Prova Invalsi Matematica 2010/2011 - Soluzione

Di seguito viene proposta un’analisi dei quesiti utilizzando una tabella a tre colonne:

 nella prima è indicato il testo del quesito

 nella seconda un commento didattico

 nella terza

l’ambito e i processi facendo riferimento al Quadro teorico delle prove SNV pubblicato sul sito INVALSI

o le competenze di base a conclusione dell’obbligo di istruzione, come riportate nella parte relativa all’Asse matematico del Decreto 22 agosto

o 2007 : Regolamento recante norme in materia di adempimento dell’obbligo di istruzione.

È importante sottolineare che la classificazione proposta è solo indicativa e non deve rappresentare un vincolo per l'interpretazione del risultato: in matematica

ogni domanda coinvolge spesso diversi ambiti, e la risposta richiede processi di diversa natura. Seguendo la prassi internazionale, si indicano l'ambito e il

processo prevalenti, tenendo presente che spesso la scelta di un particolare distrattore può indicare difficoltà o lacune in altri ambiti o in altri processi. 3

GUIDA ALLA LETTURA

Domanda Commento Ambito, compito, processo e Obbligo

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta alla domanda (a): Falso Dati e Previsioni

Leggendo attentamente la tabella, si vede, senza fare

calcoli, che al Nord gli allievi (maschi e femmine) sono

più di 700.000 e le femmine sono circa 340.000, cioè PROCESSO PREVALENTE

Utilizzare la matematica appresa per il

meno della metà. Quindi è falso che al Nord gli alunni trattamento quantitativo dell'informazione

maschi siano meno delle femmine. in ambito scientifico, tecnologico,

Uno studente, per rispondere, potrebbe anche affidarsi a economico e sociale (descrivere un

una sottrazione.

Per rispondere è utile sapere approssimare 711.292 con fenomeno in termini quantitativi,

circa 700.000 e 339.508 con circa 340.000. Da questa interpretare una descrizione di un

approssimazione si può stabilire immediatamente che nel fenomeno in termini quantitativi con

Nord gli allievi maschi sono più delle femmine. strumenti statistici o funzioni, utilizzare

modelli matematici per descrivere e

interpretare situazioni e fenomeni, ...).

Risposta corretta alla domanda (b): Vero

Gli insegnanti della scuola secondaria di I grado, in Italia

sono 212.041 (poco più di 210.000) mentre le classi

sono 82.446, circa 80.000). Quindi il rapporto NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

insegnanti/classi è inferiore a 3, perché 80.000 è più di Analizzare dati e interpretarli sviluppando

un terzo del numero degli insegnanti. deduzioni e ragionamenti sugli stessi

Uno studente potrebbe anche rispondere usando la

calcolatrice:

212041  

2

,

57 3 .

82446

Risposta corretta alla domanda (c): Vero

Dalla tabella si legge che le classi sono 34659 e le scuole

sono 3200.

Quindi le classi (circa 35000) sono più di 10 volte 3200.

Uno studente potrebbe anche rispondere usando la

calcolatrice

34659  

10,83 10 Quindi è vero che nel Sud ci sono

3200

mediamente più di 10 classi per scuola. 4

Per rispondere a queste domande è utile che lo studente

sia in grado di effettuare rapidamente approssimazioni

opportune dei numeri in gioco e calcoli mentali. AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta D Dati e Previsioni

Infatti la probabilità che la corriera ritardi di 5 minuti è

del 50% e la probabilità che arrivi con 10 minuti di

ritardo è del 10% PROCESSO PREVALENTE

Utilizzare la matematica appresa per il

Se Giorgio arriva alle 6:34 ha quindi la probabilità di trattamento quantitativo dell'informazione

50%+10%=60% di prendere la corriera perché riesce a in ambito scientifico, tecnologico,

prenderla sia nel caso in cui la corriera ritardi di 5 economico e sociale (descrivere un

minuti, sia che ritardi di 10 minuti. fenomeno in termini quantitativi,

Si potrebbe anche rispondere pensando alla probabilità interpretare una descrizione di un

che la corriera non arrivi in orario. La probabilità che la fenomeno in termini quantitativi con

corriera sia in orario è del 40%. Poiché il ritardo di strumenti statistici o funzioni, utilizzare

Giorgio gli consentirebbe di prendere ugualmente la modelli matematici per descrivere e

interpretare situazioni e fenomeni, ...).

corriera che non arriva in orario, la probabilità di

prendere la corriera è del 60%. NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

L’argomento non è esplicitamente

richiamato ma si tratta di una competenza

richiesta agli studenti al termine del primo

ciclo e che quindi si suppone acquisita

stabilmente e può costituire un esempio di

continuità verticale

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta D Spazio e Figure

In un triangolo la misura di un lato deve essere minore

della somma delle misure degli altri due lati. PROCESSO PREVALENTE

In questo caso la somma delle misure dei due lati noti è Conoscere e padroneggiare i contenuti

16 cm. specifici della matematica (oggetti

Quindi l’unica misura che non si può accettare fra quelle matematici, proprietà, strutture...)

proposte è 17 cm. NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

Confrontare ed analizzare figure

geometriche, individuando invarianti e

relazioni 5

Per mostrare che l’affermazione è falsa, basta un solo AMBITO PREVALENTE

Numeri

esempio contrario (che viene detto controesempio).

3 +1=9, che non è un

Se scegliamo n=3, si ottiene 2 PROCESSO PREVALENTE

numero primo. Acquisire progressivamente forme tipiche

Per rispondere correttamente si può anche presentare un del pensiero matematico (congetturare,

esempio diverso da questo. Ad esempio, si può anche verificare, giustificare, definire,

5

scegliere n=5 (si ottiene 2 +1=33, che non è primo), generalizzare, ...)

6

oppure n=6 (si ottiene 2 +1=65, che non è primo), ecc.

Basta fornire un solo controesempio. NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

Utilizzare le tecniche e le procedure del

calcolo aritmetico

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta A. Numeri

. 9

L’informazione che l’età della Terra è 4,5 10 anni

equivale a dire che l’età della Terra è maggiore o uguale PROCESSO PREVALENTE

. 9 . 9 Sapere riconoscere in contesti diversi il

di 4,45 10 anni e minore di 4,55 10 anni. La stima

. 9 carattere misurabile di oggetti e fenomeni

migliore, fra quelle proposte è quindi 4,5 10 anni. e saper utilizzare strumenti di misura

Infatti, sottraendo a un qualunque numero reale

. 9 . 9 6 (saper individuare l'unità o lo strumento di

compreso fra 4,45 10 e 4,55 10 il numero 10 si ottiene

. 9 . 9

sempre un numero compreso fra 4,44 10 e 4,55 10 . misura più adatto in un dato contesto,

saper stimare una misura,…)

Questa risposta può essere sorprendente, ma bisogna

pensare che si tratta di togliere 1 milione di anni da 4,5 NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

miliardi: la sottrazione non incide sulla cifra dei miliardi Analizzare dati e interpretarli usando

(4) consapevolmente gli strumenti di calcolo 6

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta alla domanda 1 relativa al grafico Dati e Previsioni

A:

Autoproduzione PROCESSO PREVALENTE

Conoscere e padroneggiare diverse forme

Risposta corretta alla domanda 2 relativa al grafico di rappresentazione e sapere passare da

B: una all'altra (verbale, scritta, simbolica,

Mercato libero grafica, ...)

Risposta corretta alla domanda 3 relativa al grafico NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

C: Mercato vincolato Analizzare dati e interpretarli sviluppando

deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche

Si tratta di osservare attentamente il grafico a barre con l’ausilio di rappresentazioni grafiche.

(figura 1) e di interpretare quel che si osserva.

La quantità di energia elettrica proveniente

dall’autoproduzione è rimasta pressoché invariata

(grafico A).

La quantità di energia elettrica proveniente dal mercato

libero dell’energia, dal 2000 al 2005, è aumentata

(grafico B).

La quantità di energia elettrica proveniente dal mercato

vincolato dell’energia, dal 2000 al 2005, è diminuita

(grafico C). 7

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta alla domanda a. Relazioni e Funzioni

600 metri.

Se con un righello si misura sulla mappa la lunghezza

del tratto percorso in via XX Settembre, si trova circa PROCESSO PREVALENTE

DOMANDA a: Sapere riconoscere in

2,5 cm. contesti diversi il carattere misurabile di

Misurando il tratto percorso in via A.G.I. Bertola sulla oggetti e fenomeni e saper utilizzare

mappa, si ottengono 7,4 cm, pari a circa il triplo del strumenti di misura (saper individuare

tratto percorso in via XX Settembre.

Poiché 2,5 cm sulla mappa (via XX Settembre) l'unità o lo strumento di misura più adatto

corrispondono a un tratto di 150 m, il tratto percorso in in un dato contesto, saper stimare una

misura,…)

via A.G.I. Bertola è di circa 450 m. DOMANDA b: Conoscere e

Quindi il Sig. Carlo ha percorso all’incirca padroneggiare algoritmi e procedure (in

150 m + 450 m = 600 m. ambito aritmetico, geometrico...)

Si possono accettare anche risposte che vanno da 582 a

600 m. NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

Individuare le strategie appropriate per la

Risposta corretta alla domanda b.: risposta C soluzione di problemi.

(la scala è di 1:6000)

A 2,5 cm sulla mappa corrisponde un percorso di 150 m,

ovvero di 15.000 cm.

Quindi a 2,5 cm corrispondono 15.000 cm, ossia,

dividendo per 2,5, si ottiene una scala:

1 : 6000.

Particolarmente insidioso è il distrattore A (1:60) che si

ottiene se non si trasforma la misura di 150 m in cm.

Gli altri distrattori invece corrispondono a errori nella

conversione di metri in cm. 8

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta alla domanda a.: 32,34 cm Spazio e Figure

Si possono accettare anche 32 cm, 32,3 cm oppure

32,343 o con ancora più cifre dopo la virgola (risposte

che potrebbero essere dovute probabilmente all’uso della PROCESSO PREVALENTE

Sapere risolvere problemi utilizzando gli

calcolatrice). strumenti della matematica (individuare e

Per rispondere a questa domanda occorre dividere la

larghezza dello schermo per 16 e poi moltiplicare il collegare le informazioni utili, confrontare

risultato per 9: strategie di soluzione, individuare schemi

risolutivi di problemi come ad esempio

9

  cm

32

,

34

...

57

,

5 sequenza di operazioni, esporre il

16 procedimento risolutivo,…)

Risposta corretta alla domanda b.: B NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

Per determinare la lunghezza della diagonale dello Utilizzare le tecniche e le procedure del

schermo occorre applicare il teorema di Pitagora. calcolo aritmetico ed algebrico,

Chiamando b la larghezza dello schermo, h l’altezza rappresentandole anche sotto forma grafica

dello schermo e d la lunghezza della diagonale, si ha:

2

 

9 81

     

 

2 2 2 2 2

d b h b b b b

 

16 256

Quindi 337 337

    cm.

d b 57

,

5 65

,

97

16 16

che è circa 26 pollici.

Alla misura della diagonale si può arrivare anche usando

direttamente il teorema di Pitagora sulle misure della

larghezza dello schermo e dell’altezza dello schermo.

Lo studente deve sapere usare il teorema di Pitagora in

una situazione concreta. Non è importante sapere

convertire i pollici in centimetri. Per rispondere è

sicuramente conveniente usare la calcolatrice. 9

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta alla domanda a1. Falsa Spazio e Figure

Infatti il lato AB non è uguale al lato AC.

Risposta corretta alla domanda a2. Vera

Infatti il triangolo ABC è rettangolo in A. PROCESSO PREVALENTE

DOMANDA a: Saper riconoscere le

Risposta corretta alla domanda a3. Vera forme nello spazio (riconoscere forme in

Infatti BC è l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. diverse rappresentazioni, individuare

Risposta corretta alla domanda a4. Falsa

Infatti il triangolo rettangolo ABC non è isoscele (AB è relazioni tra forme, immagini o

maggiore di AC). rappresentazioni visive, visualizzare

oggetti tridimensionali a partire da una

rappresentazione bidimensionale e,

Risposte corrette alla domanda b: viceversa, rappresentare sul piano una

AC = 1 m figura solida, saper cogliere le proprietà

degli oggetti e le loro relative posizioni,

…)

2

AB = m DOMANDA b: Conoscere e

padroneggiare algoritmi e procedure (in

3

BC = m ambito aritmetico, geometrico...)

Si possono accettare anche valori approssimati NUOVO OBBLIGO DI ISTRUZIONE

AB = 1,41 m oppure AB = 1,4 m Confrontare ed analizzare figure

BC = 1,73 m oppure BC = 1,7 m geometriche, individuando invarianti e

relazioni

AMBITO PREVALENTE

Risposta corretta: C. Numeri