Appunti Statistica per la sperimentazione e le previsioni in ambito tecnologico (parte 3) in italiano

Riepilogo:

il metodo della massima salita (steepest ascent) è una procedura utilizzata nella RSM per

muoversi rapidamente verso la regione in cui la risposta è ottimizzata. Spesso le condizioni

operative iniziali sono lontane dal vero ottimo. In questi casi, un modello di regressione di

primo ordine (lineare) fornisce una buona approssimazione locale della superficie di risposta.

Invece di esplorare l’intero spazio sperimentale, lo sperimentatore segue la direzione in cui la

risposta aumenta più rapidamente.

Questa direzione è chiamata percorso della massima salita (path of the steepest ascent).

Per un modello di primo ordine, le curve di livello della superficie di risposta sono rette

parallele e la direzione di massima salita è perpendicolare a tali curve. Dal punto di vista

matematico, questa direzione è determinata dai coeEicienti di regressione: il passo compiuto

lungo ciascun fattore è proporzionale al coeEiciente stimato del modello.

Gli esperimenti vengono eseguiti sequenzialmente lungo questo percorso fino a quando non

si osserva più alcun miglioramento della risposta. A quel punto, il modello di primo ordine

non è più adeguato, indicando generalmente la vicinanza all’ottimo.

Se l’obiettivo è minimizzare la risposta anziché massimizzarla, lo stesso concetto viene

applicato nella direzione opposta ed è chiamato metodo della massima discesa (steepest

descent).

9.2 Passaggio dal primo al secondo ordine

Come noto, la somma dei quadrati (SS) della variabile di risposta Y si scompone in:

SSmodel + SSres

Il punto cruciale nella RSM è che SSres viene ulteriormente scomposto in: 62

Dove SSlof è la somma dei quadrati (o devianza) legata al Lack of Fit, cioè alla bontà di

adattamento del modello di primo ordine. In questo modo si fa riferimento all’ultimo modello

di primo ordine applicato lungo la procedura di massima salita/discesa (steepest

ascent/descent). Invece SSpe è la devianza calcolato attraverso le repliche nel punto x0 (cioè

n0), dove x0 rappresenta il centro del design, espresso in valori codificati.

Si noti che SSlof è strettamente legata al modello, mentre SSpe è strettamente legata al

design sperimentale; inoltre, SSpe dipende dal numero n0 di repliche.

Per verificare se è necessario passare a un modello di secondo ordine, devono essere eseguiti

due test di ipotesi:

1. Il test di Lack of Fit (LOF)

2. Il test di curvatura (curvature test)

Ovviamente, il test LOF può essere calcolato anche durante la procedura di massima

salita/discesa (steepest ascent/descent), quando viene stimato ciascun modello polinomiale

di primo ordine; tuttavia, il test LOF finale, insieme al test di curvatura, è obbligatorio per

verificare il passaggio al secondo ordine.

Una volta calcolati entrambi i test, essi devono essere valutati congiuntamente per stabilire il

possibile passaggio alla RSM di secondo ordine. Possono verificarsi quattro scenari:

1. Entrambi i test sono significativi è necessario passare al secondo ordine

à

2. Entrambi i test non sono significativi il settaggio ottimale dei livelli dei fattori,

à

ottenuto con la procedura di massima salita/discesa (steepest ascent/descent) di

primo ordine, rappresenta la soluzione ottimale finale. 63

3. Il test Flof è significativo mentre il test Fcurv non lo è in questo caso è certo che

à

sono state trascurate una o più fonti di variabilità nella fase di pianificazione del DoE.

4. Il test Flof non è significativo mentre il test Fcurv è significativo questa situazione

à

dovrebbe verificarsi raramente; se accade, probabilmente il test Flof è al limite della

significatività, cioè molto vicino a essere significativo. 64

10. Steepest ascent/descent – teoria integrata con un

esempio 65

Modello statistico della superficie di risposta di primo ordine

Una volta eseguito il DoE, si procede alla stima del modello: 66

Sistema di equazioni e derivate parziali

Non si tratta di un sistema linearmente indipendente. La formula (4) rappresenta il

moltiplicatore di Lagrange.

Imponendo che le derivate parziali siano uguali a zero, si ottiene il seguente sistema di k+1

equazioni:

La soluzione è data da xi secondo la seguente formula:

2

Dove bi è il coeEiciente stimato corrispondente, e è il moltiplicatore di Lagrange. 67

Pertanto, poiché non disponiamo di un sistema di equazioni linearmente indipendenti, ∆

dobbiamo assegnare in modo arbitrario, per un generico fattore i-esimo, un incremento

(stabilito sulla base di considerazioni tecniche o operative), tale che:

In questo modo: ∆ = 5 )

È necessario fissare a priori (nell’esempio di Montgomery è stato fissato

∆ .

almeno un valore per poter stimare , ∆

Una volta ottenuto il valore stimato di si ricavano di conseguenza i valori per i restanti k-1

fattori/variabili.

Procedura ed esempio di Khuri & Cornell 68

69

70

71

72

Nella RSM questa scomposizione è importante perché

- SSPE DoE quantifica la variabilità strettamente legata al DoE, poiché stiamo

à à

considerando repliche nel centro del disegno x0.

- SSLOF modello se ho applicato correttamente il modello di primo ordine, alla

à à

fine della procedura esso dovrebbe contenere la variabilità legata al fatto che ho

utilizzato un modello di primo ordine invece di uno di secondo ordine, cioè la

mancanza di interazioni ed eEetti quadratici.

11. Central Composite Design (CCD)

RSM: un CCD è un disegno sperimentale di secondo ordine (k=numero di fattori) composta

da: - Parte fattoriale (fattoriale completo o, più raramente, fattoriale frazionale, MAX R=V o

superiore; MAX R=V perché con la parte fattoriale si stimano le interazioni di primo

ordine). 0, 0)

- Parte assiale (±, una sola coordinata diversa da zero

à

- Repliche nel punto x0: n0 è il numero di repliche n0>1

à

Di conseguenza, il numero di prove per un CCD è pari a: 73

Nel modello di primo ordine utilizziamo le repliche per eseguire i due test, ma ciò non è legato

alle proprietà del design di primo ordine.

Nei modelli di secondo ordine non esiste una dimensione fissa: essa viene scelta in base alle

proprietà che si desidera ottenere dal CCD. ?

2

Esempio: un CCD con un disegno fattoriale , 3 fattori e tre livelli

NB: nel CCD sferico l’area primaria di interesse è una sfera di raggio r=1 centrata in x0. I punti

assiali si trovano all’esterno della sfera, così come il cubo.

Perché il CCD è così importante?

- Quando si passa dal modello di primo ordine a quello di secondo ordine, è possibile

riutilizzare il full factorial design impiegato nel primo ordine e aggiungere solo i punti

assiali e le repliche in x0 per costruire un CCD, risparmiando così molte prove

sperimentali.

- Mentre nel primo ordine l’area di indagine ha r=1 ed è rappresentata anche dal full

factorial design a 3 livelli, nel CCD l’area di indagine dal valore dei punti assiali. 74

Condizioni di rotabilità per un CCD

'

= 2

Sia '

= 2 + 2 +

E "

Possiamo anche considerare una situazione generale, in cui g è un fattore di scala tale che:

Pertanto, la condizione generale principali per la rotabilità di un CCD è la seguente:

La condizione (1) diventa la seguente per un CCD:

(si ottiene questa espressione per i modelli [iiii] e [iijj])

E, considerando il significato di F e g, la formula (2) si semplifica in:

(inoltre, tutti i momenti dispari sono nulli)

Quindi, si tratta di una condizione su punti assiali.

Si noti che la rotabilità di un CCD è garantita da: 75

- Il rispetto della formula indicata,

- Il fatto che tutti i momenti dispari fino al quarto ordine siano nulli.

Condizioni di ortogonalità per un CCD =

In generale, per un disegno sperimentale di secondo ordine, l’ortogonalità è garantita se @

[] = 1. Pertanto:

= 1

Imporre equivale a:

@ ,

Risolvend