Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 2

affinché il somma sia zero ogni addendo deve essere costante cioè:

¹/_X d²X/dx² + ¹/_Y d²Y/dy² + ¹/_Z d²Z/dz² = ¹/_X d²X/dx² = 0

quindi: d²X/dx² = costante = -k_x²

analogamente lungo y e z:

¹/_Y d²Y/dy² = costante = -k_y² e ¹/_Z d²Z/dz² = -k_z²

dunque si ottiene un'espressione che collega le quantità -k_z² al numero d’onda k²

-k_x² - k_y² - k_z² + k² = 0

k_x² + k_y² + k_z² = k² = j²με ← Condizione di Separabilità

sfruttando questo risultato e considerando il caso monodimensionale

¹/_X d²X/dx² = -k_x² ⇒ d²X/dx² = -k_x²X ⇒ d²X/dx² + k_x²X = 0

la soluzione a questo tipo di equazione si è vista essere:

X(x) = X₀ e^-jk_xx + X₀ e^jk_xx ( K≠0 )

considero per semplicità solo la soluzione che si propaga nella x positiva

X = X₀ e^-jk_xx ( X₀ ≠ 0 )

e così per y e z:

Y(y) = Y₀ e^-jk_yy ∀k_y

Z(z) = Z₀ e^-jk_zz ∀k_z

pertanto la soluzione per f = XYZ diventa

X(x) Y(y) Z(z) = X₀Y₀Z₀ e^-jk_xx e^-jk_yy e^-jk_zz

considerando queste ampiezze descritte E₀ si ha

E(x,y,z) = E₀(X(x))(Y(y))(Z(z)) = E₀ e^{j(k_xx + k_yy + k_zz)}

con k_x + k_y + k_z = k²

prendendo _t = _xx + _yy + _zz

e introducendo

_K = _{Kx xx} + _{Ky yy} + _{Kz zz}

si può scrivere

_K^→ = _{Kx xx} + _{Ky yy} + _{Kz zz} = ^{K2 Z_→}

· inoltre essendo i _ki complessi si possono scrivere come

_Kx = _βx - jα_x

_Ky = _βy - jα_y

_Kz = _βz - jα_z

=>

_K^→ = (_{βx xx} + _{βy yy} + _{βz zz}) - j(α_x x_x + α_y y_y + α_z z_z)_Z→

_αX =

_β^→ =

_β - j α

si può arrivare a una formulazione già vista

_E(z) = _{Eo X(z) Y(z) Z(z)} = _{Eo e^-jK•z} = _{Eo e^{-j(β - jα)} Z} = _{Eo e^Z(z)} = jβ_k→

_Z(z)

_{βxx + j Kz•Z}

PROPRIETÀ DELLA SOLUZIONE:

· la fase dell'onda funzione di x , y , z e t

_ϕ(z) = _βz z_Z

=

_β

un accordo con la definizione di vettore di fase nel caso 3-dimensionali

_β(x,y,z)

_∇ϕ(t) =

_∂ϕ(x,y,z)

_β^-jK

→

_jϕ(t)

_∂x → _α

_jϕ

_∂y → _β

_jϕ

→ _z,x

→ _K→

= _βx x_x + _βy y_y + _{βz Z} = ^K₃ →

_Z→

_βz =

→

→

→

→

direzione cui si ha la minima variazione di fase

_α →

_β̅

le superfici equifase sono dei piani generici perpendicolari a _βZ

\

\, se ho 2 punti P₁ e P₂ generici con fase uguali, il vettore che li collego

_Z→

_jβ e numerico

→

_β

P₁ e P₂ sono un piano perpendicolare alla direzione di _βZ

_E(t) =

Onda Piana

per la Condizione di Separabilità

_x^→_⃗ = (_x^β₂ - _xα² ) (_x^β - _x^α ) - _x^ω₂με - _x^k₂

= _x^ω₂με + j^(_xω_με - j^ωμδ) = √2^β_x^α - α² = β² - α² - j_x^kβ_x^α

Re Im Re

quindi:

β² - α² = ω² με

β²:α = ωμδ

a partire da questo risultato distinguiamo voci con per i quali abbiamo diverse classi di:

₁Onde Piano

1. Mezzi Senza Perdite
2. Onde Piane Uniformi non Attenuate (U-nA PW)

poiché il mezzo non presentua perdite

δ = 0

k = k_R

allora

β²α² = ω² με

β²:α = ωμε = 0 ^{Prendendo β/}_α sempre per un'onda che si propaga

se

deve essere

1. α² = 0 o α = ]^β]

consideriamo il caso di α = 0

l'ampiezza dell'onda e costante

(onda uniforme)

l'onda non 'attenuata perché e^-α2 = 1

quindi per α = 0:

_x^k_⊥ / ^β = ω √με = k

sett di _al propagazione alla phose

il tono di variazione di fase e data dal numero d'onda die miezzo

k

.inoltre

λ = 2π/β = 2π / ω√με = 1 / f √με = n

nf / √με

e

c

che e la velocità della luce nel miezzo

con vel. luce nel miezzo = velocità di fase

λR^⊥ β

e poiché dalle equazioni di Maxwell

∇ · H(t) = ∇ · H₀ e^{−jK · z} = 0

⇒ √K · H₀e^{−jK · z} = 0

ancora una volta, √K · H₀ = 0

(viceversa si può ricavare E(z) noto H(z))

ora distinguiamo i casi:

① Mezzo Senza Perdite

per un'onda piana uniforme - non attenuata (no perdite)

~U=H a P(k): si ha √K = k β̂₀

⇒ √K · E₀ = k β̂₀ · (E_0x + jE_0y) = 0

⇒ β̂₀ · E₀ ≠ 0

allora essendo α = 0

{ β₀ · E_0x = 0

{ β₀ · E_0y = 0

{ β₀ ∐ E_0x

{ β₀ ∴ E_0y

⇒ il piano di polarizzazione è perpendicolare alla direzione di propagazione

Campo Elettrico trasversale

(Onda TE)

per il Campo Magnetico:

H₀ · E₀ = kβ₀ × E₀ = |w|με β_x × E_x + jE_0y = β_x × (E_0x + jE_0y)

= ^E/_sqrtμε μ

⇒ H₀ = β̂₀ × E₀ = (1/s) ( β̂₀ × E_0x + β̂₀ × E_0y ) = H_0x + j H_0y

con

{H_0x ≈ ¹/_sqrt β̂₀ × E_0x}

{H_0y ≈ ¹/_sqrt β̂₀ × E_0y}

→ abbiamo visto che β̂₀ ∐ E_0x e β̂₀ ∐ E_0y, in base alle regole del prodotto vettoriale

{H_0x β̂_0x E_0x}

{H_0y β̂_0y E_0x}

⇒ il Campo Magnetico è trasversale a β̂₀

(Onda TM)

Se un’onda è sia TM che TE ⇒ è TEM (trasversa elettromagnetica)

e H₀, E₀ ∐ &&& sono una terna triretangola destra, e vale

ê × Ĥ₀ · β̂₀