Appunti Costruzione di macchine

FATTORI DI CONCENTRAZIONE DELLE TENSIONI

Questi sono concetti nuovi rispetto a quelli visti finora. Questo argomento sarà vitale quando sarà trattata la fatica. Definiamo come intaglio, una variazione di sezione (cave per linguette, sedi per anelli siegel, spallamenti, raccordi, gole, fori...) nel mio componente. Per studiare i fenomeni causati dagli intagli partiamo da un esempio.

Immaginiamo di avere una lastra rettangolare con un certo spessore noto, soggetta a sforzo normale. La teoria che spieghiamo ora vale solo per lamine di larghezza infinita, i carichi distribuiti provocano una tensione σy normale che è costante sulla sezione. A destra abbiamo invece un'altra piastra identica, con lo stesso carico, ma la piastra presenta un foro ellittico. La situazione cambia radicalmente, in quanto il foro produce una variazione dello stato tensionale nell'intorno del foro, la σy varia in quanto al bordo (ovvero, lontano dal foro) rimane uguale al caso.

senza buco, ma man mano che ci avviciniamo la tensione cresce tantissimo e assume valori altissimi in corrispondenza del foro. Quindi la tensione σy è identica a quella nominale lontano dal foro ma aumenta avvicinandosi, ma ciò non basta, il foro produce uno stato di tensione biassiale quindi vediamo instaurarsi anche una σx di trazione che cresce avvicinandosi al foro per poi annullarsi in sua corrispondenza. Questo è un fenomeno nuovo, uno stato di carico monoassiale che genera uno stato di tensione biassiale. Il motivo dell'annullamento di σx è dovuto all'equilibrio della pressione che agisce nel foro, ma nel foro non abbiamo forze e quindi la σx deve annullarsi improvvisamente. Quanto vale la sollecitazione massima σy sul bordo del foro? La chiamiamo σMAX: La σNOM è la tensione nominale che si aveva nella stessa piastra ma priva di foro. Se b ed a (assi dell'ellisse) infatti fossero nulli allora

avremo σ_MAX=σ_NOM. Da un punto di vista matematico, se b≫a (ellisse schiacciato) allora il termine 2b/a crescetantissimo, ovvero la σ_MAX diventa enorme. Se invece a≫b allora la sigma massima e nominale si equivalgono. Quindi il foro ha effetto diverso in base alla direzione reciproca di carico e foro. Se il difetto è trasversale rispetto al carico allora la tensione massima cresce. Questo aspetto è studiabile con un'analogia idrodinamica, se questa non fosse una piastra ma un tubo attraversato da un fluido: se il tubo fosse di sezione costante (tralasciando gli effetti di bordo) allora il profilo di velocità è uniforme sulla sezione; inserendo invece un ostacolo le linee di flusso vengono deviate e accelerano a causa del restringimento di sezione. L'aumento di velocità è il parallelo rispetto alle tensioni, con la velocità massima in corrispondenza del bordo del foro. Nota come un intaglio molto lungo in direzione

parallela al carico non influenza quasi per nulla lo stato tensionale, quindi occhio alla progettazione e ai difetti di lavorazione. Occhio, ricorda che questa teoria vale per lastre di larghezza infinita, per dimensioni finite il foro produce variazione di tensione a causa di riduzione di sezione resistente, e va bene, ma quello è un effetto extra che va a sommarsi a questo addensamento delle linee di tensione. Nella realtà i due effetti si vanno a sommare.

Se il foro fosse circolare (caso comune) allora b=a e:

La seguente immagine è un ingrandimento dell'andamento delle tensioni visto prima.

In generale possiamo dire che la σMAX è data da un coefficiente Kt ("coefficiente teorico di intaglio") moltiplicata per la σNOM. Mi calcolo quindi la tensione nominale usano un opportuno coefficiente risalgo al valore della tensione massima. La stessa cosa vale per le sollecitazioni di taglio:

Ma attento, nonostante entrambi nella formula usino questo Kt,

In realtà il coefficiente teorico di intaglio dipende dal tipo di sollecitazione (il Kt a trazione è diverso da quello a flessione e diverso da quello a taglio). Paradossalmente, per evitare i problemi generati dalla presenza di un foro, si può inserire un secondo foro in direzione parallela alla forza adiacente al primo foro. Ciò rende la deviazione delle tensioni più graduali e quindi limita la σMAX.

Passiamo al grafico mostrato qua sotto. Il Kt ricorda che dipende dal tipo di intaglio e dal tipo di sollecitazione. Nell'esempio del grafico abbiamo un albero di diametro D, esso subisce una variazione di sezione che lo riduce al diametro d. I due tratti sono raccordati tramite un raggio di raccordo r. Infine, esso è soggetto a momento flettente M.

Quanto varrebbe la tensione nominale su un albero (trave) soggetto a coppia M se tutto l'albero fosse di diametro costante d? La sollecitazione σ si trova con la formula scritta sotto:

momento applicato (che è costante sulle trave) fratto il momento d'inerzia della sezione I, tutto moltiplicato per c cioè la distanza tra l'asseneutro e la fibra più lontana (il raggio dell'albero). Questa quantità I/c prende il nome di "modulo di resistenza a flessione" (Wf, la f perché è a flessione), le tabelle dei profilati unificati possiedono già tutti i moduli calcolati. Il Wf di una sezione circolare è (π*d^3)/32. Nella zona lontana dal raccordo la tensione nominale è ancora quella, ma avvicinandoci all'intaglio la tensione varia. Bene, il grafico mostra in che modo varia il coefficiente di intaglio in funzione della sua geometria. Sulle ordinate abbiamo il valore del Kt, sulle ascisse si ha il rapporto r/d, le varie curve sono parametrizzate per il rapporto D/d cioè del salto della variazione di sezione. Prendiamo un albero allora che abbia un diametro d=20mm, D=30mm e un r=2mm. Abbiamo r/d=0.1,

D/d=1.5, quindi sappiamo su che curva spostarci e conoscendo il valore di r/d troviamo un Kt=1,7. Quindi la tensione massima nella variazione di sezione è maggiorata del 70% rispetto a quella calcolata nominalmente. Quindi, poiché come progettisti vogliamo evitare questi picchi di tensione, cosa possiamo fare usando questo grafico? Sicuramente aumentare il raggio di raccordo e diminuire il salto di sezione: il raggio di raccordo può essere aumentato così da spostarsi verso destra sulle ascisse, se invece riduciamo il salto di sezione allora selezioniamo una curva più bassa. Ma come vedrai in seguito, se dovessi calettare un cuscinetto su quell'albero, devo stare attento ai raggi di raccordo, quello dell'albero non può essere più grande di quello del cuscinetto in, tal caso esso non può essere mandato a battere sullo spallamento, quindi il raccordo dell'albero andrà fatto sì il più grande possibile ma.compatibilmente con gli altri elementi del montaggio. Stessa cosa per lo spallamento dell'albero che dovrà essere più alto dell'anello interno del cuscinetto ma non troppo più grande. In realtà quello detto finora non serve, in particolare non si considera in presenza di carichi statici. Si vedrà che quello studiato finora è di fondamentale importanza quando i carichi sono variabili nel tempo ovvero affaticanti. Staticamente non è poi così importante contare gli intagli. Vediamo perché. Prendiamo due provini a sezione rettangolare, soggetti a una forza F di trazione. Ciò sapremo provocare una tensione σ costante sulla sezione. Se su una piastrina dello stesso spessore, altezza maggiorata e con due intagli che riducono la sezione resistente così da renderla uguale a quella della piastrina precedente. Questa seconda piastrina intagliata è soggetta alla stessa F, bene la sollecitazione.

nominale è la stessa in quella sezione in quanto in corrispondenza degli intagli ho la stessa sezione resistente. Lì però ho un'alterazione dello stato tensionale dovuto alle linee delle tensioni che si addensano e girano attorno all'intaglio, infatti lo stato tensionale alterato presenta una zona identica alla tensione nominale che è quella nel mezzo agli intagli, questa tensione aumenta andando verso il bordo (cioè verso gli intagli). La tensione in corrispondenza degli intagli è maggiore di quella nominale di un coefficiente Kt.

Se la forza applicata però è sufficientemente bassa allora posso supporre che la tensione sulla sezione sia sempre minore di quella di snervamento. Ora facciamocrescere la forza fino a quando la tensione massima nella sezione (cioè quella adiacente agli intagli) è uguale allo snervamento, ovvero in quel punto il materiale plasticizza. Facciamo crescere ancora F, ora la tensione cresce

ancora soprattutto in zone non direttamente corrispondenti all'intaglio, quindi aumenta il volume di materiale in campo plastico, il cuore del materiale è ancora plastico. Quindi globalmente la sezione non sta plasticizzando, solo una sua parte lo sta facendo. Arriverò a un punto in cui la forza F sarà talmente grande che la tensione su tutta la sezione sarà superiore a quella di snervamento, ovvero sto plasticizzando tutta la sezione, il cuore del materiale si snerva e quindi il provino può allungarsi. Ma il momento in cui tutta la sezione intagliata va in campo plastico e il provino inizia a cedere avviene nello stesso istante, a causa della stessa forza F che plasticizza tutte le fibre del provino integro e quelle del provino intagliato. Finchè rimane anche una sola fibra interna al materiale ancora in campo elastico, si impedisce all'intera sezione di allungarsi e plasticizzarsi. Vediamo come la presenza di un intaglio, fintantoché

La sollecitazione statica produce sì una plasticizzazione locale, ma il materiale che sta intorno produce una redistribuzione della tensione che impedisce la plasticizzazione dell'intera sezione, plasticizzazione che avviene per effetto degli stessi carichi che portavano la plasticizzazione nella sezione senza intagli delle stesse dimensioni. Se dimensionassi quella sezione come se fosse priva di intagli di fatto non commetto errori in quanto la valutazione è cautelativa.

Concludiamo questa parte con un altro grafico simile a quello di prima, ma ora considera una lamiera di spessore b soggetta a uno sforzo di trazione P. È del tutto analogo a quello visto prima, è stato mostrato in quanto in funzione del tipo di carichi e sollecitazioni il Kt varia. Il Kt a trazione è diverso da quello a torsione, diverso da quello a flessione, torsione ecc...

3. PROGETTAZ. IN PRESENZA DI CARICHI AFFATICANTI