Appunti di Campi elettromagnetici - Parte 1

Campi Elettromagnetici

Equazioni di Maxwell nei materiali e nel vuoto

• ∇·Φ = ρ
• ∇·E = ρ/ε
• ∇·B = 0
• ∇×E = -∂B/∂t
• ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t

Inoltre, μ₀ = 1/ε₀c² ⇔ c = 3 x 10⁸ m/s nelle 4 equazioni sono coinvolte 5 grandezze vettoriali: E, B, D, H, J e 1 scalare ρ

Una quinta equazione fondamentale esiste ma è ricavabile dal set delle equazioni di Maxwell:

• ∇·J = -∂ρ/∂t (Equazione di Continuità)

Si può ricavare dalla IV equazione di Maxwell facendo la divergenza: ∇·(∇×B) = μ₀ ∇·J + ∇·(ε₀ ∂E/∂t ) => ∇·J + ∂ρ/∂t = 0 (per il teorema di Schwarz porta da ∂/∂t) ∇·J + ∂/∂t (ε₀ ∇·E) = 0 dalla I equazione ∇·E = ρ => ∇·J + ∂ρ/∂t = 0 => ∇·J = -∂ρ/∂t

Principio di Dualità

In ambito magnetostatico, al fine di risolvere alcuni problemi, è molto utile introdurre altre entità fisiche quali il generatore elettrico realmente esistente:

• Forza magnetica
• Densità di forza magnetica (f_m)
• Densità di corrente magnetica (J_m)

ottenendo un nuovo set di equazioni di Maxwell:

• ∇·ρ_m = 0
• ∇×E = -∂B/∂t
• ∇·J = -∂ρ/∂t
• ∇×B = J + ε₀ ∂E/∂t
• ∇·J_m = -∂ρ_m/∂t

e si osserva che facendo le seguenti sostituzioni

1. D ➔ , ➔ , _m ➔ _m oppure
2. ➔ −, ➔ −, _m ➔ , _m ➔

il sistema commuta in se stesso

GRANDEZZE IMPRESSE E INDOTTE

Le grandezze impresse sono i termini noti del problema mentre le grandezze indotte sono quelle incognite conseguenze di quelle impresse.

Tenendo conto di ciò consideriamo che non esistono grandezze indotte di quelle attuali (ossia non reali) ma solo impresse e le equazioni di Maxwell diventano:

Impressa

• ⋅ = ρ_i + ρ
• × = − ∂ / ∂
• × = + + ∂ / ∂
• ⋅ (_i + ) = 0 _i +
• ⋅ ∂ = ∂_m / ∂

FASORI

In regime armonico le grandezze in questione si possono riscrivere in funzione dei fasori evocabita:

se () = cos ( + _v) => () = V̂R_i e^j(ωt+φi) = V̂R_i e^jωt e^−φi

=> () = V̂ / R_k V e^jωt−φi => R_i | V e^jωt

dove = V_v e^jφv e il fasore di ().

Vettore Complesso

Quando si studiano le grandezze f=E:M => si ha a che fare con quantità vettoriali.

Se in campo scalare si usavano i fasori, nel caso vettoriale si usano dei fasori di natura vettoriale (Vettore Complesso)

Se ho un vettore armonico A(t) a frequenza che varia con legge osserverò: cos(wt + ) e prendo un riferimento cartesiano Oxyz posso scrivere:

A(t) = A_x(t) é_x + A_y(t) â_y + A_z â_z

questo tipo di studio è detto: Elettrodinamica dei Mezzi Continui

Si considera il mezzo come un sistema Input/Output dinamico

E ➔ Effetto

H ➔

Per E ed H assegnati si può osservare come si comporta il materiale

possono stabilire

Per risolvere le equazioni di Maxwell c'è bisogno di informazioni aggiuntive ➔ le Relazioni Costitutive di materiali (CRs)

1. NEL VUOTO:

• D = ε₀E
• B = μ₀H
• J = σE
• Φ = 0

non conduttivo

presente

nel vuoto

2. IN UN MEZZO IDEALE:

• D = εE
• B = μH
• J = 0E

perché assumendo che le CRs siano semplicemente

suscettività elettrica

suscettività magnetica

allora

D = ε₀E + Φ = ε₀(1 + χ_e)E = ε_rε₀E = ε_cε_tE = εE

un mezzo ideale e semplice avrà i parametri costitutivi (CPs) ε, μ, σ che sono ugualmente costanti

N.B.

ε = E_m

μ = m

sistema m

(ε_r = ) è un numero puro

(μ_r = )

la cosa più conveniente è analizzare il fenomeno in frequenza

=> per il Teorema di Convoluzione

D(z,ω) = ε(ω)E(z,ω)

dove _-∞^+∞ E(iω) = _-∞^+∞ E(t)e^-jωt dt

=> il mezzo si comporta in modo differente in base alla frequenza dell'onda che lo investe

7. Spatial Non-dispersivity

Un materiale è SND quando l'effetto della causa è solo nel punto di osservazione

- un mezzo non-SND sarà anche dispersivo temporalmente semplice (non è vero il contrario)

ed avrà una CR del tipo:

D(z,t) = _-∞^t∫∫ d(z-ζ,t-τ) E(ζ,τ) dζ dτ

- In generale, per un mezzo solo MC e l, si ha:

D(z,t) = _-∞^t∫∫∫ ε(z,ζ,t-τ) ⋅ E(ζ,τ) dζ dτ

Dielettrica e Permittività Complessa

Polarizzabilità Dielettrica:

la polarizzazione nei dielettrici è causata da un campo esterno

che fa sì che si generino dei momenti di dipolo elementari

p = α E_loc = campo elettrico locale, che agisce sulla singola particella

in generale E_loc è diverso dal campo E misurato sull'intero mezzo

e la differenza è maggiore quanto più è duro il materiale

nell'espressione p = α E_loc

α = la polarizzabilità [^{C m}/_V]

(il grado di propensione a generare un momento di dipolo)

Conducibilità e Permittività Complessa

Considero un mezzo dove scorrono una corrente...

...dove si possono distinguere

• Buoni Dielettrici (Isolanti): se d >> dd o wE >> 0
• Buoni Conduttori: se d >> dd o d >> wE

questi 2 contributi possono essere uniti:

ec = E - j d / w

contiene i comportamenti dielettrici e conduttivi del mezzo

perciò jwec = jwe...

...momento delle cariche legato alla polarizzazione (wXe')

Condizioni al Contorno

Il problema elettromagnetico si formalizzano attraverso equazioni differenziali e definite condizioni al contorno (BVP - Boundary Value Problem).

Rado*ame fornise 3 condizioni da soddisfare per avere un modello ben posto:

• esiste almeno 1 soluzione
• la soluzione é unica
• la soluzione é stabile (il suo comportamento é continuo e non presenta brusche variazioni)

In piú é utile conoscere:

• la regione del problema
• la natura delle equazioni
• le condizioni al contorno associate

DISTRIBUZIONI DI CARICHE E CORRENTI

Densitá volumetrica di carica ρ in termini di:

• densitá superficiale: _ρ(x,y,z) = _ρS(x,y) δ(z-z') C/m²
• densitá lineare: _ρ(x,y,z) = _ρL(z) δ(x-x') δ(y-y') C/m
• carica puntiforme: ρ = q δ(x-x') δ(y-y') δ(z-z') = q δ(z-t) C

• ∫ ρdc = ∫ q δ(x-x') δ(y-y') δ(z-z') = q δ(t-t')

Densitá di corrente volumetrica J in termini di:

• densitá di corrente superficiale: _J(x,y,z) = _JS(x,y) δ(z-z') A/m
• densitá di corrente lineare: _J(x,y,z) = _IL(z) δ(x-x') δ(y-y') ^δ₀ A
• eccentric puntiforme (dipolare): _J(x,y,z) = I dz δ(x-x') δ(y-y') δ(z-z') _Z0

_{lunghezza e sezione trascurabile}

_{se integrata sulla superficie mi dá la corrente:}

• ∫ _S⋅n dS = ∫ δ(x-x') δ(y-y') ^δ_{0 Z0} dS = I