Appunti di Analisi dei Dati e Data Mining

1 – Appunti a cura di Mario Giorno.

ANALISI DEI DATI

E DATA MINING

APPUNTI SUL CORSO DELLA PROFESSORESSA:

Maria Felice Arezzo

A cura di MARIO GIORNO

–

(MANIMP 2021 2022)

2 – Appunti a cura di Mario Giorno.

Parte 1: RICHIAMI E DEFINIZIONI DI CONCETTI DI MATEMATICA.

• D

Si chiama DIREZIONE , l’insieme di rette parallele ad una retta data.

• Consideriamo un punto x su una retta D’ appartenente all’insieme D. Prendiamo inoltre un’altra retta

A appartenente al medesimo piano di D. Si chiama PROIEZIONE di x su A secondo la DIREZIONE D

l’inserzione tra D’ e A. Indichiamo la PROIEZIONE con il simbolo p(x).

N.B. Quindi, per fare una PROIEZIONE di un PUNTO X si necessita:

- sia di definire la DIREZIONE lungo la quale viene fatta questa proiezione

- sia un’altra retta che chiamiamo RETTA A che definisce il PUNTO DI ARRIVO.

➔ Quindi si chiama PROIEZIONE di x su A secondo la DIREZIONE D l’inserzione tra D’ e A.

• Si chiama TRASFORMAZIONE una funzione che associa un PUNTO DI APPLICAZIONE x del piano P con

un PUNTO p(x) del medesimo piano. La PROIEZIONE è perciò una TRASFORMAZIONE. È essenziale

ricordare che la proiezione prende un punto e lo proietta da un’altra parte, in un sottospazio che a noi

interessa.

• v

Si chiama VETTORE una trasformazione di un qualsiasi punto x in p(x) avente lunghezza v secondo la

direzione D. Quindi, gli elementi che caratterizzano il vettore sono:

→

- LUNGHEZZA, MODULO o NORMA distanza tra x e p(x);

→

- DIREZIONE insieme di rette parallele ad una retta data; è la retta su cui giace il segmento (ci dice

come faccio a spostarmi);

→

- VERSO viene indicato dalla freccia (ci dice DA dove mi muovo A dove mi muovo).

⃗

Infatti, i VETTORI sono indicati con una freccia , sono degli oggetti orientati perché questo

orientamento indica il punto di partenza e il punto di arrivo, indicano verso quale modalità mi sposto

(es: se vado da A a B o viceversa).

3 – Appunti a cura di Mario Giorno.

• Abbiamo diversi TIPI DI VETTORI:

- Si chiama VERSORE un vettore di modulo 1 e cioè lunghezza unitaria.

- Si chiama VETTORE NULLO un vettore di modulo 0 e cioè lunghezza 0.

-v

- Dato un vettore v si chiama VETTORE OPPOSTO il vettore , è uguale al vettore di partenza ma

orientato dalla parte opposta.

• Le OPERAZIONI CON I VETTORI sono 2:

→

» SOMMA TRA VETTORI la somma tra vettori da origine ad un altro vettore. Supponendo di avere

u u v w

2 vettori e v, la somma del vettore e del vettore è un vettore avente lo stesso punto di

u v

applicazione comune di e di ed è dato dalla diagonale del parallelogramma individuato dai due

vettori originari. Per determinare il vettore w che origina dalla somma tra u e v si usa il METODO DEL

PARALLELOGRAMMA:

Il vettore risultante è dato dalla diagonale di questo parallelogramma. Questo è il VETTORE SOMMA.

→

1

» MOLTIPLICAZIONE TRA UNO SCALARE E UN VETTORE la moltiplicazione tra un numero o scalare

a v v

(supponiamo 2) ed un vettore è uguale ad un vettore definito sulla stessa DIREZIONE di , la

v v a >

cui NORMA è pari al prodotto tra la norma di e lo scalare ed il cui VERSO è lo stesso di se

v a < .

ed è opposto a quello di se

Come risultante si avrà un vettore con la stessa direzione ma si avrà un allungamento o un

→ a <

restringimento del vettore. Se lo SCALARE si , però

VA A CAMBIARE IL VERSO DEL VETTORE

bisogna guardare il VALORE ASSOLUTO per definire l’allungamento o meno:

>

- se è si ALLUNGA LA LUNGHEZZA del vettore

< si

- se è ACCORCIA LA LUNGHEZZA del vettore

=

- se è la LUNGHEZZA NON CAMBIA

• Si chiama SPAZIO VETTORIALE O LINEARE un insieme E i cui elementi sono detti vettori e per ogni

elemento sono definite le operazioni di somma tra vettori e di moltiplicazione tra uno scalare e un

vettore.

• 2 =

Si chiama COMBINAZIONE LINEARE tra 2 vettori v e w il vettore c definito come: .

+

Quindi gli “ingredienti” per la combinazione lineare sono:

- 2 vettori v e w

- 2 scalari (ovvero numeri semplici) che chiamiamo λ (lambda) e α (alfa)

1 è un sinonimo di NUMERO

2 Si può avere una combinazione lineare anche tra più di 2 vettori.

4 – Appunti a cura di Mario Giorno.

Avendo due vettori eseguo le operazioni che so essere legittime e cioè la moltiplicazione e la somma.

Intanto faccio la moltiplicazione scalare vettore per entrambi ottenendo e e successivamente

→

sommo i vettori e ottengo un vettore il vettore così ottenuto è combinazione lineare di v e w.

Dato un insieme di vettori non nulli, essi si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se e solo se la loro

combinazione lineare dà il vettore nullo solamente nel caso in cui siano nulli tutti gli scalari. Si ha

indipendenza se non posso esprimere un vettore in funzione di un altro. In simboli:

↓

Immaginando di avere 3 vettori (v, w, z), li scrivo sotto forma di combinazione lineare e mi domando

sotto quale condizione tale combinazione lineare è uguale a zero. Se l’unico modo con il quale io riesco

ad ottenere zero (ovvero il VETTORE NULLO) di questa combinazione lineare è prendendo gli scalari pari

a zero allora v, w e z sono linearmente indipendenti.

Il numero massimo di vettori linearmente indipendenti definiti in uno spazio dà la DIMENSIONE dello

stesso spazio.

• Si chiama BASE l’insieme di vettori linearmente indipendenti aventi lo stesso punto di applicazione.

→

Tale punto di applicazione in comune si chiama ORIGINE (ES: piano cartesiano che è una BASE

ORTOGONALE).

- La BASE ORTO-GONALE è una base i cui vettori appartengono a direzioni opposte a 90°.

ESEMPIO: una base ortogonale è il PIANO CARTESIANO in quanto gli assi cartesiani sono due

vettori, sempre che lo stesso spazio su cui si muovono sia a due dimensioni ( ), con lo stesso

punto di applicazione o origine, linearmente indipendenti.

- La BASE ORTO-NORMALE è una base ortogonale i cui vettori sono versori. Questo è un caso

particolare di base ortogonale ed è quella nella quale i vettori che costituiscono la base sono

VERSORI, ovvero vettori aventi norma unitaria. Quindi la base ortonormale è semplicemente una

base ortogonale ma caratterizzata da vettori a norma unitaria.

• Questo è il motivo per il quale i concetti di indipendenza lineare e di base sono estremamente importanti.

Le basi sono importanti perché un qualunque dimensione di uno spazio può essere generato a

partire da una base (quindi l’aspetto notevole degli spazi vettoriali è che qualunque spazio di

dimensione può essere generato da una base).

Quindi il concetto di base è importante perché se io dispongo di una base allora posso esprimere uno

qualunque degli infiniti punti dello spazio esclusivamente attraverso questa base.

↓

ESEMPIO in : usiamo un ; quindi, ci

PIANO CARTESIANO

troviamo in uno spazio a 2 dimensioni, e immaginiamo ci

interessi un determinato punto p. Sappiamo che tale punto p è

→ (, ).

identificato come una coppia di numeri o scalari

Adesso ragioniamo in termini di BASI, intanto i due assi cartesiani

sono essi stessi una base, nello specifico ortogonale; ma cosa

succede se io faccio riferimento invece ad una base

ortonormale, ovvero se immagino che i vettori che costituiscono

una base abbiano una lunghezza unitaria? Succede che prendo

come base di riferimento non gli assi in sé bensì due VERSORI e cioè dei vettori con lunghezza unitaria.

→

I vettori e rappresentano una base ortonormale. Se prendiamo a riferimento un quaderno a

quadretti i versori sono rappresentati dai quadrati che rappresentano la misura unitaria.

5 – Appunti a cura di Mario Giorno.

3

Se io dispongo dei versori e e voglio descrivere il punto usando la BASE ORTONORMALE, lo posso

fare? Si, infatti, notiamo che il può essere espresso come combinazione lineare della BASE

VETTORE

= + .

ORTONORMALE definita in come: (, )

Inoltre, come già detto la coppia di numeri o scalari rappresenta le coordinate del punto p; ciò è

vero per ogni punto possibile del piano, il che significa che ad ogni coppia di punti è associato un

→

vettore che ha come punto di applicazione l’origine [ecco perché noi utilizzeremo in maniera

indifferente il termine punto e vettore, perché i due concetti sono similari].

[Se noi vogliamo identificare la posizione di oggetto nel pianeta terra necessitammo di altitudine,

→

longitudine e latitudine questa è una applicazione del concetto di BASE]

• Quindi , ciascun VETTORE per essere identificato ha bisogno di un insieme ordinato di numeri.

- Se ci troviamo in uno spazio a 2 dimensioni il vettore è identificato da una COPPIA DI NUMERI.

- Se ci troviamo in uno spazio a 3 dimensioni il vettore è identificato da 3 numeri, e così via…

➔

Quindi è possibile estendere il ragionamento in uno spazio dove ciascun vettore ha come

−

componente un ordinata di numeri. ∈

In termini più formali diciamo che è un vettore è scomponibile in un numero di componenti

.

pari al numero di vettori linearmente indipendenti in

OPERAZIONE SOMMA E DIFFERENZA TRA VETTORI.

• Le operazioni di SOMMA o DIFFERENZA tra vettori si possono ricavare a partire dalle componenti dei

vettori di partenza.

• ⃗

⃗

:

Immaginiamo di avere i vettori e e di voler calcolare il VETTORE SOMMA

Questi due vettori possono essere espressi come combinazione lineare

4

delle basi di riferimento , quindi: ⃗

= +

- il vettore può essere espresso come:

⃗

= +

- il vettore può essere espresso come:

⃗

⃗

:

La somma di e sarà quindi pari al VETTORE SOMMA

( ) ( )

= + = ( + ) + + = + + ( + )

Il vettore somma è uguale alla somma tra le componenti dei due

vettori relative all’asse orizzontale più la somma delle componenti

dei due vettori sull’asse verticale.

• Lo spazio vettoriale è un insieme di punti, cioè vettori, in cui sono definite due operazioni: l’operazione

di somma tra vettori e la moltiplicazione tra un vettore e uno scalare. Questo vuol dire che,

automaticamente, è possibile fare non solo la somma tra vettori ma anche la differenza.

Il VETTORE DIFFERENZA è dato da: (− ) ( )

= − = ( + ) + − = − + ( − )

3 I versori rappresentano la mia unità di misura.

4

Ovvero, se io ad esempio voglio esprimere il vettore e dispongo di una base ortonormale rappresentata dai vettori

i e j, posso esprimerlo come combinazione lineare delle componenti della base.

6 – Appunti a cura di Mario Giorno.

( − )

Quindi se io voglio fare la differenza e rappresentare

graficamente questo vettore differenza, devo applicare sempre

la stessa regola del parallelogramma, cioè significa che intanto

−,

calcolo ovvero CAMBIO IL VERSO (N.B. NON CAMBIO LA

→ −

DIREZIONE NÉ LA NORMA la differenza tra e è il verso).

( − )

Traslando il vettore differenza verso destra (linea gialla

tratteggiata), possiamo notare che questo vettore ha la

caratteristica di avere la norma, cioè la lunghezza, pari alla

distanza tra il punto A e il punto B.

➔ I punti A e B possono essere espressi anche come vettori, ossia il

.

vettore e il vettore Facendo la differenza tra questi due vettori,

( − ), si ottiene un vettore, e sappiamo che ogni vettore è

caratterizzato da alcuni elementi, tra cui la norma.

➔ ( − ),

Se calcoliamo la norma del vettore questa è esattamente

uguale alla lunghezza del segmento che collega A e B: cioè, la norma

del vettore differenza è uguale alla distanza tra i due punti A e B.

RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA (importante per la prima parte del corso).

• La trigonometria si occupa dello studio dei triangoli, a partire dai loro angoli, per cui si svolge all’interno

di un cerchio.

- Se consideriamo il RAGGIO di una parte del cerchio dato dal

segmento OA, nel momento in cui lo tracciamo, si identifica

un ANGOLO (theta).

- A questo punto, è possibile tracciare la PROIEZIONE

ORTOGONALE del PUNTO A sull’asse orizzontale,

individuando così un nuovo punto, il PUNTO H.

- Quindi abbiamo 3 elementi: l’origine O, il punto A e il punto H,

.

oltre all’angolo ,

- Possiamo, quindi, definire il seno e coseno dell’angolo dove

in particolare il coseno è dato dal rapporto tra OH e OA; infatti, per le finalità del corso è rilevante

.

solo il coseno di

- In realtà, è possibile anche stabilire che il raggio sia unitario e, quindi, se così fosse si

semplificherebbero un po’ di cose, perché il denominatore del coseno sarebbe pari a 1.

- Quindi, il coseno di è dato dal rapporto tra il segmento OH e il segmento, o raggio, OA. Il seno di

, invece, è dato dal rapporto tra AH e OA.

() =

() =

Il segmento OH deriva dal punto H, ma questo punto è, a sua volta, il risultato della proiezione

→ ,

ortogonale di A sull’asse orizzontale. N.B. quindi, OH visto come vettore e indicato con non è

→

altro che la proiezione ortogonale del vettore sull’asse orizzontale e si ottiene proiettando il

→

vettore ortogonalmente lungo la direzione identificata dall’asse orizzontale. Esiste, cioè, uno

.

stretto rapporto tra la proiezione ortogonale e il coseno di

- Quindi il coseno di può essere visto anche come il rapporto tra la norma del vettore e la norma

:

del vettore ‖‖

() = ‖‖

‖. ‖

Con queste parentesi si indica la norma.

7 – Appunti a cura di Mario Giorno.

Da tale rapporto si ricava che: ‖‖ (1)

‖‖ = () (2)

()

‖‖ ‖‖

= ∙

La relazione 2 ci tornerà molto utile in seguito. Si noti che il vettore

è la proiezione del vettore lungo una direzione perpendicolare a

.

quella generata dal versore

• CALCOLO DELLA NORMA (LUNGHEZZA) DI UN VETTORE.

⃗

- Dato un vettore identificato attraverso due numeri (ossia attraverso la sua ascissa e la sua

5

⃗

ordinata), il segmento OA, o vettore , rappresenta l’IPOTENUSA di un triangolo rettangolo.

- Il teorema di Pitagora (figura 2) ci dice che: in

ogni triangolo rettangolo la somma delle aree

dei quadrati costruiti sui cateti è uguale

all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa

→ di conseguenza, la somma delle aree dei

( + ),

quadrati costruiti sui cateti è pari a

che è uguale all’area del quadrato costruito

sull’ipotenusa, ossia .

Ciò significa che la norma di un vettore si calcola prendendo le sue componenti elevandole al

quadrato, sommando ciò che ottengo e poi estraendo la radice.

→

‖‖

⃗ √

= +

Quindi la norma di è così data dove e sono le componenti del vettore.

- Per CALCOLARE LA LUNGHEZZA DI UN VETTORE che abita in uno spazio a due dimensioni,

dobbiamo prendere le sue componenti, elevarle al quadrato, sommarle e fare la radice quadrata

del risultato.

- Se anziché stare in uno spazio a due dimensioni, fossimo in uno spazio a tre dimensioni, si parte

, ,

sempre dalle componenti del vettore, in questo caso tre, e si estrae la radice della loro

→

‖‖ √

= + +

somma, per trovare la norma del vettore .

Lo stesso vale per uno spazio a p dimensioni: il vettore avrà p componenti e sommando le diverse

componenti al quadrato e facendone la radice, si ricava la norma del vettore.

PRODOTTO SCALARE.

Tale concetto ci tornerà utile quando affronteremo il modello di analisi fattoriale

• ⃗

⃗

Il PRODOTTO SCALARE tra due vettori, e , definiti in uno spazio è un’operazione che consente di

→

passare da uno spazio a p dimensioni a uno spazio a una dimensione: ; infatti, il risultato del

⟨⟩

prodotto scalare è un numero, cioè un punto in . Con questo simbolo si indica il prodotto scalare.

′

⟨ ∙ ⟩ = ∙ + ∙ + ∙ + ⋯ + ∙ = ∑ ∙ = = ′

= ⃗

∙ + ∙ + ∙ + ⋯ + ∙

Dove rappresentano le componenti dei vettori. Il vettore è

′

= ( , , , …

identificato in qu