Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 3

Consideriamo una linea di trasmissione uniforme → le costanti primarie sono indipendenti dalla posizione

Otteniamo una soluzione alle equazioni della linea:

\(\frac{dV(z)}{dz} = -\tilde{Z}_s I(z)\)

\(\frac{dI(z)}{dz} = -\tilde{Y}_p V(z)\)

\(\frac{d}{dz} \frac{dV(z)}{dz} = \frac{\tilde{Z}_s}{\tilde{Y}_p} V(z)\)

\(\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = \tilde{Z}_s \tilde{Y}_p V(z)\)

\(\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -k^2 V(z)\)

\(\frac{d^2 I(z)}{dz^2} + k^2 I(z) = 0\)

Equazione di Helmholtz monodimensionale

Abbiamo già ricavato la soluzione del tipo esponenziale:

V(z) = V_0^+ e^{-jk_z z} + V_0^- e^{jk_z z}

Un'onda di tensione che viaggia lungo ±z:

\(\tilde{\alpha} = \tilde{\beta} z = j \alpha z\)

\(\lambda = \frac{\tilde{Z}_s}{\tilde{Y}_p} = j k_z\)

V(z) = V^+(z) + V^-(z)

Un'onda incidente e una riflessa

\(V(z) = V^+(z) + V^-(z)\)

le ampiezze V_0⁺ e V_0^- sono determinate dalle caratteristiche del generatore e del carico

inoltre noto V(z) e immediatamente ricavabile I(z):

dV(z)² / dz = -Z_s I(z)

⇒ I(z) = -1/Z_s dV(z) / dz = -{j/k_z} e^-jk_zz V_0⁺ e^-jk_zz + e^jk_zz V_0^- = {j/k_z} V_0⁺ e^-jk_zz /Z_s

si definisce √(Z_s = Z₀) / jk_z Impedenza Caratteristica (dipende solo dai parametri della linea) della linea

quindi I(z) = 1/Z₀ {V_0⁺ e^-jk_zz - V_0^- e^jk_zz} = 1/Z₀ {V_f(z) - V_r(z)} = Γ(z) + Γ(z)

⇒ I(z) = I_f e^-jk_zz + I₀ e^jk_zz

anche I(z): un'onda data dalla somma di un'onda incidente e una riflessa collegate alla tensione V(z)

attraverso l'impedenza Z₀

I_f(z) ≡ V_f(z) / Z₀ = 1/t V_0⁺ e^-jk_zz

|

V_r(z) / Z₀(z) = V_0^- e^j_kZz

quindi Z₀ si può scrivere come il rapporto tra la tensione e corrente incidente

Z₀ ≡ V_f(z) = (V_r(z) = -V_0^- / I_f(z) I₀) / I₀

o ancora Z₀ = √Z_s / Kp = √Z_s / Y_p = √Z_s / √Y_p

costanti secondarie della linea

Soluzioni Alternative:

a) un modo equivaluto ai calcolimonimi di V(z) e I(z) sfrutta la conoscenza:

della tensione/corrente a un determinato punto sulla linea per il parametro

infatti se V(z=0) = V(0) e I(z=0) = I(0)

allora

V(0): V_f+ + V_r:

⇒ Z₀ I_f(0) = V_0⁺ - V₀ = V_b + V₀ - I₀

I(0): I₀ = 0

⇒ V₀ = V(0) + Z₀ I(0)/2

V(0) - V(0) - V(0)

con R_m = ^wU/_2cm (resistenza del metallo)

      _d = wE" (conduttività del dielettrico)

→ le costanti primarie dipendono dai parametri fisici e geometrici della TL

Strutture Notevoli:

1. Linea Bifilare
2. Cavo Coassiale
3. Guida a Piatti Parallelli

• L~ = / ln ^2D/_d
• L~ = ^b/ ln ^2b/_a
• L~ = ^d/_w

• C~ = ^E/_{ln ^2D/d}
• C~ = ^2E/_{ln ^b/a}
• C~ = /_w

• R~ = ²/ R_m
• R~ = ^{R_m (1 + ln 2b/_a)}/
• R~ = ²/_w R_m

• G~ = ^_d/_ln^2D/d
• G~ = - ^{2 _d} /_{ln ^b/a}
• G~ = _d ^w/

• Z₀ = ¹/ ln ^2D/_d
• Z₀ = ¹ /₂ ln ^b/_a
• Z₀ = ¹/ ln ^2D/_d

per linea TEM sono verificati le proprietà:

1. k_l = w√ = w√ = k_r se la linea è senza/con poche perdite
2. z₀ dipende dalla topologia di TL e mezzo
3. le perdite Ohmiche sono proporzionali a R_m e _d

Caso:

circuiti stampati

un tipico esempio è il conduttore a striscia metallica.

per una struttura del genere i parametri primari si ricavano per approssimazione con le formule enunciate.

CASI

1) Linea senza perdite

K_IZ = 0

è un termine di pura fase (angolo reale)

infatti k_IZ = k_IR - β_IZ = 2π/λ_IZ

..=> Θ = k_IZ = β_IZ = 2π/λ_e

2) Carico a corto da circuito: (Z_L = 0)

Z_L = 0 ..=> Z_in (l) = Z₀ 0 + jZ₀ tanh k ₂ l = jZ₀tanh (k₂l)

..su, k₂ l = Z₀ sec k₂ t + 0 ... Z₀ cos k₂ l

..linea senza perdite è tale tipo

Z_in = jX_in con X_IN = Z_L tan (k_EL)

di funzione di Z assume sia valori > 0 (induttivi) che valori < 0 (capacitivo)

passando per poli come ∞ (c.a.) e 0 (c.c.) con periodicità λ_z/2

λ₃, λ₄, λ_z/4

Z

2) Carico a circuito aperto (Z_L = ∞)

Z₀ ... Z_L = ∞ ..=> Z_in (l) = Z₀ ∞ + jZ₀ sin k₂ l =

= -jZ₀ cotg (k₂ l)

Z₀ cos k₂ t(= ∞)

..linea senza perdite Z_in = -jX_im con X_in = -Z_e cotg (k_eL)

λ_n /Z_o

la Z_in assume valori < 0 e da - ∞ a + ∞

passando per 0 come nel caso precedente

se non per il fatto di essere traslato di λ_Z/4

(sfasamento di π/2)

con periodicità λ_Z/2

Un'analisi può essere fatta analizzando delle linee:

Consideriamo per il caso in esame una TL composta da 3 segmenti: TL₁ TL₂ TL₃ lungo d' lunghezza infinita.

Pertanto a ritroso, TL₃ (l = ∞) appare adattato (Z_in3 = Z₀₃ = Z₃)

Può essere vista come un'impedenza di carico su TL₂ (Z = 0)

L₀₂ = L₀₃, Z_in3 = Z₀₃

L₀₁ = L₀₂ + Z_in1 = Z₀₃

Linea a 2 segmenti

Ponendo Z_in2 = Z₀₃ = Z₃

Ricaviamo l'impedenza di ingresso di TL₂ Z_in2 = Z' (z = -d)

• Z'_in2 = Z' (z = -d) = _{z02 cos (k02 d) + j z02 sen (k02 d)} ^{z₀₃ cos ( k₀₂ d) + j z₀₃ sen (k₀₂ d)}
• = _z02 ^z₀₃
• = _{z02 cos (k02 d) - j z02 sen (k02 d)} ^{z₀₃ cos (k₀₂ d) + j z₀₃ sen (k₀₂ d)}

E questa può essere riportata come carico di TL₁ riducendosi a un unico segmento:

⇒ Si può dedurre che se Z_L1 = Z'_in2 = Z₀₁ ⇒ non esisterà riflessione lungo TL₁ e la struttura è adattata.

Questo è possibile solo se TL₂ è un trasformatore quartero d'onda ⇒ d = λ₀₂/4 = _{m λ01} ²

• Z'_in2 = z₂ = z₂ = Z₃ = _{(Zi + m Zi 2)} ^{z₀₁ z₀₄ 2}
• = _{√ (zL m Z03 zL Z02)} ^{z_ITT Z₀₃}

Perché la struttura sia adattata deve essere: z₀ = z′ ⇒ S(z′) = 0 ⇒ quindi z₀₂ deve essere la media geometrica tra z₀₁ e z₀₃.

Infatti, _z02 ² = _{z01 z02} ²