Risposte alle domande teoriche di Dinamica delle strutture

Domande di dinamica

• L'oscillatore forzato e smorzato
• Il metodo di Rayleigh
• L'integrale di Duhamel
• Ortogonalità delle forme modali
• Il teorema di decomposizione spettrale
• La matrice modale con un esempio di costruzione
• L'energia cinetica
• L'energia potenziale
• Funzioni di forma
• Calcolo del coefficiente k12
• La formula della massa e della rigidezza generalizzata
• La trave incastrata continua: determinazione delle frequenze proprie
• Soluzione numerica dell'equazione delle frequenze proprie di una trave incastrata
• La trave incastrata: forme modali
• La trave appoggiata: frequenze proprie
• La trave appoggiata: forme modali
• La trave appoggiata: energia cinetica e potenziale
• La trave appoggiata: confronto tra sistema continuo ed il calcolo FEM con un singolo elemento
• L'equazione delle vibrazioni trasversali delle travi inflessse
• La trave appoggiata: matrice modale e decomposizione spettrale
• Proprietà di K e M e motivazioni
• Dynamic damping

Domande di dinamica

• L'oscillatore forzato e smorzato
• Il metodo di Rayleigh
• L'integrale di Duhamel
• Ortogonalità delle forme modali
• Il teorema di decomposizione spettrale
• La matrice modale con un esempio di costruzione
• L'energia cinetica
• L'energia potenziale
• Funzioni di forma
• Calcolo del coefficiente k12
• La formula della massa e della rigidezza generalizzata
• La trave incastrata continua: determinazione delle frequenze proprie
• Soluzione numerica dell'equazione delle frequenze proprie di una trave incastrata
• La trave incastrata: forme modali
• La trave appoggiata: frequenze proprie
• La trave appoggiata: forme modali
• La trave appoggiata: energia cinetica e potenziale
• La trave appoggiata: confronto tra sistema continuo ed il calcolo FEM con un singolo elemento
• L'equazione delle vibrazioni trasversali delle travi infless
• La trave appoggiata: matrice modale e decomposizione spettrale
• Proprietà di K e M e motivazioni
• Dynamic damping

Oscillatore armonico smorzato

Equazione del moto

eq. del moto m ẍ = -μẋ - cx

cc = 2mω₀ (coefficiente critico)

ξ_t = c/cc (smorzamento)

ẋ̇ = -μ _m ẋ - _c^m ẋ = -ω₀² x - ccξ_t^m ẋ = -ω₀² x - 2mω₀ξ_t^m ẋ

ẋ̇ + ω₀²x + 2ω₀ξ_tẋ = equazione differenziale omogenea

λ² + 2ω₀ξ_tλ + ω₀² = 0

λ_1,2 = -ξ_tω₀ ± √ξ_t²ω₀² - ω₀² = -ω₀[ξ_t ± √ξ_t² - 1]

Studio dei casi

• ξ_t > 1 = ho due soluzioni reali con esponenz. negativi

x(t) = Ae^{-ω₀[ξ_t + √ξ_t2 -1] t} + Be^{-ω₀[ξ_t - √ξ_t2 -1] t}

• ξ_t < 1 = ho due soluzioni complesse pure cui dipendono sia da valori reali cui immaginari

λ_1,2 = -ω₀[ξ_t ± i √1 - ξ_t²]

x(t) = e^-ω₀ξ_tt [Ae^{i √1 - ξ_t2t} + Be^{-i√1 - ξ_t2t}]

esponente dampening moto oscillatore dampening ⋂ = 0 osc.

c) ζ₁ = 1 = una sola soluzione di molteplicità 2

λ = -ω₀

x(t) = (At+B) e^-ω₀ζ₁t

Oscillatore armonico forzato

2) Oscillatore armonico forzato

F(t) = F₀ cos(ωt)

x_st = ^F₀⁄_k ᷑ = D cos(ωt) ω²... 6 sostituisco nella eq.(*)

D = (ω² + ω₀²) Dcos(ωt) = x_st ω²cos(ωt) peω²x

da qui ricavo D → D = ω²x_st / ω² - ω₀²

q = ω / ω₀ quindi D = x_st / 1 - q²

in questo grafico quando q tende a 1 ho la risonanza

tende frenando e quindi pericolosa per gli edifici.

Il tendine va vibrando molto frenante più che la probabilità di mandare gli edifici in risonanza sia molto alta e quindi crea una tur.

sopra la linea rosa ricavo nella misure su in auca qui pericoda di quello sticca

Aumentando la frequenza vedi dal grafico che l’ampiezza della perturbazione diminuisce.

Nai seno nel nulla risultata esperandita, quindi le soluzione del problema alogeneso seupendi con il tempo,