Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 1

Campi elettromagnetici

Equazioni di Maxwell nei materiali e nel vuoto

∇ ⋅ = ρ ∇ ⋅ = 0 ∇ × = - ∂/∂t ∇ × = ∂/∂tcg. scalari (sorgenti di ed )cg. vettoriali (vortici di ed )

Inoltre μ₀ ε₀ = 1/c² ⇔ e = 1/√(μ₀ ε₀) = 3.10⁸ m/s

Nelle 4 equazioni sono coinvolti 5 grandezze vettoriali: , , , , e 1 scalare ρ.

- Una quinta equazione fondamentale esiste ma è ricavabile dal set delle 4 equazioni di Maxwell: ∇ ⋅ = - ∂ρ/∂t (Equazione di Continuità)

Si può ricavare dalla IV equazione di Maxwell facendo la divergenza: ∇ ⋅ (∇ × ) = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ∂/∂t ⇒ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ∂/∂t = 0

Fa 0 ⇒ per il teorema di Schwarz porta ∇ ⋅ estrae la ∂/∂t ∇ ⋅ + ∂/∂t (∇ ⋅ ) = 0

Dalla I equazione ∇ ⋅ = ρ ∇ ⋅ + ∂ρ/∂t = 0 ⇒ ∇ ⋅ = - ∂ρ/∂t

Principio di dualità

In ambito ingegneristico, al fine di risolvere alcuni problemi, è molto utile introdurre delle entità fittizie quali il monopolo elettrico realmente esistente:

• Carica magnetica
• Densità di carica magnetica (ρₘ)
• Densità di corrente magnetica (ₘ)

Ottenendo un nuovo set di equazioni di Maxwell:

• ∇ ⋅ = ρₘ
• ∇ × = - ₘ - ∂/∂t
• ∇ ⋅ = ρ
• ∇ × = + ∂/∂t
• ∇ ⋅ ₘ = - ∂ρₘ/∂t

Weber su m³

Campi elettromagnetici

Equazioni di Maxwell in materiali e nel vuoto

∇・D = ρ ∇・E = ρ / ε_o ∇・B = 0 ∇xE = -∂B/∂t ∇xH = J + ∂D/∂t ∇xB = μ_oJ + μ_oε_o∂E/∂t

Inoltre μ_oε_o = 1/c² ⇔ c = 1/√(μ_oε_o) ≈ 3・10⁸ m/s

Nelle 4 equazioni sono coinvolti 5 grandezze vettoriali: E, B, D, H, J e 1 scalare ρ.

Una quinta equazione fondamentale esiste ma è ricavabile dal set delle 4 equazioni di Maxwell: ∇・J = -∂ρ/∂t (Equazioni di Continuità)

Si può ricavare dalla IV equazione di Maxwell facendo la divergenza: ∇・(∇xH) = ∇・J + ∇・∂D/∂t ⇒ ∇・J + ∂/∂t ∇・D = 0

βα 0 ⇒ per il teorema di Schwarz porta ∇・ esterna la ∂/∂t ∇・J + ∂/∂t (∇・D) = 0

Dalla I equazione ∇・D = ρ ⇒ ∇・J + ∂ρ/∂t = 0 ⇒ ∇・J = -∂ρ/∂t

Principio di dualità

In ambito ingegneristico, al fine di risolvere alcuni problemi, è molto utile introdurre delle entità fittizie quali il doppione elettrico realmente esistente:

• Carica magnetica
• Densità di carica magnetica (ρ_m)
• Densità di corrente magnetica (J_m)

Ottenendo un nuovo set di equazioni di Maxwell:

• ∇・D = ρ
• ∇xE = -J_m - ∂B/∂t
• ∇・B = ρ_m
• ∇xH = J + ∂D/∂t
• ∇・J_m = -∂ρ_m/∂t

Weber/m³

Si osserva che facendo le seguenti sostituzioni:

1. D > B₁, E > H, φ > I_m, ϕ > I_m
2. B₂ > D, H > E, I_m > ϕ, I_m > ϕ

Il sistema commuta su se stesso.

Grandezze impresse e indotte

Le grandezze impresse sono i termini noti del problema mentre le grandezze indotte sono quelle incognite conseguenti da quelle impresse.

Tenendo conto di ciò e ricordando che non esistono grandezze indotte di quella attuali (potenziali non reali) ma solo impresse, le equazioni di Maxwell diventano:

V • D = ϱ_i + ϱ
V • B = ϱ_ui
V x E = - j_m - ∂B/∂t
V x H = d_oi + f + ∂D/∂t
V • (d_i + j) = ∂(ϱ_i + ϱ)/∂t
V • o_m = ∂ϱ_m/∂t

Fasori

In regime armonico le grandezze in questione si possono riscrivere in funzione dei fasori conosciuti:

Se v(t) = V̂cos (ωt + ϕ_v) => v(t) = V̂R_e{e^{j(ωt + ϕ_v)}} = V̂R_e{e^jωte^jϕ_v} ==> U(t) = R