Appunti Meccanica applicata alle macchine

Moto rototraslatorio

_B^v₂ = _w² ∧ [B - K]

_A^v₂ = _w² ∧ [A - K]

Moto rotatorio

_K^v = 0

_K^a ≠ 0

Se il C.I.R. cambia.

Se _v = 0 ⇒ _a ≠ 0.

Luogo geometrico dei C.I.R.

X_k = L cos (π - θ) = -L cos θ

Y_k = L sin θ

X_k² + Y_k² = L² cos²θ + L² sin²θ ⇒⇒ X_k² + Y_k² = L²

Moto roto-traslatorio

_B^v = ^w₂ ∧ |B-K|

_A^v = ^w₁ ∧ |A-K|

Moto rotatorio

_K^v = 0

^w_K ≠ 0

Se il C.I.R. cambia.

Se ^w = 0 ⇒ ^v ≠ 0.

Luogo geometrico dei C.I.R.

{X_K = Lcos(Π-Θ) = -LcosΘ

Y_K = LsinΘ}

X_K² + Y_K² = L²cos²Θ + L²sin²Θ ⇒⇒ X_K² + Y_K² = L²

Esercizio

• GDL resclur
• Gradi di inc. (GDV)
• Gradi di lib. (GDL)

X_A, v̅_A, a̅_A NOT1 X_A(t)

ω̅, ω̅̇, v̅_B, a̅_B

v̅_B = v̅_A + ω̅ ∧ (B-A)

v̅_B = v̅_Aî + ω̅k̂ ∧ (Lcosδî + Lsinδĵ)

v̅_B = v̅_Aî + ω̅Lcosδĵ + ω̅Lsinδî

v_A = ωLsinδ, ω = v_A/Lsinδ

v_B = ωLcosδ, v̅_B = v_A/Lsinδ * k cosδ = v_A/tanδ

a̅_B = a̅_A + ω̅̇ ∧ (B-A) - ω̅²(B-A)

a̅_B = a̅_Aî + ω̅̇k̂ ∧ (Lcosδî + Lsinδĵ) - ω̅²(Lcosδî + Lsinδĵ)

a̅_B = a̅_Aî + ω̅̇Lcosδĵ + ω̅̇Lsinδî - ω̅²Lcosδî - ω̅²Lsinδĵ

ωLsinδ = a_A - ω̅²Lcosδ, ω = a_A - ω²Lcosδ/Lsinδ

a̅_B = ωLcosδ - ω̅²Lsinδ, a_B = a_A - ω̅²Lsinδ k cosδ - ω²Lsinδ

Dati

AB = 0,7 m

β = 150°

n_A = 5 m/s²

ω = 0,3 π₂ rad/s

Incognite

n_B

ω_C

ω_G

Ω

[BG = AG]

• n_B = n_A + ω² ∧ (B-A)
• n_B = Ω ∧ A + ω∧(AB cos x̂ + AB sin ŷ) - ω² (AB cos x̂ + AB sin ŷ)
• a_B ∧ 2 = Q_A ∧ 2 + ω∧ k² ∧ (AB cos x̂ + AB sin ŷ) - ω² (AB cos x̂ + AB sin ŷ)
• a_G = n_A + ω² ∧ (G-A)
• a_G = Ω ∧ A + ω∧ (G-A) - ω² (G-A)

Equazione di chiusura

(α, β, γ = anomalie)

(β - Θ) = (A - Θ) + (β - A)

Non lineare.

e^iγ = α cos d + b cos β

C e^iγ = a e^iα + b e^iβ

ω_AB = β̇ k̂

V̄_B = Ċ t̂

V̄_AB = Ĉ t̂

Velocità

C e^iγ = α̇ e^iα + β̇ b e^{i(β + π/2)}

Ċ cos γ = ė cos d + b Ḃ cos (β + π/2)

Ċ sin γ = ė sin d + b Ḃ sin (β + π/2) => Ċ, Ḃ

Atto di moto -> Lineare(4)

\[\begin{bmatrix}\dot{a} \cos \theta \\\dot{a} \sin \theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \gamma + b \sin \beta \\\sin \gamma - b \cos \beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{c} \\\dot{\beta}\end{bmatrix}\]

Sistema in forma matriciale

\[[A(\beta, \gamma)] b = c\]

(5)

\[\begin{cases}\dot{c} \cos \gamma = \dot{a} - b \dot{\beta} \sin \beta \\\dot{e} \sin \gamma = \dot{a} - b \dot{\beta} \cos \beta\end{cases}\]

Sostituzione

\[\begin{cases}\dot{c} \cos \gamma + b \dot{\beta} \sin \beta = \dot{a}\\\dot{\beta} = \frac{\dot{c} \sin \gamma}{b \cos \beta}\end{cases}\]

(6)

\[\text{Metodo di Cramer}\]

\[\dot{c} = \frac{\begin{vmatrix}\dot{a} \cos \theta & b \sin \beta \\\dot{a} \sin \theta & -b \cos \beta\end{vmatrix} }{\det [A]}\]

\[\dot{\beta} = \frac{\begin{vmatrix}\cos \gamma & \dot{c} \cos \theta \\\sin \gamma & \dot{c} \sin \theta\end{vmatrix} }{\det [A]}\]

Accelerazioni

\[\dot{c} i \theta' - \dot{a} \dot{\beta} e^{i(\beta + \theta)} + \dot{\beta}^2 b e^{i \beta} \]

\[+\begin{pmatrix}c \cos \gamma - a \cos \theta - b \hat{\beta} \sin \beta b \\\dot{e} \sin \gamma\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b \dot{\beta}^2 \cos \beta \\\dot{e} \beta \sin \gamma\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \dot{e}, \dot{\beta}\]

\[\begin{pmatrix}c \cos \gamma & b \sin \beta \\\sin \gamma & -b \cos \beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dot{c} \\\dot{\beta}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dot{a} \cos \theta & -b \dot{\beta} \cos \beta \\\dot{a} \sin \theta & -b \dot{\beta} \sin \beta\end{pmatrix}\]

Risoluzione con Rivals

\[\dot{c} i e^{i \gamma} = \dot{q} e_{\gamma} + \dot{b} b i \begin{pmatrix}\beta + \frac{\pi}{2} i\end{pmatrix}\]

\[|\dot{v}_B| = |v_A| + |v_{AB}| \wedge (B - A)\]