Appunti Fisica tecnica

⟮_⟯dT/dx (T_o-T_d) = -sinh [m(L-x)]/cosh (mL) ⟯⟮dT/dx x=0 = ⟯ ⟮(Ph_a/kA)^1/2(T_t-T_d) tanh(nL)⟯ da cui: q=-kA (dT/dx) x=0 = kA (P h_a/kA)^1/2 (T_t-T_d) tanh(nL) = (kA P h_a)^1/2 (T_t-T_d) tanh (mL)

Lo stesso risultato poteva essere ricavato anche calcolando il flusso termico totale scambiato per adduzione attraverso la superficie laterale dell'aletta: q = ∫₀^L h_a PL (T(x)-T_d) dx

Per concludere l'efficienza termica dell'aletta è definita come: η = q/q_max

Ove q_max è il flusso termico massimo scambiato dall'aletta se questa fosse tutta alla temperatura T della sua sezione d’attacco, e vale: q_max = h_a PL (T_o-T_d)

Quindi: η = q/q_max = (kAh_a P)^1/2(T_o-T_d) tanh(mL)/(h_aPL (T_o-T_d)) = (tanh(nL)/mL)

Scambiatori di calore a tubi concentrici

Uno scambiatore di calore è un dispositivo in cui avviene uno scambio termico tra due fluidi a diversa temperatura, e può essere "a contatto diretto" o "a superficie" a seconda che i due fluidi si tocchino oppure che vi sia una superficie interposta tra i due.

Gli scambiatori di calore a tubi concentrici, gli scambiatori a fascio tubero, le batterie alettate, gli scambiatori a piastre sono alcuni esempi di scambiatori di calore a superficie. Il comportamento termico di ogni scambiatore di calore a superficie è riconducibile a quello di un scambiatore di calore a tubi concentrici.

q = kA ( ^P_ha⁄_kA )^1⁄2(T_o-T_a)tanh(mL) = (kAPh_a)^1⁄2(T_o-T_a)tanh(mL)

q = ∫₀^Lh_a P[T(x) - T_a] dx

η = q⁄q_max

q_max = h_aPL(T_o-T_a)

η = q⁄q_max = (kAh_aP)^1⁄2 (T_o-T_a) tanh(mL)⁄h_aPL(T_o-T_a) = (tanh(mL)⁄mL)

Scambiatori di calore a tubi concentrici

Uno scambiatore di calore è un dispositivo in cui avviene uno scambio termico tra due fluidi a diversa temperatura, e può essere "a contatto diretto" o "a superficie" a seconda che i due fluidi si tocchino oppure che vi sia una superficie interposta tra i due.

Gli scambiatori di calore a tubi concentrici, gli scambiatori a fascio tubero, le batterie alettate, gli scambiatori a piastre sono alcuni esempi di scambiatori di calore a superficie. Il comportamento termico di ogni scambiatore di calore a superficie è riconducibile a quello di uno scambiatore di calore a tubi concentrici.

Lo scambiatore di calore a tubi concentrici è costituito da due tubi coassiali, uno interno ed uno esterno, in cui in ognuno di essi scorre un fluido.

Condizioni al contorno dell'aletta

Supponendo che la sezione terminale dell'aletta si comporti come una superficie adiabatica, si ottengono le seguenti condizioni al contorno: { T(0)=T₀ ⇒ C₁+C₂ T(L)=T_a −kA (dT/dx |_x=L )=0 ⇒ C₂=T_a−T₀−C₁ C₂=T_a−T₀−C₁ ⇒ C₁(e^mL+e^−mL) = (T_o,T_a)e^−mLC₂=T_o−T_a ⇒ C₁(e^mL) = C₁= (T_o−T_a)e^−mL e^−mL+e^−mL

Quindi: T(x)= T_a + (T_o−T_a)e^−m(L−x)+ e^m(L−x)e^mL+e^−mL

E ricordando che: 2cosh(x)= e^x + e^−x

Si ottiene: T(x)= T_a + (T_o−T_a) cosh [m(L−x)] cosh(ml)

T(x) ha andamento decrescente, con pendenza decrescente all'aumentare di x fino ad essere nulla in x=L.

Potenza scambiata dall'aletta

La potenza scambiata dall'aletta può essere calcolata come mostrato di seguito: dT/dx(T_o−T_a)−msinh[m(L−x)]cosh(ml) ⇒ dT/dx |_x=0 −(Ph_a^KA)^½ (T_o,T_a)tanh(mL)

Da cui: q=kAdT/dx |_x=0 −kA(Ph_a^KA)^½ (T_o,T_a)tanh(mL)

Che è proprio il flusso termico che l'aletta riceve per conduzione attraverso la sua sezione d'attacco.

Lo stesso risultato poteva essere ricavato anche calcolando il flusso termico totale scambiato per adduzione attraverso la superficie laterale dell'aletta. q= ∫₀^L h_a P [ T(x)−T_a] dx

Fisica tecnica teoria

Conduzione e il flusso termico _qda che l'elemento cede all'ambiente attraverso gli elementini dS di superficie limite dell'aletta, che insieme alle due sezioni costituiscono il bordo dell'elemento di volume considerato: q_x = q_x+dx + dq_a

Va ricordato che ci si trova in condizioni di regime stazionario, assenza di sviluppo interno di calore, e che K e h_a sono costanti.

In virtù del postulato di Fourier: q_x = -kA ^dT/_dx

E mediante sviluppo in serie di Taylor, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava anche: q_x+dx = q_x + ^dqx/_dx dx = -kA ^dT/_dx + kA ^d2T/_dx² dx

Ed infine: dq_a = h_aP(S_x - T_a) + h_aPd_x(T_x - T_a)

Ove P indica il perimetro della sezione normale, e T la temperatura dell'aletta sostituendo, l'equazione di bilancio diventa kA ^d2T/_dx² = h_aP (T_x - T_a) => kA ^dT/_dx = h_aP_A1 (T_x - T_a)) => ^d3T/_dx³ = h_aP/kA(T-T_a)

T_a = cost

T-T_a = C₁e^mx + C₂e^-mx => T(x) = T_a + C₁ e^mx + C₂ e^-mx con C₁,C₂ ∊ RE con m = (^h_aP/_kA)^1/2

Le costanti di integrazione C₁ e C₂ possono essere ricavate applicando le seguenti condizioni al contorno già menzionate inizialmente T(0)=T =>T-T_a = C₁ + C₂ -kA ^dT/_dx x= L = h_a A[L(T(L) - T_a)] - kL m_x C₁ e^mL - m C₂ e ^{- mL} ] - h_a h_x (T_a C₁ e^mL + C₂ e_x = C₁L

Condizioni al contorno e numero di Biot

Supponendo che la sezione terminale dell'aletta si comporti come una superficie adiabatica, si ottengono le seguenti condizioni al contorno: all'asse X situata al centro dell'aletta e quella della superficie limite dell'aletta, mentre L_K è la lunghezza caratteristica del percorso delle linee di flusso di conduzione dal centro alla superficie limite, e con: qd_cond = h_adS(T_s-T_a)

Sostituendo le due relazioni si ottiene: k dS(T_s-T_a)_L^K = h_adS(T_s-T_a) ⇒ T_s-T_a T_s-T_a = h_aL_K k

Dove il termine adimensionale a secondo membro è chiamato numero di Biot, ed è definito come: Bi = (L_K k) (k h_a)

Fisicamente rappresenta il rapporto tra la resistenza termica specifica per conduzione e la resistenza termica specifica per adduzione.

Da un rapido sguardo si potrebbe dire che Nu e Bi siano pressoche' simili, ma si commetterebbe un grave errore, infatti nell'espressione del numero di Nusselt figurava K, invece di h_a, nel numero di Nusselt la condubilità termica interna era attribuita al fluido, e L_K e la lunghezza caratteristica era assunta pari alla dimensione del corpo nella direzione del moto del fluido che lo lambisce.

Quindi l'ipotesi semplificativa di campo termico dipendente dalla sola X entro l'aletta risulta ammissibile se: T_s-T_a ≫ T_s-T_a ⇒ Bi ≪ 1

Comunemente in questa situazione, h_a è dell'ordine di 10² W/m² K, L_K è dell'ordine di 10^-2 m, e K e dell'ordine di 10^-2 W/m.K, da cui: Bi = (10² W/m²K) (10^-2m) (10^-2 10^-2 10^-2

Quindi e' lecito assumere T=T_(Tx).

Ora secondo lo schema raffigurato, considerando due sezioni dell'aletta ortogonali all'asse X, a distanza dx l'una dall'altra, deve valere la seguente espressione di bilancio per il flusso termico q₍₎ entrante per conduzione entro l'elemento di volume racchiuso tra le due sezioni, e somma tra il flusso termico J_i uscente dall'elemento per conduzione e il flusso termico J_qc che l'elemento cede all'ambiente attraverso gli