Appunti corso di Statistica

STATISTICA

Appunti

Prof. Settanni

Operazioni per trasformare le proprietà in variabili

1. classificazione = es. regione di nascita, le regioni italiane rappresentano i sottoinsiemi

esaustività e esclusività = collocazione certa in regione di appartenenza e inclusione esclusiva in

una regione ( perché se sono nato in una certa regione, sarò inclusa esclusivamente in quella

regione )

2. ordinamento = partizione in sottoinsieme del dominio di una proprietà es. titolo di studio: 2

individui con diploma saranno equivalenti, chi ha conseguito la laurea avrà un livello maggiore

rispetto ai due diplomati

3. misurazione = avendo un’unità di misura possiamo confrontare con essa i nostri oggetti di

studio e rapportare i nostri casi all’unità di misura es. misurare l’altezza degli individui

4. conteggio = es. numero di libri letti in un mese

queste operazioni potranno essere applicate a proprietà diverse per trasformarle in variabili.

Misurazione : dal sistema empirico al sistema numerico

Rappresentare il mondo dei fatti, degli eventi, degli individui nel mondo dei numeri.

es. proprietà professione : dividere gli individui in base alla professione classi di equivalenza

à

classi di equivalenza : individui posti nella stessa classe identici rispetto alla proprietà

considerata. Sempre per quanto riguarda la professione ad esempio, le classi devono

rappresentare più professioni possibili e chi è nella classe di equivalenza “insegnanti della scuola

primaria” tutti quelli all’interno saranno identici per professione.

1) tra le classi di equivalenza delle entità studiate esistono delle relazioni es. colore dei capelli: gli

individui hanno i capelli castani, biondi o rossi nel sistema empirico devono esserci delle

à

relazioni tra queste classi di equivalenza ( biondo, castano rosso ) es. di relazione equivalenza

e non equivalenza ( chi ha i capelli castani è uguale all’individuo che ha i capelli castani, ma

diverso da chi ha capelli biondi ).

Quando passiamo dal sistema empirico al sistema numerico per misurare, si assegnano i numeri

alle classi di equivalenza e i numeri devono mantenere le relazioni osservate nel sistema empirico

: es. persona bionda = numero 1, castana = 2, rossa = 3

questi numeri mantengono le relazioni di equivalenza e non equivalenza perché 2 persone bionde

appartengono al numero 1, e saranno diverse dal numero 2.

cosa facciamo con questi numeri ? non possiamo utilizzarli come numeri reali ( es. non possiamo

fare 2 + 3, perché hanno un valore diverso al numero reale )

Sistema empirico funzione ( f ) sistema numerico

à à

Il sistema numerico è funzione del sistema empirico.

f’ = f primo

Lucrezia Saia

f’ = T(f) trasformazione di f / nel caso dell’esempio sulle slide f è stata sottoposta a potenza di 2

à

L’importante non è il numero assegnato ma la relazione che c’è tra classi di equivalenza

es. licenza media, diploma e laurea

aspetti convenzionali di una scala ?????

trasformazione ammissibile permette di passare da un sistema numerico all’altro

Stevens psicologo e studioso attivo nella prima metà dello scorso secolo, ha sviluppato la

classificazione dei livelli di misurazione delle scale di misura. Ciò è stata una risposta alle critiche

di scientificità sulla psicologia.

Questa classificazione permette di avere fondamenti scientifici alla psicologia.

Variabili ad intervalli = scala di intervalli ( libro )

Variabili di rapporti = scala di rapporti ( libro )

scala nominale transcodifica o corrispondenza

• La trasformazione ammissibile per la è la

y’ = t(y) variabile categoriale

biunivoca ( sostituzione di codici )

Nella tabella: i e j sono individui

e = corrispondenza di i e j nel sistema numerico

! "

= y’i = y’j perché nella trasformazione si deve mantenere la relazione equivalente

à

! "

nella tabella i numeri sono scelti in modo arbitrario, casuale, basta che la relazione tra classi di

equivalenza ( relazioni equivalenti e non equivalenti ) sia mantenuta.

scala ordinale trasformazione monotona strettamente

• La trasformazione ammissibile per la è la

y’ = m(y) .

crescente ( isotonica ) Nessuna unità di misura e non si può ragionare su distanze.

L’elemento che non cambia è l’ordine.

Scala ad intervalli – variabile cardinale

• es. scala della temperatura celsius e Fahreneit = 0° =

32 gradi Fahreneit

Se ieri c’erano 5 gradi e oggi 10 gradi non possiamo dire che oggi c’è il doppio della temperatura

di ieri perché usiamo una scala di temperatura:

oggi 50 gradi F. mentre ieri 41 gradi F. ecco perché non si può dire che la temperatura di 10°

à

sono il doppio di temperatura di 5° perché se avessi usato la scala F. il rapporto di relazione non

sarebbe stata la stessa cosa perché

5° = 41 F.

10° = 50 F.

nella scala F. 5° non corrispondono al suo doppio ( 10° ) perché 41F. non è il doppio di 50F.

Si parla in termini di temperatura, non di gradi.

Possiamo dire che 10 gradi sono il doppio di 5 gradi, ma non posso dire che la temperatura di ieri

( 5° ) oggi ( 10° ) è raddoppiata, perché se parlo di temperatura potrei parlare anche di gradi

Fahreneit e questa corrispondenza non vale.

Lo zero è fissato arbitrariamente, come nelle scale di temperatura.

In campo psicologico: test e attribuzione di numeri es. nel test d’intelligenza ( QI ) non è possibile

capire cosa significa lo zero, il quale è arbitrario quindi non è possibile lavorare sui rapporti tra le

misure

Nelle slide quindi Sergio non ha il doppio della proprietà che ha Carla poiché è possibile spostare

lo 0 dato che lo abbiamo fissato arbitrariamente e il rapporto tra Sergio e Carla cambierebbe. Si

può dire che tra Carla e Sergio c’è una distanza pari a 5 punti che è la stessa tra Carla e Marco.

trasformazione lineare o affine =

Per passare da scala Celsius a Fahrenheit si usa una

moltiplicazione per una costante positiva e somma di una costante.

Lucrezia Saia

La proprietà è la stessa ( temperatura ) ma possiamo usare scale differenti che ci permettono

comunque di ragionare sulle differenze di temperatura e sui loro rapporti.

Esempio tabella sintomi depressivi

Quanto spesso di capita di piangere durante la giornata?

I numeri devono mantenere una crescita diciamo e un ordine:

0 = mai, 1 = raramente ….. 10 = sempre y’ = my + a ( m > 0 )

1° trasformazione ammissibile - lineare = Sia unità di misura che origine

convenzionale.

m = 10; a = 0 ( 10 x 0 ) + 0 = 0 Marco

à

Francesca ( 10 x 1 ) + 0 = 10

à

ecc. ecc.

2° trasformazione ammissibile - stardardizzazione ( sempre t. lineare )

La scala ad intervalli deve comunque avere un’unità di misura anche se arbitraria

Scala razionale o di rapporti – variabile cardinale

•

zero assoluto, non arbitrario quindi posso dire che 10 kg sono il doppio di 5 kg ( es. peso )

à

posso anche dire es. che una persona che ha 20 anni ne ha il doppio rispetto ad un bambino di

10 perché il giorno della nascita entrambi avevano 0 anni.

tempi di reazione

Nei test es. una persona ha risposto in 20 secondi, il doppio rispetto all’altra

à

che ce ne ha messi 10 ( tempo, ha lo zero assoluto )

Nel peso può cambiare l’unità di misura ( kg, libre ecc ecc ) ma in tutte le unità di misura rispetto

al peso, lo zero rappresenterà sempre l’assenza di peso. y’ = my m > 0

Trasformazione ammissibile = trasformazione di similarità = moltiplicazione per

una costante positiva.

a.

Manca la

es. l’età, la durata di un sintomo

• Scala assoluta – variabile cardinale non di Stevens

esiste uno zero che corrisponde a conteggio zero ed esiste un numero di unità che non può

essere trasformato.

Lo zero non è convenzionale ( arbitrario ) e nemmeno l’unità di misura. Lo zero è assoluto.

Se leggi 1 libro, non può essere trasformato questo numero perché sarà sempre e solo 1 libro.

Non posso moltiplicarlo per qualcosa, perché non avrebbe senso, quindi

y’ = y identica

Trasformazione ammissibile: ( non c’è nulla di convenzionale )

à

Lo zero nel caso dei libri è assoluto perché 0 equivale a zero libri letti

es. ore passate sullo smartphone

Scala Likert sta a metà tra ordinale e di intervalli, i cui dati vengono poi utilizzati come se fossero

variabili su scale di intervalli es. scala di razzismo

I punteggi vengono utilizzati sommandoli per arrivare a dare un punteggio complessivo

dell’individuo su una certa proprietà.

Differenziale semantico non ha un’unità di misura, le risposte sono su scala ordinale, ma poi si

costruiscono punteggi ( come scala Likert ) sommando le risposte ottenute dagli item. Cosa si

ottiene? si trasformano i risultati e poi vengono sommati

Due facce della statistica

“collettivo” = insieme di persone Statistica descrittiva

Lucrezia Saia

raccogliere dati individuali su campioni molto numerosi obiettivo: estrarre info utile e facilmente

à

interpretabile che sintetizzi la situazione studiata.

matrice CxV

• = casi per variabili

N

righe = casi : n. totale di casi

à K

colonne = variabili : ultima delle variabili; n. totale di variabili

à

vettore riga e colonna = serie di numeri che rappresenta rispettivamente ciascuna riga e ciascuna

colonna

es. caso: sei d’accordo con il nuovo governo? variabile: disaccordo, abbastanza d’accordo …

Nel grafico a forma canonica, es. maschio e femmina sono variabili dicotomiche = possono

assumere solo 2 variabili ( 0, 1 )

La forma ridotta ha il vantaggio della sintesi, mentre la forma canonica è una forma “esplosa”, più

estesa.

Per la matrice CxV:

- VIE = 2 entrate: casi e variabili

- MODI = sono 2, i casi sono da una parte ( una famiglia ) e le variabili dall’altra ( altra famiglia )

3 vie

Matrici a : misurare gli stessi casi e le stesse variabili studiate nel tempo, quindi in diverse

occasioni ( sempre 2 modi però )

1 modo

Matrici con = matrici di correlazioni ( unica famiglia sia sulle righe che sulle colonne, sulle

righe e sulle colonne avremo le stesse entità )

Serie connessa di frequenze

•

Provenienza = scala nominale

Sempre matrice CxV frequenza assoluta

L’1 nella prima tabella è presente 3 volte ( nella seconda tabella, ovvero

numero di volte in cui uno dei casi provenienza appare nella prima tabella )

n = numero di volte in cui j appare

j

N = somma di tutte le frequenze assolute

Frequenza relativa = f = ( n ) / N ( N totale di frequenze assolute )

j j

es. ore smartphone ore: 0 ; frequenza assoluta 35 ; 35 ( n ) / 584 ( N ) = 0,06 ( frequenza

à 0

relativa )

Le frequenze relative servono a confrontare frequenze di gruppi diversi ( es. Maschi e Femmine )

Frequenze assolute e relative

C’è un errore nella tabella, il N totale di frequenze assolute dei maschi non è 22, ma 302.

Vedendo il grafico possiamo dire che le femmine passano circa 3 ore allo smartphone ( frequenza

relativa massima 0,21 ), mentre i maschi 2 ( frequenza relativa massima 0,27 ).

Oppure possiamo dire che ci sono più femmine che passano 7 ore al telefono rispetto ai maschi.

percentuali, p = f * 100

Per ottenere le basta moltiplicare le frequenze relative x 100 = j

Es. della tabella 0,06 x 100 = 6% ( li è 5,99 perché non ha calcolato con l’arrotondamento a 0,06 )

Lucrezia Saia

Le frequenze cumulate

• frequenza assoluta cumulata di x è n ; per x sarà n + n ; per x sarà n + n + n e così via

1 1 2 1 2 3 1 2 3

• frequenza relativa cumulata è la stessa cosa di quella assoluta ma nel procedimento si utilizza la

frequenza relativa

es. dalla tabella frequenza assoluta cumulata di 2 h = 35 + 63 + 135 = 233

frequenza relativa cumulata di 2 h = 0,06 + 0,11 + 0,23 = 0,40

percentuale cumulata di 2 h = 5,99 + 10,79 + 23,12 = 39,90

Seriazione di frequenze

•

riportare in modo “aggregato” le variabili e tutti gli individui devono rientrarne entro i limiti

prestabiliti.

Come decido i limiti di queste classi?

es. classi equi-numerose ( numero uguale di frequenze )

o con intervalli della stessa ampiezza ( es. di età 15 anni di range per ogni classe di età )

à

I limiti possono essere:

• apparenti

• reali

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Variabili quantitative discrete o assolute = conteggio

Nella tabella grafici e scala di misura - social media

categoria whatsapp = n: 725 f : 725 / 3003 = 0,24 ( arrotondato ) p : 0,24 * 100 = 24,14%

à à

( 24,14% viene calcolato senza arrotondamento )

Nel grafico a barre:

• ordinata ( y ) frequenza assoluta

à

• ascissa ( x ) categoria

à

Grafico a torta

# !

= 360° $

% =

Lucrezia Saia

Istogramma

è possibile rappresentare dati utilizzando classi di ampiezza diversa ( ampiezza della base del

rettangolo ).

X X

-

j 1 j

area del rettangolo proporzionale alla frequenza di classe

base del rettangolo

la invece esprime l’ampiezza della classe

Istogramma con interpolazione di punti: area rappresenta la frequenza totale, la numerosità totale

degli individui distribuiti secondo variabile ( nel caso dell’esempio, l’età )

Operatori monovariati

Modi per descrivere e sintetizzare singole variabili.

Usare un numero scalare per rappresentare una caratteristica di un vettore.

- Operatori di tendenza centrale

scalari che servono a misurare la centralità complessiva della variabile studiata.

Sono numeri che comunicano in modo sintetico come si organizza la distribuzione rispetto alla

sua centralità.

MODA per variabili categoriali

MODA E MEDIANA per variabili ordinali

MODA MEDIA E MEDIANA per le variabili cardinali continue.

Questi operatori di tendenza centrale rappresentano al meglio la distribuzione della variabile,

producono valori compresi tra quelli che la variabile assume ( “vettore” ).

Es. voti di università compresi tra 18 e 30, la media dei voti è un numero ( scalare ) compreso tra

18 e 30.

MODA

- valore che si presenta più spesso; non tiene conto di altri valori

MEDIANA

-

non si applica a scale nominali perché non hanno modalità ordinabili ( non posso dire “prima

vengono le femmine e poi i maschi” ); per applicarla abbiamo bisogno di variabili ordinali.

VARIABILI ORDINALI

La mediana è il caso che si posiziona a metà della distribuzione. ( es. N: 101 - caso mediano: 51

perchè sia sotto che sopra ci sono esattamente 50 casi )

La mediana è la modalità a cui appartiene al caso mediano.

es. 101 caso mediano: 101 +1 / 2 = 51

à

Nel caso in cui N è pari è un problema perché la metà non corrisponde alle caratteristiche del

caso mediano ( sotto e sopra di esso ci sono esattamente gli stessi n. di casi - 50% - )

e

es. 100 caso mediano: 100/2 = 50 100/2 + 1 = 51

à

i casi mediani saranno quindi 50 e 51.

esempio tabella

( f. cumulata nel grafico 89 + 1509 = 1598 )

à

Lucrezia Saia

il caso mediano è 1498.

la mediana è DIPLOMA perché guardando le frequenze cumulate, il caso mediano ( 1498 ) finisce

nella modalità diploma.

VARIABILI CARDINALI

il valore della variabile è su una scala metrica, quindi si possono compiere operazioni algebriche ≠

variabile ordinale.

Si può fare una media tra le mediane.

esempio tabella

caso mediano = 228 corrisponde a valore 12 anni ( mediana )

à

nel caso di N pari n: 526 ; casi mediani : 263, 264 263 : 12 anni - 264 : 13 anni

à à

La mediana della distribuzione è 12 + 13 / 2 = 12,5

nella formula :

+ +1

2 2

2

xN/2 e ( xN/2 +1 ) sono rispettivamente seguendo l’esempio, 12 e 13 anni.

I percentili si usano ad esempio per le curve di crescita dei bambini es. peso.

Hanno preso i dati di molti bambini pesati a 2 settimane dalla nascita e posti in una distribuzione

da chi pesava di meno a chi pesava di più. Questa distribuzione è stata divisa in percentili in

modo da capire se ad esempio mio figlio è al 33° percentile quindi per il 33% è più pesante di

bambini della sua stessa età, e minore per il 67%. Serve a capire se il bambino pesa troppo o

troppo poco. Se mio figlio si trova al 50° percentile sono a posto.

- MEDIA ARITMETICA

Calcolata solo per variabili quantitative quindi cardinali, non può essere calcolata su scale

ordinali.

$

∑ = somma delle x ( numero di post ) dei numeri da 1 a N

!

!&'

nella tabella 6 media aritmetica per dati raggruppati in

( 166 + 25 + 275 + 261 + 248 + 265 ) / = 206,67 ≠ classe ( non si divide per il numero dei

casi ma per il totale della frequenza assoluta perché sulla casella x non abbiamo i casi, ma

gli anni come nell’esempio )

es. dei voti

nella media aritmetica normale nelle caselle x ci sono i casi ( x ) quindi i vari esami con nella

i

casella n il voto

nella media aritmetica per dati raggruppati in classe invece nelle caselle x si mettono i voti e sulla

casella n la frequenza con cui abbiamo preso quei voti quindi cambia pure il calcolo.

Proprietà media aritmetica

Lucrezia Saia media