Lezione 6 Probabilità e statistica

Se X ha distribuzione Geometrica di parametro p (0, 1), per k 0 :

∞

∑

≥ − i

P (X k) = p(1 p) ,

i=k

−

che, posto j = i k, diventa:

∞ ∞

∑ ∑

− − −

j+k k j

p(1 p) = (1 p) p(1 p) ;

j=0 j=0

Siccome ∞

∑ − j

p(1 p) = 1,

j=0

[infatti ∞ ∞

∑ ∑ 1 p

− − ·

j j

p(1 p) = p (1 p) = p = = 1,

− −

1 (1 p) p

j=0 j=0

grazie a (*) ],

otteniamo infine: ≥ − k

P (X k) = (1 p) , k = 0, 1, . . .

Allora, se T è l’istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti e Bernoul-

liane, in cui la probabilità del successo è costante, ed uguale a p, otteniamo, per k =

1, 2, . . . : − − − ≥ ≥ − k

P (T > k) = P (T 1 > k 1) = P (T 1 k) = P (X k) = (1 p) ,

−

dove abbiamo posto T 1 = X, e la v.a. X ha distribuzione geometrica di parametro p.

1

Proprietà di mancanza di memoria di variabili aleatorie discrete

Una variabile aleatoria discreta Z a valori interi non negativi gode della pro-

prietà di mancanza di memoria se per ogni n ed m interi non negativi:

P (Z > n + m|Z > n) = P (Z > m) (A1)

1. Sia T l’istante di primo successo in una successione di prove ripetute di

Bernoulli e indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità del succeso è

∈

costante, ed è ugale a p (0, 1); sappiamo che T ha distribuzione geometrica

−

modificata di parametro p, ovvero X = T 1 ha distribuzione geometrica di

parametro p. Ebbene, T gode della proprietà di mancanza di memoria, ovvero

vale (A1); infatti, si ha: P (T > n + m, T > n) P (T > n + m)

P (T > n + m|T > n) = =

P (T > n) P (T > n)

− n+m

(1 p) − m

= = (1 p) = P (T > m).

− n

(1 p)

Per illustare il significato della proprietà di assenza di memoria, osserviamo

che, se nelle prime n prove non si è avuto alcun successo, la probabilità che

non si verifichi alcun succeso fino alla prova n + m non dipende da n, ossia da

quanto si è atteso, ma solo dal numero m di prove ancora da effettuarsi.

Ad esempio, calcoliamo la probabilità che nel gioco del lotto il numero 34 non

esca in n successive estrazioni su una ruota fissata. Denotiamo con E l’evento

k

“ nella k−esima estrazione esce il numero 34 sulla fissata ruota ”, per k =

1, 2, . . . Utilizzando lo schema succeso-insuccesso in estrazioni senza rimpiazzo

(distribuzione ipergeometrica), si trova facilmente che P (E ) = 1/18 . Sia ora

k

T il numero minimo di estrazioni sulla ruota fissata, affinché si presenti per la

prima volta il numero 34. Come si sa, T ha distribuzione geometrica modificata

di parametro p = 1/18 . Se indichiamo con A l’evento “ il numero 34 non esce

n

nelle prossime n estrazioni sulla ruota fissata ”, allora

( ) ( )

n n

1 17

−

P (A ) = P (T > n) = 1 = , n = 1, 2, . . .

n 18 18

Osserviamo che la probabilità che il numero 34 non esca in n estrazioni succes-

sive è strettamente decrescente in n; ciò significa che ritardi via via più lunghi

diventano sempre meno probabili.

Comunque, dalla (A1) si ottiene: |A

P (A ) = P (A )

n+m n m

274

ovvero, la probabilità che il numero 34 non esca nelle successive n+m estrazioni,

avendo osservato che esso non è uscito nelle prime n estrazioni, non dipende

da n, cioè dal cosiddetto “ritardo ” dell’evento.

2. Mostriamo ora che la geometrica modificata è l’unica distribuzione discreta,

a valori interi positivi, che ha la proprietà di mancanza di memoria.

Infatti, supponiamo che per Z valga (A1); posto q = P (Z > h), h = 1, 2, . . .

h

essa si scrive: ·

q = q q

n+m m n

·

Intanto, per m = 0 si ha q = q q e quindi, semplificando q , si ottiene

n 0 n n

·q

q = P (Z > 0) = 1. Inoltre, per m = 1, si ha q = q , e quindi, procedendo

0 n+1 1 n ≥

n n

per induzione, si ottiene q = P (Z > n) = q . Allora P (Z n + 1) = q e

n 1 1

≥ ≥ − ≥ −

n−1 n−1 n

P (Z n) = q . Ma P (Z = n) = P (Z n) P (Z n + 1) = q q =

1

1 1

− −

n−1

q (1 q ). Posto p = 1 q , si ottiene infine:

1 1

1 − n−1

P (Z = n) = p(1 p) , n = 1, 2, . . .

ovvero Z ha distribuzione geometrica modificata di parametro p.

∼

3. Per una v.a. X Geom(p), la proprietà di mancanza di memoria, si può

scrivere: ≥

P (X = m + k|X m) = P (X = k) (A2)

E’ facile verificare che (A2) vale, poiché: − m+k

P (X = m + k) p(1 p)

≥

P (X = m + k|X m) = = =

≥ − m

P (X m) (1 p)

− k

= p(1 p) = P (X = k)

Mostriamo ora, analogamente a quanto fatto prima, che la v.a. geometrica è

l’unica v.a discreta a valori interi non negativi che soddisfa la proprietà (A2).

Infatti, posto p = P (X = k), la (A2) si può scrivere:

k ( )

∞

∑ ∑

m−1

−

p = p p = p 1 p

m+k k k k k

k=m k=0

− − − −

= p (1 p p . . . p ).

k 0 1 m−1

−

Allora, per m = 1 si ottiene: p = p (1 p ) e, procedendo per induzione:

k+1 k 0

− k

p = p (1 p ) , k = 0, 1, . . .

k 0 0

Posto p = p, vediamo subito che quella sopra è la densità discreta di una v.a.

0

geometrica di parametro p. 275