Appunti di Aerodinamica e gestione termica del veicolo - 2023/2024

Aerodinamica e gestione termica del veicolo

Stalio - Cimarelli

L’ipotesi del continuo

Nell'ambito dell'aerodinamica, l'ipotesi del continuo è un principio che si applica all'aria. Essa è composta da un insieme di molecole (azoto, ossigeno e altri gas) che si muovono nel vuoto in modo disordinato.

Tale moto caotico delle particelle (presentano un diametro dell’ordine del micrometro) è definito moto browniano’. Periodicamente, quando le molecole presentano dei vettori velocità diretti l’uno verso l’altro, collidono tra loro.

La distanza tra le molecole è definita cammino libero medio, , e rappresenta il percorso 0 che una molecola compie prima di entrare in collisione con un’altra. Questa dipende soprattutto dalla 10 . temperatura: ad esempio, in condizioni di temperatura ambiente, vale circa.

Ora, dato che la fluidodinamica utilizza funzioni matematiche continue, il problema riguardante la definizione di alcuni concetti di base non è banale, in quanto questo richiede la necessità che queste debbano essere necessariamente delle funzioni continue in ciascun punto del dominio e per ciascun istante di tempo. ⃗ = (, , ).

Consideriamo un sistema di riferimento e un vettore posizione. Volendo, dunque, definire, ad esempio, la densità, è necessaria una funzione valida in ogni punto. Per via della struttura ⃗ dell’aria, questo può risultare complicato.

Infatti, in un generico punto e in un certo istante di tempo statisticamente, potrebbero essere presenti o meno delle molecole. In questo contesto, la densità assumerebbe valori compresi tra zero e infinito (più precisamente assume valori grandi tendenti ad infinito). Dal punto di vista matematico, = = → ∞. essendo, inoltre, che il punto ha volume nullo: allora 0.

Per tale ragione, si preferisce definire la densità come una quantità media spaziale: non si considera un singolo punto una quantità più estesa. In questo modo, la densità è definita come una ⃗ media calcolata in una sfera di raggio centrata nel punto . Pertanto, in questo nuovo ⃗ contesto, si definisce come il rapporto tra la massa della sfera centrata in e il volume ⃗ della sfera centrata nel medesimo punto .

Il raggio della sfera dovrà essere maggiore = 10 ) del valore del cammino libero medio (a temperatura ambiente per evitare effetti 0 0 microscopici, in quanto, statisticamente, potrebbe dipendere dall’istante in cui viene effettuata la misura. > 10 ≍ 100 . Tipicamente, per tale ragione, si considera. D’altro canto, valori di eccessivamente 0 elevati generare effetti macroscopici non desiderati.

Si definisce, conseguentemente, il seguente grafico che rappresenta l’andamento della densità al variare del = (). raggio della sfera. La densità, quando il raggio della 100 , sfera è inferiore ai dipende dal numero di particelle che si trovano al suo interno e quindi si trova in una condizione instabile.

> 100 , Per la densità rimane costante: corrisponde alla ≫ 100 , densità del centro della sfera. Per la densità potrebbe aumentare a causa di un calo della temperatura o diminuire a causa di un aumento della temperatura: la sfera diventa così grande da essere soggetta agli effetti macroscopici.

L’ipotesi del continuo, dunque, afferma che, dal punto di vista della fluidodinamica, è possibile pensare al fluido come una quantità continua definita tramite funzioni continue. Questo implica, dunque, che le proprietà intensive del fluido come densità, temperatura, pressione, velocità, sono a sua volta definite tramite funzioni continue ritenute però con valori medi in quanto calcolate in una sfera centrata in un generico punto, il cui raggio non deve essere né troppo piccolo né troppo grande.

Infatti, esso è scelto in funzione tale che sia di molto maggiore del cammino libero medio delle molecole e molto più piccolo 0, ≪ ≪ . rispetto alle lunghezze caratteristiche del fenomeno cioè.

Proprietà dei fluidi

Lo studio dell’aerodinamica richiede la conoscenza di alcuni concetti di base. , = (, ).

La densità, in generale, varia in maniera significativa con la pressione e la temperatura. Il = , = 17° = 101 325 Pa. valore tipico di densità per l’aria è quando e.

L’andamento della ′ () < 0 densità al variare della temperatura è decrescente: infatti si ha che ovvero che la densità ′′ () > 0 decresce al crescere della temperatura e che rappresenta la concavità. Graficandolo: ,

La viscosità cinematica, in generale, è indipendente dalla pressione ma varia con la temperatura. Il valore − = × = 17° = 101 325 Pa. tipico di viscosità cinematica per l’aria è quando e.

L’andamento della densità al variare della temperatura dipende dalla natura del fluido. Nel caso di liquidi, infatti, tende a calare all’aumentare della temperatura in quanto la struttura reticolare è labile: con l'aumentare della temperatura, le molecole tendono a disperdersi e di conseguenza il legame tra sforzi e deformazioni si indebolisce.

Nel caso di un aeriforme tende a crescere all’aumentare della temperatura: l'aumento della temperatura comporta un aumento dell'intensità dell'energia cinetica del moto browniano delle molecole che implica un incremento delle collisioni e interazioni. = .

La viscosità dinamica è definita come il prodotto tra la densità e la viscosità cinematica. Questa, come la viscosità cinematica, in generale, è indipendente dalla pressione ma varia con la temperatura. Il − = × ⋅ = 17° = 101 325 Pa. valore tipico di viscosità dinamica per l’aria è quando e.

Mentre, di solito, per i liquidi la viscosità dinamica e cinematica seguono la stessa tendenza con l'aumentare della temperatura, per i gas questa relazione può risultare più complessa e dipendere da vari fattori.

Cinematica dei fluidi

Analizziamo la cinematica dei fluidi, ovvero studiamo il moto dei fluidi senza considerare le forze che lo hanno causato.

Definizione di particella fluida e di elemento materiale

Una particella materiale (anche detta particella fluida) è un agglomerato di materia con forma non definita e formato sempre dalle stesse molecole. Dunque, una particella fluida è una massa fluida che si muove alla velocità locale del fluido mantenendo la sua identità, la quale è stata acquisita per via delle molecole.

Perciò, nonostante la forma vari nel tempo, una particella fluida risulta essere composta dalle stesse (, , ), molecole iniziali. Dato, ad esempio, un flusso tridimensionale in un sistema una particella materiale all’istante sarà caratterizzata da una certa forma e da 0 + un certo numero di molecole. All’istante successivo 0 presenterà una forma differente, ma sarà comunque caratterizzata dallo stesso numero di particelle.

Un elemento materiale è una piccola regione di fluido, che si sposta nel fluido circostante, ed è caratterizzata da una forma ben definita. Anche esso è composto dalle stesse particelle iniziali e finali. Dato un certo flusso (, , ), tridimensionale in un sistema l’elemento materiale presenterà una forma ben definita nell’istante iniziale. All’istante , 0 + esso sarà formato da un certo numero di particelle, mentre nell’istante successivo si sarà evoluto 0 mantenendo lo stesso numero di particelle.

Principio di reciprocità aerodinamica

Il principio di reciprocità aerodinamica è associato ad un’osservazione di Leonardo da Vinci. Fu uno dei primi a condurre studi approfonditi sul volo degli uccelli, osservando attentamente le loro ali e piume per comprendere i principi aerodinamici che consentivano loro di volare.

Leonardo notò che gli uccelli battono le ali non per generare portanza e dunque per sostenersi in aria, bensì per ottenere spinta, ovvero per muoversi in avanti. La portanza è, invece, generata dalle ali stesse permettendo così agli uccelli di rimanere in volo. Quindi, le ali sono responsabili della portanza, mentre il loro battito funge da motore.

Dedusse, inoltre, che le forze che agiscono tra le ali e l'aria quando un uccello è fermo nel vento sono le stesse di quelle che sono presenti quando l'uccello si muove attraverso l'aria immobile. Questo costituisce il principio di reciprocità aerodinamica, il quale afferma che lo studio dell'aerodinamica può essere condotto da due prospettive differenti: sia osservando l'aria ferma sia quella in movimento.

Il principio stabilisce che, mantenendo costanti le condizioni, è possibile ottenere gli stessi risultati da entrambi i punti di vista. Questo può essere sperimentato in una galleria del vento, che rappresenta l’ambiente ideale per tali studi.

Seconda legge di Newton

La seconda legge di Newton afferma che dato un corpo puntiforme, cioè con estensione molto piccola di, una massa misurabile allora la derivata nel tempo della quantità di moto di tale corpo è pari alla somma (̅ ) = di tutte le forze applicate su di esso, cioè: . Estendendo tale legge per corpi di massa finita, la = seconda legge di Newton è definita come: .

Allora, la somma delle forze applicate al corpo di massa è pari al prodotto della sua massa per la sua accelerazione.

Applichiamo tale equazione ad un caso della fluidodinamica. Consideriamo un profilo piatto di velocità che investe un corpo tozzo, come ad esempio un cilindro. Le linee di corrente, per via della presenza del corpo, saranno deviate. Supponiamo che il flusso sia laminare e sia di tipo stazionario, cioè che non ci sia dipendenza dal ∗ = 0. tempo tale per cui la derivata locale.

Utilizzando un anemometro (strumento di misura utilizzato per la misurazione della velocità del vento), si evince che la velocità di un generico punto che si trova vicino al cilindro, essendo regime stazionario, istante ̅ ̅ = ̅ ̅ = per istante, rimane sempre la stessa. Applicando la seconda legge di Newton con . Dato che la velocità è costante, l’accelerazione è nulla.

Dunque, potremmo concludere che le forze applicate su una particella che passa per quel punto sono nulle. Ma questo, in realtà, non è possibile in quanto le particelle in quel punto sono deviate dal corpo.

L’errore nasce dal fatto che nella definizione della seconda legge di Newton viene in realtà considerata la derivata materiale (derivata ottenuta seguendo la particella materiale) mentre in questo caso si è sfruttata una derivata locale (derivata nel tempo in un punto fisso). Dunque, in condizioni stazionarie, scelto un punto qualsiasi, la variazione nel tempo della misura della velocità, tenendo fisso l’anemometro, è nulla.

D’altra parte, la legge di Newton afferma che bisogna inseguire la particella materiale per avere una derivata il cui valore sia legato alla forza applicata su di essa: la seconda legge di Newton è in disaccordo con l’ipotesi di stazionarietà, che può essere applicata solo localmente. Per risolvere questo conflitto si fa riferimento a due punti di vista: il punto di vista spaziale e il punto di vista referenziale.

Descrizione spaziale

La descrizione spaziale concentra l’attenzione su una determinata regione dello spazio assumendo, dato ⃗ (, , ) . uno spazio tridimensionale, come variabili indipendenti la posizione spaziale e il tempo.

Secondo tale descrizione, quindi, il valore della velocità è dato dalla lettura di uno strumento ideale con il quale un osservatore misura la velocità del fluido come una funzione del tempo in un determinato punto dello spazio. Dunque, considerando il punto di vista spaziale, è possibile associare, ad esempio, a ogni (⃗(, , , ) = , ) posizione dello spazio un certo valore di velocità, cioè dove si indica prima la dipendenza dalla posizione e poi dal tempo.

Questa coincide con la velocità locale del fluido: la sua derivata temporale non è l’accelerazione della particella materiale che può essere utilizzata nell’equazione di Newton.

Descrizione referenziale

La descrizione referenziale riferisce il moto del fluido ad una configurazione, e dunque posizione, di riferimento. Infatti, la posizione di una certa particella al tempo nel sistema di riferimento referenziale è caratterizzata dall’istante di tempo in cui viene effettuata l’osservazione e dal vettore che rappresenta ∗ ∗ (, )⃗ = l’identità della particella nello spazio, , all’istante di riferimento ovvero dove si ha che 0 ∗ ( ). = , il vettore che determina l’identità della particella è Per la descrizione referenziale, quindi, la 0 0 0, posizione di una particella materiale in un generico istante non è più una variabile indipendente ma diventa una variabile dipendente definita come una funzione del tempo e di una coordinata di riferimento.

Tale coordinata di riferimento, oltre a identificare la posizione di una determinata particella materiale in un istante di riferimento , identifica la particella stessa. 0

∗ La velocità misurata al tempo tiene conto della posizione iniziale della particella . In questo modo si 0 individuano le variazioni di velocità che ha avuto la particella identificata con lungo tutto il movimento da 0 ∗ ∗ , = (, ). a ovvero si ha che. Per definizione, la particella materiale si muove alla stessa velocità 0 0 ∗ (, ) 0 del fluido, che è ovviamente definita come la derivata temporale della posizione, ovvero .

Dunque, mentre dal punto di vista spaziale per il vettore velocità prima di tutto si individua il vettore posizione (posizione fissa) e poi si pone l’istante del tempo, dal punto di vista referenziale si identifica anzitutto una particella (posizione variabile) mediante la sua posizione iniziale e successivamente si 0 misura la velocità di tale particella nelle altre posizioni occupate negli istanti successivi.

Derivata materiale

L’obiettivo a questo punto è quello di ottenere l’accelerazione da utilizzare nella seconda legge di Newton. Per farlo, conciliamo le due descrizioni: possiamo pensare di scrivere la velocità della descrizione spaziale in funzione della posizione della descrizione referenziale.

Infatti, se la posizione del punto nella descrizione spaziale coincide con la posizione in quell’istante di tempo della particella nella descrizione referenziale, allora le due velocità coincidono. Vale dunque: ∗ ∗ (, ) ( (, ), = ̅ ) 0 0 ∗ (, ),

Perciò, data una particella nel sistema di riferimento referenziale allora la derivata nel tempo di 0 tale posizione nel riferimento referenziale è pari alla velocità locale del fluido valutato nel sistema spaziale in quanto la particella si muove con il fluido.

Inoltre, dato che supponiamo di scrivere la velocità della ∗ ((, ), ̅ ) descrizione spaziale in funzione della posizione nella descrizione referenziale, abbiamo in 0 quanto bisogna mantenere la forma della descrizione spaziale (prima la posizione e dopo il tempo) scegliendo però la posizione corretta della particella.

A questo punto, l’accelerazione definita inseguendo la particella, cioè nel sistema di riferimento di tipo ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (), = , , referenziale, è pari a: . Nonostante il vettore velocità sia formato da tre componenti analizziamo, per semplicità, solo la prima componente.

Dunque, definiamo la derivata di un vettore ma soffermandoci solo sulla derivata della prima componente. Quindi, scrivendo la derivata nel tempo della ∗ (, ). prima componente della velocità vista da un punto di vista referenziale, avremmo. Tale quantità 0 deve essere uguale alla derivata nel tempo della velocità locale del fluido quando la velocità è calcolata ∗ ∗ (, ) (, ), = ( ). nella posizione e al tempo corretto: Il secondo membro è una derivata di 0 0 una funzione composta in quanto dipende dal tempo in modo diretto e in modo indiretto attraverso il vettore posizione e di conseguenza diventa: ∗ ∗ (, ) (, ), = ( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 0