Sfide

“Only those who will risk going too far can possibly find out how far one can go”.

T. S. Eliot

Maria Eugenia di Sabato

Liceo Ginnasio Statale “V. Lanza” – Foggia

Classe III sez. D

Anno scolastico 2007-2008

Premessa

La “sfida” è confronto, è misurarsi con le persone, le situazioni, le questioni e i problemi che si presentano dinanzi. Che si presentano dinanzi ad ogni singolo uomo, nella sua vita d’ogni giorno; a gruppi di uomini, nel contesto delle relazioni sociali, economiche e politiche; all’intera umanità, lungo l’arco del suo progredire.

La sfida, lanciata od accettata, è, di volta in volta, desiderio di superare i propri limiti e di migliorarsi, di penetrare le incognite, di tentare le scommesse impossibili, di non soggiacere alle prevaricazioni, di non accettare le opinioni comuni solo perché dominanti, di combattere l’errore od il pregiudizio diffuso, di sostenere le battaglie disperate con l’ottimismo di chi sa di poterle vincere. Le armi impiegate in questo confronto, non sempre vittorioso, sono ben più sofisticate di quelle che si imbracciano uomo contro uomo: sono quelle dell’ingegno umano, della perseveranza, dell’ostinatezza, della saggezza, della dedizione, del coraggio, dell’indipendenza di giudizio.

Spesso la sfida diventa provocazione, discontinuità col presente, un andare controcorrente, sovvertendo le regole stabilite: non per il gusto narcisistico di cantare fuori dal coro, ma per dimostrare che può esistere ed è necessario che ci sia un’alternativa. E così

Be the

la sfida diviene coraggiosa voglia di cambiamento immediato. Penso a Gandhi. Diceva: “ change you want to see in the world ”, sii il cambiamento che vuoi vedere nel mondo. Lui lo fece, sfidando orgogliosamente l’imperialismo più potente della terra e dimostrando – assurdo a pensarsi – che le guerre si possono vincere senza armi e senza spargimento di sangue, con la sola forza della ragione.

In questo “percorso” mi soffermerò su alcune delle sfide che, nel corso dei secoli, l’uomo si è trovato ad affrontare: dal problema della quadratura del cerchio, nato nel IV secolo a.C., fino all’enigma della materia oscura nell’universo, sull’esistenza della quale ci si è cominciati a interrogare negli anni ’30 e che ancora oggi presenta molti lati … oscuri.

Prenderò in considerazione diversi “tipi” di sfide: quelle da taluni lanciate alle società nelle quali hanno vissuto ed alle loro convenzioni, quelle che altri hanno raccolto per realizzare, attraverso la trasformazione della società, il rinnovamento ed il progresso, quelle che altri ancora hanno sostenuto nel ristretto ambito della loro esperienza individuale, misurandosi con le comuni difficoltà della vita o con i limiti del proprio essere, di fronte ai quali, talvolta, hanno dovuto anche arretrare.

In matematica, proponendo il problema della quadratura del cerchio e del calcolo integrale definito, parlerò della sfida contro l’infinitesimo: le grandezze sempre più piccole, infinitesimali, per l’appunto, ma che “ostacolano” ugualmente l’uomo nel raggiungimento del suo obiettivo e che, come nel caso della quadratura del cerchio, lo costringono a dichiararsi sconfitto.

Satyricon

Il viaggio di Encolpio e Gitone, nel “ ” di Petronio, è un altro esempio di sconfitta che l’uomo subisce, stavolta incapace di tener testa alla Fortuna e di far fronte all’imprevisto. I due protagonisti sono, infatti, succubi del Fato.

Dall’opera di Pirandello, invece, emerge una provocazione alla società e alla cultura corrente: nei romanzi, così come nelle novelle e nei drammi appare un relativismo conoscitivo e una concezione della realtà e dell’esistenza - vista come un’ ”enorme pupazzata” - assolutamente controcorrente.

1984

In “ ”, di George Orwell, invece, si assiste al tentativo disperato di Winston Smith che, sfidando Il Partito e Il Grande Fratello, rifiuta di sottomettersi passivamente alle regole ferree e “anti - umane” da loro imposte. Tuttavia, anche la sfida di Winston è destinata a fallire e il protagonista è “condannato” ad amare il Grande Fratello.

Nell’arco degli anni Sessanta si profilano una serie di contestazioni, manifestazioni di dissenso e di sfida nei confronti della società capitalistica. Le contestazioni di quegli anni sono un esempio di come la sfida possa presentarsi in differenti modi ed assumere diversi connotati: dalla protesta ideologica del movimento hippy e della contestazione studentesca, ad una più segnata da rivendicazioni politiche e dalla richiesta di riconoscimento della parità dei diritti, quale era il movimento femminista o quello di rivolta dei neri. Parallelamente, si assiste anche ad una auto-riforma della Chiesa, pronta a confrontarsi con la nuova società occidentale.

Ed è proprio nella società occidentale, sempre più attenta esclusivamente alla dimensione materiale dell’esistenza, che si viene ad inserire la sfida di Jacques Maritain, il filosofo francese creatore della più moderna teoria socio-politica di ispirazione cristiana, che cerca di contrastare il materialismo imperante con una filosofia che ridà spessore alla dimensione spirituale e trascendente dell’uomo.

In fisica, invece, ho inteso affrontare il problema del rendimento nel settore energetico, che costituisce una sfida alle conoscenze e alle possibilità umane di individuare fonti energetiche alternative che garantiscano un’efficienza notevole e costante, e, allo stesso tempo, riducano il loro impatto ambientale.

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Infine, ho voluto lasciare per ultima la sfida più impegnativa per l’uomo, quella che dopo oltre settant’anni continua a lasciare senza risposta ancora tanti interrogativi: la ricerca della materia oscura nell’universo. La sfida è ancora aperta, si continuano ad aggiungere nuovi tasselli al mosaico dell’universo ma, purtroppo, si è ancora lontani dal suo completamento. E’ questa, probabilmente, una delle sfide più affascinanti, quella che vede contrapporsi l’uomo all’ignoto, all’universo infinito, la cui oscurità e complessità sono state da sempre oggetto di attrazione per l’uomo. Maria Eugenia di Sabato

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Indice

Indice pag. 6

La quadratura del cerchio e l’integrale definito ………………………...……….

Matematica pag. 11

Il folle… viaggio del Satyricon …………………………………………………..…..

Latino pag. 16

La fuga di Pirandello dalla trappola del mondo ……...…………...……………..

Italiano pag. 21

Nineteen Eighty-Four.

Inglese Winston Smith’s challenge to Big Brother .… pag. 25

Le rivoluzioni degli anni sessanta ……………………………………………………

Storia pag. 31

Persona, uomo e Stato in Jacques Maritain ……………………………………….

Filosofia pag. 35

Il rendimento e le fonti energetiche alternative …………………………………..

Fisica pag. 41

La ricerca della materia oscura: le nuove frontiere in alto nei cieli …

Geografia

Bibliografia ………………………………………………………………………... pag. 49

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La quadratura del cerchio e l’integrale definito

“Qual è ’l geomètra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige…”

Paradiso

(Dante, , XXXIII vv. 133-135)

Quella della quadratura del cerchio - ovvero del disegnare un quadrato avente la stessa area di un cerchio dato, utilizzando esclusivamente una riga non graduata e un compasso - si è da sempre prospettata come una sfida anche per i più grandi matematici; i

Ferdinand von

quali, però, nel 1882 sono stati costretti a rinunciarci: il matematico tedesco

Lindemann, infatti, dimostrò che il problema non ammetteva soluzioni.

Gli antichi greci, abilissimi nel costruire le curve più complesse con gli strumenti più semplici, non erano in grado di disegnare il lato di un quadrato avente la stessa area di un dato cerchio. Com’era già noto all’epoca, il rapporto tra una qualsiasi circonferenza ed il suo diametro è costante ed è pari ad un valore che approssimativamente si avvicina a 3,14, -

π π

indicato per la prima volta con il simbolo dal matematico Eulero nel 1737 - . Se il fosse stato un numero periodico e, dunque, razionale, si sarebbe potuto quadrare il cerchio; era necessario, perciò, conoscere con esattezza le sue cifre decimali. Il primo che andò alla ricerca di queste cifre fu Archimede.

Metodo di esaustione

Applicando un procedimento di avvicinamento indefinito ( ), Archimede fu in grado di calcolare l’area A di un cerchio partendo dal confronto delle aree di due esagoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza considerata. Una semplice scomposizione in triangoli isosceli permette di calcolare l’area di tali esagoni. Raddoppiando di volta in volta il numero dei lati dei poligoni, notò che l’area di quelli inscritti continuava ad aumentare, mantenendosi, però, sempre inferiore alla circonferenza (si trattava di un’approssimazione per difetto), mentre, le aree dei poligoni circoscritti continuavano a ridursi ma restando sempre maggiori dell’area del cerchio (approssimazioni per eccesso). Si vengono a creare due classi contigue costituite rispettivamente dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti alla stessa circonferenza, delle quali la misura dell’area del cerchio è

δ

l’elemento separatore. Inoltre, prefissata un’area arbitraria, piccola a piacere, è possibile determinare due poligoni, uno per ciascuna classe, la differenza delle cui aree è minore di

ε

− <

δ: ∀ δ > 0 ∃ : S s

n.

n n 6

Infatti, si consideri questa figura:

I lati del poligono di n lati inscritto nel cerchio possono essere visti come le basi di n triangoli isosceli che hanno un vertice coincidente con il centro della circonferenza. Consideriamo, per

π π

2

= → = =

◦ ◦ ◦

esempio, il triangolo CEF. L’angolo al vertice sarà . Perciò,

Area del poligono inscritto

n 2

·

n S

l’area S del poligono di n lati inscritto sarà uguale a . Secondo la formula

CEF

trigonometrica per cui l’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso, si ha π π

   

1 2 1 2

= · · → = · · ·

2 2

   

sin sin

S r S n r

CEF n, inscritto

   

2 2

n n

·

n S S

Allo stesso modo, l’area del poligono circoscritto è uguale a , dove è l’area del

Area del poligono circoscritto

CAB CAB

triangolo circoscritto alla circonferenza.

Si consideri, adesso, la base AB del triangolo circoscritto:

π π

   

= = · = · ·

    ;

AB 2 AO CO tan 2 r tan

   

n n

Si ha, dunque, che π π π

·      

AB CO 1

= = · · · · = · → = · = · ·

2 2

     

S 2 r tan r r tan S n S n r tan

CAB n, circoscritto CAB

     

2 2 n n n

Al crescere del numero n di lati, i due poligoni, inscritto e circoscritto, tendono ad approssimare in modo sempre più preciso, l’area del cerchio, fino al caso limite per:

→ ∞

n

π π

≤ · ≤ = = ·

⇒

2 2

S r S lim S lim S r

n, inscritto n, circoscritto n, inscritto n, circoscritto

→ ∞ → ∞

n n

7 π · 2

r, ovvero l’area del

Le due classi di poligoni, dunque, convergono verso lo stesso limite,

cerchio, elemento separatore tra le due classi contigue.

Infatti, π

 

2

nr 2

=  

Limite dell’area del poligono inscritto

lim lim sin

n,

inscritto  

→

∞ →

∞ 2 n

n n π,

∞ ·

per eliminare la forma indeterminata si moltiplica e si divide il limite per tale che

0 π

 

2

 

sin

π π

   

2  

nr 2 n 2 n π

π π

= · = =

2 2 2

   

lim sin r lim sin r lim r

π

π

    2

→ ∞ → ∞ → ∞

2 n 2 n

n n n n

Allo stesso modo, π

 

 

sin

π π π

     

 

n n

π π π

= = = · =

2 2 2 2

     

lim S lim nr tan r lim tan r lim lim cos r

π

π

, cos

n, circoscritto      

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞

n n n

n n n n n

n π

Dopo secoli di indagini, e di calcoli sempre più complessi, i decimali del π non mostravano alcuna periodicità, fino a che, nel 1761, dimostrò che è

Johann Lambert

Ferdinand von Lindemann

irrazionale. Successivamente, nel 1882, il matematico tedesco

π,

dimostrò che trattandosi di un numero trascendente, non è esprimibile con un radicale quadratico.

L’antico problema della quadratura del cerchio trovò una risposta negativa.

Il metodo di esaustione di Archimede si ritrova alla base del calcolo integrale sviluppato venti secoli più tardi. limite derivazione

Insieme all’operazione di e di, che ne è uno sviluppo diretto, la terza fondamentale operazione del calcolo infinitesimale è l’integrazione. Va notato, però, che, dal punto di vista storico, i tre concetti si sono susseguiti esattamente nel verso opposto: gli studi sulla “quadratura di figure piane” (legati al concetto di integrale) si possono far risalire all’antichità, si pensi, per esempio, al metodo di esaustione, opera di Archimede. Il problema di determinare la tangente ad una curva comincia solo in tempi più moderni, quando, nel 1629, Fermat ne espone un metodo molto simile a quello con cui si calcolano oggi le derivate. Qui emerge per la prima volta il concetto di infinitesimo, che, però, verrà esplicitato successivamente da Newton e Leibniz (a quest’ultimo si deve la nascita del calcolo infinitesimale). Infine, la definizione del concetto di limite, che è alla base teorica dell’attuale analisi infinitesimale, fu enunciata solo nel 1859, dopo quindici anni di studi, dal matematico

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tedesco Karl Weierstrass. Fino ad allora, infatti, si era sempre avuto un approccio di carattere più intuitivo che rigoroso al concetto di limite.

Il concetto di integrale nasce in relazione a problemi relativi al calcolo delle misure di lunghezze, aree o volumi. Il problema fu affrontato e brillantemente risolto dai matematici greci con il concetto di esaustione, in epoca moderna, invece, uno dei primi ad affrontare un

Due nuove scienze

problema vicino al moderno concetto di integrale fu Galileo Galilei. Nel

questi dimostra che l’area sottesa dalla curva rappresentante la velocità in funzione del tempo rappresenta lo spazio percorso; tuttavia, non aveva ancora i mezzi necessari per generalizzare i concetti. Fino al XVII secolo, infatti, i matematici potevano risolvere problemi in molti casi particolari, ma non possedevano un metodo generalizzato: il calcolo integrale continuava ad essere un concetto geometrico, la cui definizione difettava in rigore. Ma ciò non deve stupire in quanto, come già detto, gran parte dei risultati nell’ambito dell’analisi infinitesimale furono raggiunti prima che si arrivasse ad una rigorosa definizione di limite,

Augustin-

necessaria per conferire ai risultati raggiunti solide basi teoriche. Solo nel 1823

Luis Cauchy diede una definizione rigorosa di integrale, dimostrando anche il teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli - Barrow).

Integrale definito

In alcune applicazioni è necessario calcolare con esattezza l’area della regione di piano delimitata dal grafico di una funzione y = f(x) e dall’asse delle ascisse.

Si consideri una funzione y = f(x), definita e continua in

σ

un intervallo [a;b] chiuso e limitato. L’area della regione di piano delimitata dall’asse x, dal grafico della funzione e dalle

trapezoide.

retta x = a e x = b prende il nome di Si suddivida l’intervallo b–a in n parti uguali, tali che

Area di piano da calcolare −

b a

∆ =

x = x – x

i i – 1

n

Gli estremi di tali intervalli sono:

∆ ∆

x = a; x = a + x; x = a + 2 x; …; x = b.

0 1 2 n

In ognuno di questi intervalli la funzione è continua e, per il teorema di Weierstrass, assume un valore massimo M ed un valore minimo m, il valore massimo ed il valore minimo

i i

; x ]. Ciascuno dei rettangoli in verde nella figura ha

che la funzione assume nell’intervallo [x

i – 1 i 9

∆x