Economics of technology and management (Teoria)

Production Possibility Set

insieme di tutti i vettori di input ed output dell'azienda

input ed output sono quantità fisiche reali quindi:

• X ϵ R^K
• Y ϵ R^m

X_i ≥ 0 con i = 1, ..., K Y_j ≥ 0 con j = 1, ..., K

Y = {f(y; x) ϵ R^m

inputs requirement set insieme di tutti gli inputs necessari a produrre un determinato output ṡ

V(ṡ) = {x ϵ R^K | (ṡ - x) ϵ Y}

Proprietà di questo insieme:

1. Regolarità
   • a) V(ṡ) non è mai vuoto ⇒ si esiste un modo per produrre ṡ
   • b) X > 0 ⇒ Θ∉V(ṡ) onde non si può produrre qualcosa senza inputs
   • d) V(ṡ) è un insieme chiuso, lo sgurino degli x produce ṡ ⇒ per x∈x>X anche quest ultimo produce ṡ
2. Monotonicità: se x ϵ V(ṡ) ed x ≤ x ⇒ x ϵ V(ṡ), onde se nono x_ν input produce un cetto output, impiego un numero maggiore di inputs (x) produce ancora il mio output
3. Additività: se quando x_ν inputs sono prodotti y_ν, (y_ν - x_ν) ϵ Y ed ugualdo (X_ν + x_ν inputs sono prodotti y_ν - X_ν ϵ
4. Divisibilità: rimanda alla specialista (tx - ṡ ϵ Y)
   • se y - x ϵ Y per qualunque α 0 ⇒ α V-input ai livelli, si ottenga di output, il livelo di inputs
   • sic si ottenga di note il livelo di inputs si ottenga di note il livelo di inputs
5. Convexity: si ottenga alla 3.e alla 4.
   • ti - x ϵ Y
   • Z - x ϵ Y

Production Function

Q = f(L, K)

dove K = capitale (macchine, strumenti, ecc.)

L = lavoro (mesi da fruttore)

Marginal Productivity Labour (or Capital)

MP_L = (∂Q(L,K)) / ∂L

MP_K = (∂Q(L,K)) / ∂K

Average Productivity Labour (or Capital)

AP_L = Q(L,K) / L

AP_K = Q(L,K) / K

MP ed AP si incontrano nel massimo di AP.

se Li < L_i (o Ki < K_i) → MP_L > AP_L (o MP_K > AP_K)

se Li > L_i (o Ki > K_i) → MP_L < AP_L (o MP_K < AP_K)

Q = Q(L,K) è una superficie che può essere tagliata con un piano K₁ / di piano L₁,

così da ottenere una curva di isoquant: tutte le possibili combinazioni degli input

K ed L per ottenere una certa quantità fissata Q^*

Marginal Rate of Technical Substitution

HRTS_L,K = | MP_L / MP_K |

COST

ω_i ≥ 0: costi di un certo input "i"; sia K sia L per un dato una combinazione di input (L, K) che produce un livello di output Q* possiamo dire che pagheremo

ω_K K + ω_L L

COST MINIMIZATION PROBLEM

trovare la combinazione (L, K) che garantisca il minimo costo per produrre la quantità Q* fissata.

min_{K, L} (ω_L L + ω_K K)

ISOCOST

L insieme di livelli della cost function

L = ω_L L + ω_K K

Per traslare si tocca il capitale

Il rapporto tra i costi di due input determina l'inclinazione delle curve di isocosto

• ω_L / ω_K
• ω_L / ω_K

Se ω' > ω le curve di isocosto sono rette parallele e grazie alla direzione individuata da ∇S = (ω_L, ω_K) sappiamo il verso in cui cresce l'insieme di livello.

CES PRODUCTION FUNCTION

METODO LAGRANGIANO

F.O.C per {Q-T - Ω(K, L) } = 0 dove λ = moltiplicatore di lagrangiano

FIRST ORDER CONDITIONS

AC_L(Q_L) = c_L(Q_L)/Q + VC_L(Q)/Q = AVC_L(Q)

MC_L(Q) = ∂C_L/∂Q = ∂VC_L/∂Q

MARGINAL COST IN LONG RUN

C↑

ε↑

Il marginal cost è la tangente alla curva nel punto Q̄

lim_Q→0 AC_L(Q) ≠ lim_Q→0 MC_L(Q)

lim_Q→0 AC_L(Q) - C_L(0)/Q ≠ MC_L(0)

In Q* queste funzione coincidono (come per FP ed AP) esiste un punto in cui AC è pare a minima

Deriv. di nuovo in media:

∂[AC_L(Q)]/∂Q = ∂[c_L(Q)]/Q² - Q = 0

Q*

Di qui si ricava la condizione per il costo medio minimo:

c_L(Q*)/Q* = AC_L(Q*)

c_L(Q*)/Q* = MC_L(Q*)

=> ^{[AC_L(Q*) = MC_L(Q*)]}

PER Q < Q* => MC_L < AC

PER Q > Q* => MC_L > AC

SH0RT RUN:

C_S(Q) = VC_S(Q) + F

AC_S = VC_S(Q)/F = AVC_L(Q) + AFC(Q)

FIXED COSTS

VARIABLE COSTS

In pochi casi in AC si trova all infinità decrescente l’editore di andamentro per la SHORT RUN:

AFC(Q) ← siempre decrescente (→)

AVC(Q) è siempre crescent

Questo secondo passaggio si conclude con

^{(∂²ni/∂qi²)} = 0 => P – ∂c/∂qi =0 => P* = MC(Q)

ossia il prezzo a cui vendiamo una unità di output deve essere uguale al costo che comporta la produzione di questa ulteriore unità (NO ECONOMIC PROFIT) possiamo avere due casi:

• P* > MC(Q): riescono produrre una quantità di Q in più comporta un costo minore rispetto al ricavo che ne deriva => bisogna aumentare la produzione per avere efficienza produzione;
• P* < MC(Q): riescono produrre una quantità di Q in meno comporta un costo superiore rispetto al ricavo che ne deriva => bisogna diminuire la produzione per avere efficienza produzione;

La condizione del II ordine ci produce l’unico punto in cui ottengo equilibrio ma: siccome dalla forma di MC(Q) ci accorgiamo che ci sono due possibili punti in cui è verificata la condizione del I ordine, per scegliere il punto giusto (Q₁) dovremo verificare la CONDIZIONE DEL II ORDINE Graficamente: P* = MC(Q) P* > MC(Q)

questa condizione corrisponde a quella di massimo del profitto (ed è il nostro obiettivo); ma riesco sapere che è il massimo del profitto e quando ottengo il minimo del costo, possiamo ricollegare questa condizione insieme la condizione minimizzazione costi: ∂²C/∂Q²(>0 < 0) oppure ∂²MC/∂Q (≥ 0 > 0)

ossia da questa condizione si deduce che Q1 e 2 sono compresenza di Q₀, ma questa Q₀ deve essere unica per noi; quindi ricollegando quando P = Q = P(Q), Ma ricordo, che la curva MC(Q) e ricavo elettori con Q, sono massimi utili ottenuti con Q₀

2-_∂L*/^∂U_L < 0 e _∂K*/^∂U_K < 0 come nello studio della minimizzazione dei costi, anche in questo caso al aumentare il prezzo da pagare per un input dovrà diminuire l’utilizzo di quest’ultimo.

Dimostrazione:

Soppesiamo di avere queste due situazioni con prezzi differenti

1. a=(p_t, w_L^t, w_K^t) ⇒ π^t=P·Q^t-w_L^tL^t-w_K^tK
2. β=(p_s, w_L^s, w_K^s) ⇒ π^s=P·Q^s-w_L^sL^s-w_K^sK

Ogni situazione avrà il suo piano ottimale

1. a^t=[L^t K^t, Q^t]
2. f_s=[L^s, K^s, Q^s]

Sostituendo ritroveremo le rispettive “Max π" Quindi se nella “π^t” sostituisce L^s nella “π^s” sostituisce a livelli delle tre funzioni minori rispetto alla Max

P·Q^t-w_L^tL^s-w_K^tK^s ≤ P·Q^s- w_tL^s - w_K^tK^s

P·Q^s-w_L^tL^s-w^tK^s ≤ P·Q^t-w_L^sL^t-w_K^sK^t

P·Q^s-w_L^sL^t- w_K^tK^s ≥ P·Q^t- w_L^tL^s-w_K^tK_T

π^t-π^s P(Q^t-Q^s)-(w_L^t-w_L^s)(L^t-L^s)-(w_t^s-w_K^s)(K^t-K^s) ≥0

⇒ ∆P· ∆Q - ∆ w_L· ∆ L - ∆ w_L·∆ K ≥0 SWITCH FROM A SITUATION "t" TO A SITUATION "S"

Questo grafica le due proprietà precedenti:

• se ∆w_L= 0 ⇒ ∆P· ∆Q ≥0 e aumenta Q, deve aumentare P
• se ∆P =0 e ∆w_L < 0 ⇒ -∆w_L·∆K ≤0 se aumenta il prezzo di un input deve disminuire la quantità di utilizzo di quell'input.