Appunti Matematica 3: integrali doppi, integrali di superficie, integrali tripli e calcolo vettoriale

CALCOLO INTEGRALE

Caso in più variabili → Integrali doppi (INTEGRALI DOPPI) f: A → R

A = rettangolo con lati // assi cartesiani A = [a, b] x [c, d] = {(x, y) ∈ R² :     a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d}

Supponiamo che f ≥ 0

Il problema di fondo è il calcolo del volume tra il piano "xy" e il grafico di f su z V = {(x, y, z) ∈ R³ : (x, y) ∈ A ;     0 ≤ z ≤ f(x, y)}

Solido 3D tra xy e il grafico di f

Se f(A) fosse parallelo ad xy, V sarebbe un parallelepipedo. Suddivido il rettangolo "A" in rettangolini dividendo ciascun lato in "n" intervalli:

• Divido [a, b] in n intervalli

lunghezza intervallino = _{b - a}/_N

b-a / N = x_i - x_i-1

d-c / M = lunghezza intervallino

d-c / M = y_j - y_j-1

In ogni rettangolo fissa un punto _{(xi , yi) ∈ Ri,j}

Approssimo la porzione di V_i,j che sta sopra ad R_i,j con il parallelepipedo di base R_i,j e altezza f(x_i,j , y_i,j)

V_i,j = Area (R_i,j) . Altezza (f(x_i,j , y_i,j)) = (x_i - x_i-1)(y_j - y_j-1) . f(x_i,j , y_i,j)

Ripetendo per ogni rettangolino di V e sommando tutti i V_i,j :

∑_i=1^M ∑_j=1^N f(x_i,j , y_i,j) (x_i - x_i-1) (y_j - y_j-1)

SOMMA DOPPIA DI RIEMANN

Approssimo il volume della funzione in R³, dove

per base ha (x ; y) e altezza f(x_i,j , y_i,j),

l'approssimazione è tanto migliore quanto

NM è grande.

Se f è abbastanza regolare :

V = lim_m,n,h→∞ ∑_i=1^M ∑_j=1^N f(x_i,j , y_i,j) (x_i - x_i-1) (y_j - y_j-1) (1,1)

DEFINIZIONE

Se (1,1) esiste ed è finito si dice che f è integrabile

secondo Riemann su "A" ed il valore del limite si dice

integrale doppio di f su "A" e si indica con :

⌠⌠_A f(x,y) dxdy

NB

Basta che f sia continua per garantire l'integrabilità su

"A"

• f continua su A allora integrabile su A
• Se l'insieme dei punti di discontinuità di f : A → R ha area nulla allora f è integrabile su A

OSSERVAZIONE: il valore ∫∫_D f (x,y) dx dy non dipende dalla scelta del rettangolo A che contiene D

OSSERVAZIONE: Se f è continua su D e il bordo di D è abbastanza bello, per esempio l'unione di curve regolari - NUMERO FINITO, sia h, che h̃ è integrabile su A (anche se non è continua) e quindi f̃ è integrabile su D

REGIONI SEMPLICI

• Regione y-semplice (o regione di tipo 1)

Date g₁ : [a,b] → ℝ , g₂ : [a,b] → ℝ funzioni continue tali che g₁ (x) ≤ g₂ (x) ∀x ∈ [a,b]

Considero D = {(x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b e g₁ (x) ≤ y ≤ g₂ (x)}

D ⊆ A = [a,b] × [c,d]

∫∫_D f (x,y) dx dy = ∫∫_A f̃ (x,y) dx dy =

= ∫_a^b (∫_c^d f̃ (x,y) dy) dx =

= ∫_a^b (∫_g1(x)^g₂(x) f (x,y) dy) dx

formula di riduzione per domini y-semplici:

Se f è continua su D = {(x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b e g₁ (x) ≤ y ≤ g₂ (x)} allora

∫∫_D f (x,y) dx dy = ∫_a^b (∫_g1(x)^g₂(x) f (x,y) dy) dx

In due variabili: Il cambiamento di variabili è una trasformazione

_{(u,v)⟼(x,y)}

_{(x) = (x(u,v))}

_{(y) = (y(u,v))}

S, D, _s∈ℝ² D = T(S)

Supponiamo che

1. T sia di classe C¹ (cioè le funzioni x(u,v) e y(u,v) hanno derivate parziali prime continue)
2. T sia iniettiva, cioè se (u₁, v₁) ≠ (u₂, v₂) →T(u₁, v₁) ≠ T(u₂, v₂). Quindi T è invertibile tra S e T(S) = D

DEFINIZIONE

Si dice Jacobiano di T_(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) il determinante della matrice Jacobiana:

ESERCIZIO

dove D è la regione del piano delimitate da x < 1

x = r cos θy = r sen θ

• 0 < θ < π/4
• 1 ≤ r ≤ 1/cos θ

x < 1r cos θ < 1r < 1/cos θ

Jacobiano

π/4∫₀ 1/(1 + cos θ) dθ =

π/4 - [sen θ]₀ = π/4 - √2/2

APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI DOPPI

Considero una lamina piana sottile che occupa una regioneD ⊂ R². Sia δ(x, y) la densità superficiale

lim Massa(Q_ε) = δ(x, y)ε→0 Area(Q_ε)

Piano Tangente

Sia Σ una superficie di parametrizzazione _r(D → R³) con _r di classe C¹ in A

p₀ = _r(u₀, v₀)

_rΣ(v) = _rΣ(u₀, v) = = x(u₀, v)_i + y(u₀, v)_j + z(u₀, v)_k

_rΣ è la parametrizzazione di una curva di sostegno γ₁ ≤ Σ passante per p₀

_rΣ(u) = _rΣ(u, v₀) = x(u, v₀)_i + y(u, v₀)_j + z(u, v₀)_k

Parametrizzazione γ₂ ≤ Σ passante per p₀

_ṙ1(v₀) è tangente a γ₁ in p₀ Vettori tangenti

_ṙ2(u₀) è tangente a γ₂ in p₀

_ṙ1(v₀) = ∂x/∂v (u₀, v₀) _i + ∂y/∂v (u₀, v₀) _j + ∂z/∂v (u₀, v₀) _k

_ṙ2(u₀) = ∂x/∂u (u₀, v₀) _i + ∂y/∂u (u₀, v₀) _j + ∂z/∂u (u₀, v₀) _k

Se i 2 vettori; _ṙ1(v₀) = _rv(u₀, v₀) _ṙ2(v₀) = _ru(u₀, v₀) sono linearmente indipendenti allora individuano un piano che è il Piano Tangente

∑₁ = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² = 1 e 0 ≤ z ≤ 1}

SUPERFICIE LATERALE DI UN CILINDRO

∑₂ = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² < 1 e z = 0}

∑₃ = {(x, y, z) ∈ ℝ³: x² + y² ≤ 1 e z = 1}

Tre facce e due spigoli:

SPIGOLI

• { x² + y² = 1 , z = 0 }
• { x² + y² = 1 , z = 1 }

ORIENTABILITÀ

Se f parametrizza ∑₁ → N = ^{∂f_u × ∂f_v} / _{|∂fu × ∂fv|} , versore normale

Cambiando la parametrizzazione la direzione di N rimane la stessa, ma il suo verso potrebbe cambiare (ho 2 versori normali N e -N)

∑ si dice orientabile se il suo versore normale varia con continuità su ∑