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Espressione delle equazioni differenziali per la somma zero

Affinché la somma sia zero, ogni addendo deve essere costante, cioè:

1/X d2X/dx2 + 1/Y d2Y/dy2 + 1/Z d2Z/dz2 = d/dx2 d1/X dX/dx2 = 0

Costanti lungo gli assi

Quindi:

1/X d2X/dx2 = costante = -kx2

Analogamente lungo y e z:

1/Y d2Y/dy2 = costante = -ky2 e 1/Z d2Z/dz2 = -kz2

Espressione finale

Dunque si ottiene un'espressione che collega le quantità -kx2 al numero d'onda k2:

-kx2 - ky2 - kz2 + k2 = 0

kx2 + ky2 + kz2 = k2 = ω2με

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