Geometria delle masse

Geometria delle masse

Sistema dei punti materiali

m_i > 0 Massa di P_i (m_i = 0) ↔ m_i è trascurabile

M = ∑_i=1ⁿ m_i Massa totale

Centro di massa

G - O = def 1/m ∑_i=1ⁿ m_i(P_i - O)

O punto arbitrario

G è il centro di questo sistema

NB. Se { [P_i, m_i e_i]} → G₀ è il baricentro

Se { [P_i; m_i ; &retval;]} → G₀ è il baricentro

Sistema continuo

ρ = ρ(P) Densità ρ > 0

m = ∫_E ρ(P) de

G - O = 1/m ∫_E ρ(P)(P - O) de

E deve avere valide l'integrazione di Riemann

per calcolare la somma di tutte le masse

sotto una funzione

d E = d l, d s, d V (1D 2D 3D)

ρ di peso da dimensioni diverse teste [e] = kg/m

1D = kg

2D = kg/m²

3D = kg/m³

NB. Un corpo si dice omogeneo quando la densità

ρ è costante

Proprietà:

1. Il centro di massa G non dipende da O.
2. G è un proprio punto del sistema e non dipende dalle forze che agiscono su S.
3. Pe cui anche il centro di massa G vale la proprietà distributiva.

C.i sono inoltre delle proprietà particolare che il calore del centro di massa più facile

• Un sistema contenuto in un segmento ha G e segmento.
• Un sistema E piano => G e piano
• Un piano di simetria geometrico e materiale contiene G centro di massa.

Momento Statico

Se prendi un sistema di riferimenti cartesiano (O, x, y, z)

O = (0,0,0) => pi = O = xi_i + yi_j + zi_k

Scritto discretamente e continui

• m x_C = ∑_i m_i x_i
• m y_C = ∑_i m_i y_i
• m z_C = ∑_i m_i z_i
• m x_C = ∫_E ρ(P) x dζ
• m y_C = ∫_E ρ(P) y dζ
• m z_C = ∫_E ρ(P) z dζ

Esercizi

8)

G = ??

Orangea - massa m

l’asse y è un asse di simmetria geometrica e di massa del solido. x_G = 0

Posso interpretare la figura come:

m = m₁ + m₂ → m = ρ(πR² - R²/2)

y_G = 1/m (m₁ y_G1 + m₂ y_G2)

y_G = 4/3π²R²

Posso utilizzare il risultato ottenuto nell’esercizio 5 cos α = π/2

9)

Sviluppo un esercizio sulla tralicci

Considero un lato di lunghezza L, massa M (orangea)

Forma un triangolo equilatero.

G₁ = (1, 2, 0)

G₂ = (L - 1/2 cos(π/3), L/2 sin(π/3)) = (3L/4, L/4)

G₃ = (L/2 cos, π/3, L/2 sin, π/3) = (1/4 L, 1/4 L√3)

G_K = (L/4 √3L/2, √3L/2) = (L 1/4, L/24 √3)

x_G = 1/5m [ m_I y_G1 + m₂ y_G2 + m_I x_GL] = 7/16 L

y_G = 1/5m [ m₁ y_G1 + m₂ y_G2 + m₃ x_G3 + m₂ x_G9] = 7/16 L√3/2

3) Per esempio di insieme rigido di più punti ξ_i:

I_P = I_G + m_Gd²

c) Prendiamo un punto qualsiasi di confronto C, un punto A initiale de confronto G, r_G, r_G, r'_G e r'

al momento sono discreti e collegano due pesi, scriviamo si scrive per il termine pesi collateriali corticali G

▲

[I_P = I_estresia]

(r'-o') — m e distanza di dal peso π (col segno-6)

(r'-o') m e distanza di dal peso π' (col segno)

Esseri:

• Asta Omogenea (Lunghezza L, Massa m) α fissato

➡

I_P = ?

I_l = ∫ρ(p)d(p)²dξ

ml² è fissa

x

A

d (p)

x(statico)

ma ⎾:

I_P = ₀—

I_initiale = mll²2 sin²α

ml²

Con m sin^aθ scolito se α ➡ μ

imbile se α ≈ π/2

Se integro α ≈ π/2 ➡ m²l³

＊＊＊＊＊

• Lam induttore (massa m)
• imensione selezione di × integrale

Esso e quindi SDI — non sopra ^{idealmente tutto il pianificatore}

▲

I_r:

▲

I_P = (p d²(Π_p) d⎯) = ∫ (p d_e(p)) dξ coso immagato ➡ I_p = p(2^dd)

• e frangiamo x, A → aspirazione, in asse 2(ρ),

un integrale scambio (verso Y da un base integrale del → punto di scelta ↔ base di integrare (2p) definita quindi p → base che integra A

sotto di base

dC:

S(r) dx

S(r) che la base di solidagi (trapezi) e conce de integrato, inizia ovvero L e O-h. Quindi evergreen a crescere core vero: S(r) in base core vero il concavo

Momenti di Inerzia Rispetto ad Assi Concorrenti

Predetto un sistema di riferimento qualsiasi, che può essere cartesiano o altro:

Poniamo il momento calcolo di origine O e base {e_i, e₂, e₃}

Con e = e₁ x e₂

Come caso-diretto

P_i = O + X₁e₁ + X₂e₂ + X₃e₃

I_Y = ∑ m_i( (x_i - α)² )² non senso detto est

P_i,0 x e = (p_i - α) x e = ∑

p_i - L = ∑ m_i ( … … )

…

Nel sistema continuo:

Possiamo quindi dire che quel-matrice è reale G_0,ij ∈ R

3) SISTEMA DI ASSI OMOGENEI (densità ρ)

|AB|=2Q |BC|=|CD|=Q

I_y=??

Nota che nel sistema pivo → da asse principale diretto → D_Ixx=I_Iyz=0

m_ab=2ρQ

Teorema Huyghens

I_xx = I_xx ^(A)T = m_AB (a2 + b2) - I_(A)yy ^T + I_Ix

I_yy = m_ab [(1/3)a³p(^m_cπ)]

I_xx (Y_p) - I_(A) =(2Q)

- Teorema Huygens

- (eretando le 2 distorce sorgenti piste estogie...

Il calcolo possono basare all'interno di un laboratorio:

ELLISSOIDE D'INERZIA

MATRICE D'INERZIA

I=ε(Î ” Gœ)

(o un oggetto di lievi energia grafica)

Al versare di un passano attorno ai punti dello spazio ⇒ ρ:

In sei _P: Io

^P.o.l = (¹/²)

946=α(²ι) - β उसदा

- Consultiamoci gli P

O

xy

ăx²yz

Dalla Δ

Δ - ³√l

I X²

I(¿J)

(SOSTITUI - oqι)

Se x2 / I = CCU pase^~~F

v2 / I ... sinonim ≤ λyaasionali

-^Ixx>

L_associate = x::{έ,αe}

G sinusa

LA = - P (SOSTITUI$)

La detto oggetto è di quadro centrato 1, 0 detto ellissoide d'inercia in 3 dimensioni

Se 0=^D: ellissoide centrato d'inerzia

- Subcisario potesimo anche le neue generio concentrano su un polo esterno e destringu onto S

sul polo O. In detta è l'ellissoide è una distribuzione di punti che è parte di delimitava nodali

di inazio.

Chloe', non perde in ellissoidi

Gluassi dá somplice dalle zone a mnoggi.

Assi temporali d'inercia:

π detto interseca, lo superficie in due parti complementa si nemo.

-_ο{P~O-invE}=¹/ʎƒ