Appunti corso Reti Complesse

C

k k

λ ⋅

Se la mia infettività è al di sotto di un valore critico, posso essere sicuro

che la malattia non si diffonda ( ) Ho percentuale endemica solo

λ λ

> C

se infettività è superiore a un certo valore critico. Se studio le equazioni

di tipo SIR, ho un transiente, tutti superano la malattina, nel bene o nel male.

Questi sono modelli dove abbiamo fatto considerazioni di campo medio, dove

il caso singolo non incide su tutto il sistema.

Dalle equazioni possiamo integrare e conoscere s(t), arrivando all’equazione

In cui il numero di suscettibili dipende da quelli che hanno già avuto il recovery.

Alla fine, la soluzione è sempre r(t>>1) = 1 perché tutti diverranno di tipo R,

ma posso comunque avere un valore critico, che dipende dalla connettività e

dalla lambda. Nei due casi, con l’equazione di campo medio ottengo risultati

simili, cioè che se l’infettività è al di sotto di un valore critico, nessuno si ammala, perché

ottengo una % di malati <=0. Se invece infettività è al di sopra del valore critico, ho percentuale costante nel

SIS di persone malate. Questa % cresce con il livello di aggressività della patologia. Ho transizione di fase: al

di sotto di un certo valore critico non ho nulla, al di sopra si.

Immunization

Posso immunizzare una certa % di persone: immunizzo una frazione g di nodi a caso, il fatto di contagio è

riscalato come: . La strategia di immunizzazione dice che se riesco a immunizzare una % di

persone tale per cui l’infettività cala al di sotto del valore critico, mediamente sono sicuro che nessuno si

ammala. Quindi c’è una frazione g tale per cui rimuovo l’epideia dal network. Strategia classica di

c

immunizzazione.

È modellino semplice che presuppone una connettività media costante per i nodi.

Se ho ER di contatti, questa assunzione è valida. Ma se ho una distribuzione

esponenziale dei contatti, il valore medio in realtà non dice niente.

es: la ViCina – diffusione epidemia dalla Cina – ultrasmall network

( ).

Se ho sistema dove avviene una certa dinamica che a livello di singolo nodo è

probabilistica, con un un numero abbastanza grande di nodi posso considerare

un modello a campo medio, che è valido con l’ulteriore assunzione di avere una distribuzione delle interazioni e

quindi delle connessioni omogenea. Se penso a cinetiche di questo tipo, posso immaginare che avvengano miriadi

di interazione in modo casuale, (se è tutto mescolato bene) -> validità di sistemi macroscopici è giustificato da

queste condizioni: sistema mescolato bene, omogeneo, interazioni in maniera casuale. 9

Computer viruses & SIS

Cosa succede nella realtà? Studiando i tempi di latenza dei virus informatici nella rete, le scale di tempo

coinvolte erano molto più lunghe di quelle attese. Cosa succedeva?

Vita media virus esponenziale ma con tempo medio (mesi) >> tempo di anzione di antivirus (ore/giorni).

Cioè supponendo che non tutti abbiano antivirus e quindi soglia non posta

a zero ma comunque posta sotto valore critico, il tempo con cui i virus

sparivano dalla rete era molto maggiore rispetto ai tempi attesi. Quale può

esser il motivo? Ipotesi è che in una rete come www oppure rete di mail,

la distribuzione è eterogenea -> ci sono hub, ci sono nodi più connessi,

ci sono situazioni molto ≠ da situazione omogenea -> il modello di campo

medio non funziona più, perché il valore medio non è più rappresentativo

della mia distribuzione.

Heterogeneous Network SIR

Riscrivo equazioni di prima tenendo conto della eterogeneità:

non considero più un lavoro medio di suscettività per tutta

la popolazione, ma stratifico la suscettivitità a seconda dei

contatti che ho. (supponendo che nodi con connettività simili

hanno proprietà simili).

Il valore totale di suscettività è quindi una media pesata

sulle connettività. p(k) distribuzione dei contatti.

Sostituisco nelle equazioni questi termini, trovando un’eq.

diversa per ciascuno dei miei gruppi, delle mie classi.

Tutti i nodi di connettività k hanno una certa equazione

per la suscettività, infettività. Abbiamo un valore medio (campo medio) che è media pesata del numero di infetti

con cui posso entrare in contatto.

Se connettività varia da qualche unità a 1000, la velocità labda•k può variare di un fattore =1000, quindi

. La complicazione aggiunta è

stratifico per la connettività i nodi. Poi ho contatto medio con tutti i nodi infetti

stratificare le connesisoni per classi di connettività supponendo che tutti i nodi vedano lo stesso numero di

infetti.

Ho 3xN equazioni, con N = numero delle possibili connettività dei nodi del sistema. Se tutti hanno lo stesso

valore di connettività (caso omogeneo) ho 3x1=3 equazioni, come già visto.

Posso scrivere per modello SIS l’equazione che dipende solo da p,

solo che ho termine theta. La soluzione all’equilibrio ne terrà quindi

conto. Posso esprimere theta solo in funzione di p o theta.

Ho sempre una soluzione theta = 0 sempre presente, poi posso

avere anche una soluzione non banale. Viene fuori una condizione

sulla lambda critica dove però precedente la lambda critica dipendeva

dalla connettività media del sistema, mentre qui lambda critica dipende

sia dalla connettività critica sia dal modello secondo (cioè dallo

sparpagliamento attorno al valore medio). In questi modelli eterogenei,

dove non è più trascurabile la distribuzione di connettività, entra

in gioco il momento secondo: se ho distribuzione molto eterogenea,

la soglia critica diventa molto piccola, perché aumenta il

denominatore. In un grafico come quello visto sopra, se la

lambda critica è molto piccola, anche con piccoli livelli di infettività

ho comunque una pandemia (persistenza dell’epidemia). Addirittura,

i risultati numerici danno una scomparsa della transizione di fase.

Dovrei immunizzare tutti i nodi, nessuno escluso.

Anche per i virus informatici, quindi, bastava che in pochi computer

non fosse installato l’antivirus, che il virus non moriva o era molto

fatica debellarlo. Se avessimo un sistem infinitamente eterogeneo, non

avremmo transizione di fase, ma lambda critica = 0. 10

Quindi in un caso di questo tipo una vaccinazione casuale non è efficace.

Nei modelli di error/attack, la strategia d’immunizzazione sarebbe immunizzare gli Hub del network, che non

sempre so chi siano. Ad es, per i virus informatici, con network molto connessi e distribuzione eterogenea,

installare antivirus a caso era inutile, meglio farlo laddove ci sono hub -> stratifico per connettività sistema,

supponendo che non ci siano correlazioni tra vari strati (cioè che le equazioni siano disaccoppiate) fa si che le

equazioni di campo medio, sono uno molto diversa dall’altro -> in modelli di questo tipo si riesce a introdurre

una possibile eterogeneità delle connessioni.

Se avessi network omogeno, labdacritica ha valore finito. Se passo a modelli fortementi eterogenei, arrivo ad

avere un sistema in cui oltre a dipendere dal valore medio delle connessioni conta anche lo sparpagliamento

delle componenti attorno al valore medio.

La grossa differenza qualitativa è che in uno c’è transizione di fase, in uno no comportamenti macroscopici

!

differenti. La topologia su cui avviene processo dinamico può cambiare molto il processo stesso.

Una soluzione di campo medio può essere veritiera o no a seconda del grado di eterogeneità del sistema: se è

troppo eterogeneo, una soluzione di campo medio troppo semplice non porta a soluzioni vicine alla realtà.

Idealmente, è un modello di singolo nodo (valore probabilistico), l’approssimazione è fare un’equazione per l’intera

popolazione dei nodi.

L’ulteriore approssimazione è fare approssimazione per ogni famiglia di nodi aventi la stessa connettività. Tutte

le volte che ho un’equazione cinetica su singolo nodo posso elaborare teoria per equazione di campo medio o

stratificata in base alle connettività.

Un singolo nodo infetto, per infettare tutta la rete, deve passare per un hub. In un nuetwork disassortativo

dove network poco connessi sono connessi a nodi molto connessi, c’è una via preferenziale per la diffusione. In

network assortativi (connettività stratificate) se nodo infetto è lontano da un hub, diventa più lento il processo

di diffusione. Si può assumere che tutti i nodi interagiscano con lo stesso numero di nodi, che quindi svincola

e semplifica dalla dipendenza delle connettività dei singoli nodi, esulando dalle stratificazioni. Andando oltre non si

va oltre a simulazioni, non analiticamente. Il primo modello nullo può essere una cosa di questo tipo, e poi

vedere se il nostro modello si svincola da questo primo modello nullo o meno.

Biological Network Dynamics 11

APPUNTI RETI COMPLESSE 22 NOVEMBRE

Ultima volta: modelli epidemici che sono modelli di cinetica chimica; l’insieme delle equazioni era piuttosto ridotto,

la topologia delle interazioni tra le parti potrebbe però rendere non valido l’approccio di campo medio e, se

abbiamo nodi con connettività eterogenea, il valore medio della connettività non caratterizza le proprietà del

network stratifico nodi per connettività e scrivo equazione media per ogni strato comportamenti molto

! !

differenti da quello del campo medio classico, con momento secondo, legato allo sparpagliamento della

distribuzione della connettività.

Tutto ciò è utile perché alcuni dati davano tempi medi di residenza (virus su computer) la cui media era molto

maggiore rispetto a quelle attese con una campagna di vaccinazione; quindi un modello che stratifica, annullando

le transizioni di fase, è migliore rispetto al modello di campo medio.

Biological Network Dynamics

Per parlare di dinamica, modelli dinamici ce ne sono molti, una cosa su cui si lavora in Fisica Applicata sono

di tipo biologici. Network biologici ce ne sono vari; interazioni (reazioni chimiche) tra geni, proteine, per la

produzione/attivazione/inibizione di RNA/geni/proteine.

Ci sono un sacco di dati pubblici e gratuiti, e database dove sono descritti proprietà del network. Il mondo

delle informazioni biologiche (omiche = proteinomica, genomica, connettomica) è in espansione.

Alcuni di questi network sono in interazione => si vanno a fare interazioni tra molecole, di tipo chimico, ad

esempio tra geni, proteine, metaboliti. A seconda dei settori considerati, si parla di genomica, di