Appunti Matematica 3: integrali doppi, integrali di superficie, integrali tripli e calcolo vettoriale

Revisionato il 13/06/2026

di LucaAimone

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In questo documento è presente un'accurata trattazione della teoria del calcolo integrale e del calcolo vettoriale.Sono presenti esercizi svolti su ogni argomento.- Integrali …

Esame Analisi matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Felli Veronica

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2018-2019

69 pagine

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Calcolo integrale

Caso a più variabili: integrali doppi

Integrali doppi

f: A → R

A = rettangolo con lati // assi cartesiani

A = [a, b] x [c, d] = {(x, y) ∈ R²: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Supponiamo che f ≥ 0. Il problema di fondo è il calcolo del volume tra il piano "xy" e il grafico di f su A:

V = {(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ A; 0 ≤ z ≤ f(x, y)}

Solido 3D tra xy e il grafico di f. Se f(A) fosse parallelo ad xy, V sarebbe un parallelepipedo.

Suddivido il rettangolo "A" in rettangolini dividendo ciascun lato in "n" intervalli:

Divido [a, b] in n intervalli: b-a = x_i - x_i-1 = N
Divido [c, d] in m intervalli: d-c = y_j - y_j-1 = M

Calcolo integrale

Caso in più variabili: integrali doppi

f: A → R

A = rettangolo con lati // assi cartesiani

A = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R²: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Supponiamo che f ≥ 0. Il problema di fondo è il calcolo del volume tra il piano "xy" e il grafico di f su z:

V = {(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ A; 0 ≤ z ≤ f(x, y)}

Solido 3D tra xy e il grafico di f. Se f(A) fosse parallelo ad xy, V sarebbe un parallelepipedo.

Suddivido il rettangolo "A" in rettangolini dividendo ciascun lato in "n" intervalli:

Divido [a, b] in n intervalli: lunghezza intervallino = ^b-a/_N = x_i - x_i-1
Divido [c, d] in m intervalli: lunghezza intervallino = ^d-c/_M = y_j - y_j-1

In ogni rettangolo fisso un punto (x_i; y_j) ∈ R_ij. Approximo la porzione di V che sta sopra a R_ij con il parallelepipedo di base R_ij e altezza f(x_ij, y_ij).

V_ij = Area (R_ij). Altezza f(x_ij, y_ij) = (x_i, x_i-1)(y_j, y_j-1). ∫^j_i f(x_ij, y_ij).

Ripetendo per ogni rettangolino di V e sommando tutti i "j" ed "i":

∑^M_i=1 ∑^N_j=1 f(x_ij, y_ij) (x_i-x_i-1)(y_j-y_j-1). ∫^N_j=1 ∫^M_i=1

Approximo il volume della funzione in R³, dove per base ha (x_ij; y_ij) e altezza f(x_ij, y_ij). L'approssimazione è tanto migliore quanto MN è grande.

Se f è abbastanza regolare:

V = lim_m,n→+∞ ∑^M_i=1 ∑^N_j=1 f(x_ij, y_ij) (x_i-x_i-1)(y_j-y_j-1) (1.1)

Definizione

Se (1.1) esiste ed è finita si dice che f è integrabile secondo Riemann su "A" ed il valore del limite si dice integrale doppio di f su "A" e si indica con:

∬_A f(x; y) dxdy

NB Basta che f sia continua per garantire l'integrabilità su "A".

f continua su A, allora integrabile su A. Se l'insieme dei punti di discontinuità di f ∈ A → R ha area nulla, allora f è integrabile su A.

Esempio

Calcolando usando la definizione:

∬_R (1 + xy) dx dy

dove R = [0, 1] x [0, 1]

x_i = i1

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