Appunti Appunti Statistica per la sperimentazione e le previsioni in ambito tecnologico (parte 2) in italinao

P value non significativo ma rilevante.

5.6 Modello ANOVA (two-way) per il disegno RCB

Quando il risultato dell’ANOVA a una via mostra che la DW è sicuramente molto più alta della

DB, significa che sono state trascurate alcune SoV (fonti di variabilità). Inoltre, il fattore

considerato risulta non avere un eEetto significativo.

RCB (Randomized Complete Block)

- Si introduce un fattore di blocco, il cui unico ruolo è assorbire la variabilità non

spiegata. Esso influenza direttamente il fattore sperimentale (che vogliamo

ottimizzare) e indirettamente la variabile di risposta (RV).

- È necessario randomizzare il fattore sperimentale all’interno di ciascun livello del

fattore di blocco. Non si randomizzano i livelli dei fattori di blocco.

- Inoltre, deve essere verificato che non sia presente interazione tra i fattori, oppure che

tale interazione sia trascurabile.

Due fattori due componenti additive

à

due criteri di classificazione, perché sono presenti due fattori.

à

Il modello statistico ANOVA corrispondente al disegno RCB è definito come segue:

(dove è concettualmente diverso dal visto in precedenza).

!% !%

Dove denota anche l’eEetto generico dell’i-esimo livello del fattore sperimentale (a livelli

!

fissati), chiamato anche fattore sub-sperimentale.

importante: l’additività del modello implica che un disegno RCB può essere pianificato se e

à

solo se si può assumere un’interazione nulla o trascurabile tra il fattore sperimentale e il

fattore di blocco; in pratica non deve esserci interazione tra questi due fattori.

5.7 Full Factorial Design - example by Montgomery (1991)

I dati riguardano n=36 osservazioni sperimentali relative alla misura (in ore) della durata

della batteria (Y). Sono presenti due fattori sperimentali, A e B, entrambi a tre livelli, che

30

rappresentano rispettivamente il tipo di materiale della batteria (1, 2, 3) e la temperatura,

espressa in gradi centigradi: 15°, 70°, 125°.

Caratteristica principale tutti i fattori sono importanti allo stesso livello

à

Interazione un modo per misurare le associazioni tra fattori.

à

* se non ho repliche, non posso stimare l’interazione, perché solo avendo repliche in

ciascuna cella posso calcolare media e variabilità all’interno di ogni cella. In questo modo,

ogni cella spiega la variabilità della prova corrispondente. La somma delle variabilità di tutte

le celle fornisce la variabilità totale.

- A*B: interazione di primo ordine coinvolge due fattori

à

- Interazione di secondo ordine coinvolge tre fattori

à

- Interazione di terzo ordine coinvolge quattro fattori

à

- E così via…

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Disegno fattoriale completo (Full Factorial Design) tutte le possibili combinazioni dei

à

livelli dei fattori.

Un disegno fattoriale completo è un piano sperimentale in cui vengono testate tutte le

combinazioni possibili dei livelli dei fattori, consentendo una stima completa degli eEetti

principali e delle interazioni.

Disegno fattoriale completo in assenza di interazione di primo ordine tra A e B:

Si parte sempre dal modello che include solo gli eEetti principali, cioè dal modello base

senza interazioni. Se si desidera verificarne la presenza di un’interazione di primo ordine, il

modello statistico diventa:

()

Dove rappresenta l’interazione. È possibile includere l’interazione se e solo se almeno

!%

uno dei due fattori è significativo (meglio se entrambi). Se nessuno dei fattori è significativo,

allora l’interazione non può essere significativa. Se si applica un modello con interazione, tutti

gli eEetti principali devono essere inclusi nel modello. 31

Esempio:

5.8 Concetto di interazione

Interazione: quantità di variabilità che riesco a stimare sottraendola all’errore residuo dopo

aver stimato la variabilità degli eEetti principali (A e B).

L’interazione viene stimata dopo aver stimato i due eEetti principali; non posso stimare

l’interazione da sola, ma devo necessariamente includere nel modello gli eEetti principali (si

parla infatti di stima gerarchica). L’interazione è una componente di variabilità sistematica

che viene sottratta all’errore una volta stimati gli eEetti principali. 32

I grafici sopra sono utilizzati per comprendere la presenza di interazione e la totale assenza di

interazione. Il grafico (1) mostra la totale assenza di interazione, perché non c’è variazione tra i

livelli di B al variare dei livelli di A (segmenti completamente paralleli p-value=1). Il grafico

à

(2) mostra invece la presenza di interazione, cioè un’associazione tra A e B.

P=3 2 DOF

à

q=3 2 DOF

à

5.9 ANOVA – parametrizzazione a punto di riferimento (corner point)

Supponiamo di avere dati sui tempi di coagulazione del sangue (misurati in secondi) di 24

animali sottoposti casualmente a quattro tipi di dieta (A, B, C, D). il modello statistico ANOVA

(one-way) è il seguente:

Stime del modello lineare; risultati con parametrizzazione a punto di riferimento (corner

point):

La dieta B e la dieta C mostrano un eEetto significativo sul tempo medio di coagulazione

rispetto alla dieta A (livello di riferimento); nessun eEetto è osservato per la dieta D). la dieta B

ha un eEetto medio (incremento); nessun eEetto è osservato per la dieta D. La dieta B ha un

33

eEetto medio (incremento) sul tempo medio pari a 5 secondi; la dieta C ha un eEetto medio

pari a 7 secondi.

Nota: è necessario considerare la distinzione tra il modello ANOVA e il corrispondente

modello statistico lineare.

6. Fractional Factorial Design

Si utilizza un disegno fattoriale frazionale quando il numero di fattori – e di conseguenza il

numero di esperimenti – necessari per realizzare un disegno fattoriale completo supera le

risorse disponibili. 2

6.1 Esempio – full factorial design 34

Defining contrast questo è uno strumento utile per costruire un disegno fattoriale

à

frazionale corrispondente a un disegno fattoriale completo.

Ogni blocco corrisponde a un livello di ABC. 35

perdo la possibilità di stimare ABC, perché ABC è costante all’interno di ciascun blocco.

à

Vantaggi: se scelgo ABC=+1 devo eseguire solo quattro prove (invece di 8), riducendo così il

numero di esperimenti.

* confounding eEect: quando utilizzo un disegno fattoriale frazionale, se uso il secondo

blocco stimo A+BC. Ciò è dovuto al fatto che estraggo solo alcune prove e le suddivido in più

blocch