ij; y_ij) e altezza f(x_ij, y_ij).

L'approssimazione è tanto migliore quanto MN è grande.

Se f è abbastanza regolare :

V = lim_m,n→+∞ ∑^M_i=1 ∑^N_j=1 f(x_ij, y_ij) (x_i-x_i-1)(y_j-y_j-1) (1.1)

DEFINIZIONE

Se (1.1) esiste ed è finita si dice che f è integrabile secondo Riemann su "A" ed il valore del limite si dice integrale doppio di f su "A" e si indica con :

∬_A f(x; y) dxdy

NB Basta che f sia continua per garantire l'integrabilità su "A".

f continua su A allora integrabile su A
Se l'insieme dei punti di discontinuità di f ∈ A → R ha area nulla allora f è integrabile su A

ESEMPIO

Calcolando usando la definizione

∬_R (1 + xy) dx dy

dove R = [0,1] x [0,1]

x_i = i1

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