Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 3

Name: Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 3
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Author: Kalos_

Revisionato il 13/07/2026

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Terza parte di appunti del corso di Campi elettromagnetici tenuto al terzo anno di Ingegneria elettronica alla Sapienza. Circuiti equivalenti alle linee, costante di propagazione, impedenza …

Esame Campi elettromagnetici

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Galli Alessandro

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

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Appunti esame

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Estratto del documento

Il circuito equivalente dell'elemento dz sulla linea

Il circuito equivalente dell'elemento dz sulla linea comprende tutti i fenomeni visti: consideriamo una linea di trasmissione uniforme, le costanti primarie sono indipendenti dalla posizione. Cerchiamo una soluzione alle equazioni della linea:

dV(x)/dz = -_{Z_s}I(x)
dI(x)/dz = -_{Y_p}V(x)

Risoluzione dell'equazione della linea

Risolvo la prima:

d²V(x)/dz² = _{Z_s}_{Y_p}V(x)

Ma _{Z_s}_{Y_p} = k_z² => d²V(x)/dz² + k_z²V(x) = 0

Equazione di Helmholtz unidimensionale. Abbiamo già ricavato la soluzione del tipo esponenziale => un'onda di tensione che viaggia lungo ± z:

V(x) = V_0⁺e^{j k_z z} + V_0^-e^{-j k_z z}

Costante propagativa

E la costante propagativa della linea di trasmissione è:

√(_{Z_s}_{Y_p}) = _{Z_R} - j k_α (k_z = β - j α)

Quindi:

√(_{Z_s}_{Y_p}) = √(-k_z²) = j k_z = j (k_{Z_R} - j k_z) = k_{Z_R} + j k_β

(Impedenze reali: j k_α + j β / 2)

Questo è rappresentato convenzionalmente con un generatore a sinistra e un carico a destra della linea. La tensione lungo la linea è data dalla sovrapposizione di un'onda incidente e una riflessa:

V(x) = V⁺(x) + V^-(x)

Soluzione alle equazioni della linea

⇒ Il circuito equivalente dell'elemento dz sulla linea comprende tutti i fenomeni visti: consideriamo una linea di trasmissione uniforme ⇒ le costanti primarie sono indipendenti dalla posizione. Cerchiamo una soluzione alle equazioni della linea:

dV(x)/dz = -Z_sI(x)
dI(x)/dz = -Y_pV(x)

➡ Salvo la prima:

d/dz [dV(x)/dz] = d/dz [-Z_sI(x)] = -Z_sdI(x)/dz = -Z_s(-Y_pV(x))

d²V(x)/dz² = Z_sY_pV(x)

Ma -Z_sY_p = -k_z² ⇒ d²V(x)/dz² = -k_z²V(x) ⇔ d²V(x)/dz² + k_z²V(x) = 0 ⇒ Equazione di Helmholtz in dimensionale. Abbiamo già ricavato la soluzione nel tipo esponenziale ⇒ un'onda di tensione che viaggia lungo ±z:

V(x) = V₀⁺e^-jk_zx + V₀^-e^+jk_zx

Calcolo della corrente

È la costante propagativa della linea di trasmissione ⇒ √(Z_sY_p) = Z_R-jkα₂ = (jβ₂ - jα₂)

Quindi: √(Z_sY_p) = j(k₂-jα₂) = Y_k₂α₂ + jβ₂

Questo è rappresentato convenzionalmente con un generatore a sinistra e un carico a destra della linea. Le ampiezze V⁺, V^- sono determinate dalle caratteristiche del generatore e carico - inoltre noto V(z) è immediatamente ricavabile I(z):

dV(z)/dz = -_zS I(z)

I(z) = 1/Z_S(- dV(z)/dz = -_zS= (-jk_z V⁺ e^{-jk_z z} - jk_z V^- e^{jk_z z}) + jk_z V⁺ e^{-jk_z z} + jk_z V^- e^{jk_z z}) = i_{k_z}Z_S((- V^- e^{jk_z z}) Vo e^jk_zz

Dipende solo dai parametri della linea quindi: I(z) = 1_{Z_o} V⁺ e^{-jk_z z} - V^- e^{jk_z z} = 1_{Z_o} [V⁺(z) - V(z)] = I⁺(z) + I^-(z)

=> I(z) = I⁺ e^{-jk_z z} + I^- e^{jk_z z} anche I(z) è un’onda data dalla somma di un’onda incidente è una riflessa collegate alla tensione V(z) attraverso l’impedenza Z_o.

I⁺(z) = V⁺(z) = V⁺ e^{-jT^k_z} ^{V^-(z)}= V(z)Z_o - quindi Z_o si può scrivere come il rapporto tra la tensione e corrente incidenti:

Z_o = V_z e⁺I_z e⁰ ( = V(z)-Z_o = V_z I(z)=V₀o

Ancora Z_o⁰ = Z_s _^tk_{z = ₀} cattura secondarie alla linea.

Soluzioni alternative

SOLUZIONI ALTERNATIVE: un modo equivalente di determinare V(z) o I(z) sfrutta la conoscenza delle tensioni/correnti a un determinato punto della linea.

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