Sfide

infinitesimali, per l’appunto, ma che “ostacolano” ugualmente l’uomo nel raggiungimento del

suo obiettivo e che, come nel caso della quadratura del cerchio, lo costringono a dichiararsi

sconfitto. Satyricon

Il viaggio di Encolpio e Gitone, nel “ ” di Petronio, è un altro esempio di

sconfitta che l’uomo subisce, stavolta incapace di tener testa alla Fortuna e di far fronte

all’imprevisto. I due protagonisti sono, infatti, succubi del Fato.

Dall’opera di Pirandello, invece, emerge una provocazione alla società e alla cultura

corrente: nei romanzi, così come nelle novelle e nei drammi appare un relativismo

conoscitivo e una concezione della realtà e dell’esistenza - vista come un’ ”enorme

pupazzata” - assolutamente controcorrente.

1984

In “ ”, di George Orwell, invece, si assiste al tentativo disperato di Winston Smith

che, sfidando Il Partito e Il Grande Fratello, rifiuta di sottomettersi passivamente alle regole

ferree e “anti - umane” da loro imposte. Tuttavia, anche la sfida di Winston è destinata a

fallire e il protagonista è “condannato” ad amare il Grande Fratello.

Nell’arco degli anni Sessanta si profilano una serie di contestazioni, manifestazioni di

dissenso e di sfida nei confronti della società capitalistica. Le contestazioni di quegli anni sono

un esempio di come la sfida possa presentarsi in differenti modi ed assumere diversi

connotati: dalla protesta ideologica del movimento hippy e della contestazione studentesca,

ad una più segnata da rivendicazioni politiche e dalla richiesta di riconoscimento della parità

dei diritti, quale era il movimento femminista o quello di rivolta dei neri. Parallelamente, si

assiste anche ad una auto-riforma della Chiesa, pronta a confrontarsi con la nuova società

occidentale.

Ed è proprio nella società occidentale, sempre più attenta esclusivamente alla

dimensione materiale dell’esistenza, che si viene ad inserire la sfida di Jacques Maritain, il

filosofo francese creatore della più moderna teoria socio-politica di ispirazione cristiana, che

cerca di contrastare il materialismo imperante con una filosofia che ridà spessore alla

dimensione spirituale e trascendente dell’uomo.

In fisica, invece, ho inteso affrontare il problema del rendimento nel settore

energetico, che costituisce una sfida alle conoscenze e alle possibilità umane di individuare

fonti energetiche alternative che garantiscano un’efficienza notevole e costante, e, allo

stesso tempo, riducano il loro impatto ambientale.

3

Infine, ho voluto lasciare per ultima la sfida più impegnativa per l’uomo, quella che

dopo oltre settant’anni continua a lasciare senza risposta ancora tanti interrogativi: la

ricerca della materia oscura nell’universo. La sfida è ancora aperta, si continuano ad

aggiungere nuovi tasselli al mosaico dell’universo ma, purtroppo, si è ancora lontani dal suo

completamento. E’ questa, probabilmente, una delle sfide più affascinanti, quella che vede

contrapporsi l’uomo all’ignoto, all’universo infinito, la cui oscurità e complessità sono state da

sempre oggetto di attrazione per l’uomo. Maria Eugenia di Sabato

4

Indice pag. 6

La quadratura del cerchio e l’integrale definito …………………...…….

Matematica pag. 11

Il folle… viaggio del Satyricon ……………………………………...……..….…..

Latino pag. 16

La fuga di Pirandello dalla trappola del mondo ……...…………...……………..

Italiano pag. 21

Nineteen Eighty-Four.

Inglese Winston Smith’s challenge to Big Brother .… pag. 25

Le rivoluzioni degli anni sessanta …………………………………………………

Storia pag. 31

Persona, uomo e Stato in Jacques Maritain ……………………………………….

Filosofia pag. 35

Il rendimento e le fonti energetiche alternative …………………………………..

Fisica pag. 41

La ricerca della materia oscura: le nuove frontiere in alto nei cieli …

Geografia

Bibliografia …………………………………………………………………………... pag. 49

5

La Quadratura del Cerchio e l’Integrale definito

“Qual è 'l geomètra che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond'elli indige…”

Paradiso

(Dante, , XXXIII vv. 133-135)

Quella della quadratura del cerchio - ovvero del disegnare un quadrato avente la

stessa area di un cerchio dato, utilizzando esclusivamente una riga non graduata e un

compasso - si è da sempre prospettata come una sfida anche per i più grandi matematici; i

Ferdinand von

quali, però, nel 1882 sono stati costretti a rinunciarci: il matematico tedesco

Lindemann , infatti, dimostrò che il problema non ammetteva soluzioni.

Gli antichi greci, abilissimi nel costruire le curve più complesse con gli strumenti più

semplici, non erano in grado di disegnare il lato di un quadrato avente la stessa area di un

dato cerchio. Com’era già noto all’epoca, il rapporto tra una qualsiasi circonferenza ed il suo

diametro è costante ed è pari ad un valore che approssimativamente si avvicina a 3,14, -

π π

indicato per la prima volta con il simbolo dal matematico Eulero nel 1737 - . Se il fosse

stato un numero periodico e, dunque, razionale, si sarebbe potuto quadrare il cerchio; era

necessario, perciò, conoscere con esattezza le sue cifre decimali. Il primo che andò alla

ricerca di queste cifre fu Archimede. metodo di esaustione

Applicando un procedimento di avvicinamento indefinito ( ),

Archimede fu in grado di calcolare l’area A di un cerchio partendo dal confronto delle aree di

due esagoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza considerata. Una semplice

scomposizione in triangoli isosceli permette di calcolare l’area di tali esagoni. Raddoppiando

di volta in volta il numero dei lati dei poligoni, notò che l’area di quelli inscritti continuava ad

aumentare, mantenendosi, però, sempre inferiore alla circonferenza (si trattava di

un’approssimazione per difetto), mentre, le aree dei poligoni circoscritti continuavano a

ridursi ma restando sempre maggiori dell’area del cerchio (approssimazioni per eccesso). Si

vengono a creare due classi contigue costituite rispettivamente dalle aree dei poligoni

inscritti e circoscritti alla stessa circonferenza, delle quali la misura dell’area del cerchio è

δ

l’elemento separatore. Inoltre, prefissata un area arbitraria, piccola a piacere, è possibile

determinare due poligoni, uno per ciascuna classe, la differenza delle cui aree è minore di

ε

− <

δ: ∀ δ > 0 ∃ : S s

n .

n n 6

Infatti, si consideri questa figura:

I lati del poligono di n lati inscritto nel cerchio possono essere visti come le basi di n triangoli

isosceli che hanno un vertice coincidente con il centro della circonferenza. Consideriamo, per

π π

2

= → = =

ˆ ˆ ˆ

esempio, il triangolo CEF. L’angolo al vertice sarà . Perciò,

E C F D

C F D

C E

n 2

⋅

n S

l’area S del poligono di n lati inscritto sarà uguale a . Secondo la formula

CEF

trigonometrica per cui l’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno

dell’angolo compreso, si ha π π

   

1 2 1 2

= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅

2 2

   

sin sin

S r S n r

CEF n , inscritto

   

2 2

n n

⋅

n S S

Allo stesso modo, l’area del poligono circoscritto è uguale a , dove è l’area del

CAB CAB

triangolo circoscritto alla circonferenza.

Si consideri, adesso, la base AB del triangolo circoscritto:

π π

   

= = ⋅ = ⋅ ⋅

    ;

AB 2 AO CO tan 2 r tan

   

n n

Si ha, dunque, che π π π

⋅      

AB CO 1

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ → = ⋅ = ⋅ ⋅

2 2

     

S 2 r tan r r tan S n S n r tan

CAB n , cir cos critto CAB

     

2 2 n n n

Al crescere del numero n di lati, i due poligoni, inscritto e circoscritto, tendono ad

→ ∞

n

approssimare in modo sempre più preciso, l’area del cerchio, fino al caso limite per :

π π

≤ ⋅ ≤ = = ⋅

⇒

2 2

S r S lim S lim S r

n , inscritto n , cir cos critto n , inscritto n , cir cos critto

→ ∞ → ∞

n n

7 π ⋅ 2

r , ovvero l’area del

Le due classi di poligoni, dunque, convergono verso lo stesso limite,

cerchio, elemento separatore tra le due classi contigue.

Infatti, π

 

2

nr 2

=  

S

lim lim sin

n ,

inscritto  

→

∞ →

∞ 2 n

n n π,

∞ ⋅

per eliminare la forma indeterminata si moltiplica e si divide il limite per tale che

0 π

 

2

 

sin

π π

   

2  

nr 2 n 2 n π

π π

= ⋅ = =

2 2 2

   

lim sin r lim sin r lim r

π

π

    2

→ ∞ → ∞ → ∞

2 n 2 n

n n n n

Allo stesso modo, π

 

 

sin

π π π

     

 

n n

π π π

= = = ⋅ =

2 2 2 2

     

lim S lim nr tan r lim tan r lim lim cos r

π

π

, cos

n cir critto      

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞

n n n

n n n n n

n π

Dopo secoli di indagini, e di calcoli sempre più complessi, i decimali del non

π

Johann Lambert

mostravano alcuna periodicità, fino a che, nel 1761, dimostrò che è

Ferdinand von Lindemann

irrazionale. Successivamente, nel 1882, il matematico tedesco

π,

dimostrò che trattandosi di un numero trascendente, non è esprimibile con un radicale

quadratico.

L’antico problema della quadratura del cerchio trovò una risposta negativa.

Il metodo di esaustione di Archimede si ritrova alla base del calcolo integrale

sviluppato venti secoli più tardi. limite derivazione

Insieme all’operazione di e di , che ne è uno sviluppo diretto, la terza

fondamentale operazione del calcolo infinitesimale è l’integrazione. Va notato, però, che, dal

punto di vista storico, i tre concetti si sono susseguiti esattamente nel verso opposto: gli

studi sulla “quadratura di figure piane” (legati al concetto di integrale) si possono far risalire

all’antichità, si pensi, per esempio, al metodo di esaustione, opera di Archimede. Il problema

di determinare la tangente ad una curva comincia solo in tempi più moderni, quando, nel

1629, Fermat ne espone un metodo molto simile a quello con cui si calcolano oggi le

derivate. Qui emerge per la prima volta il concetto di infinitesimo, che, però, verrà esplicitato

successivamente da Newton e Leibniz (a quest’ultimo si deve la nascita del calcolo

infinitesimale). Infine, la definizione del concetto di limite, che è alla base teorica dell’attuale

analisi infinitesimale, fu enunciata solo nel 1859, dopo quindici anni di studi, dal matematico

8

tedesco Karl Weierstrass. Fino ad allora, infatti, si era sempre avuto un approccio di

carattere più intuitivo che rigoroso al concetto di limite.

Il concetto di integrale nasce in relazione a problemi relativi al calcolo delle misure di

lunghezze, aree o volumi. Il problema fu affrontato e brillantemente risolto dai matematici

greci con il concetto di esaustione, in epoca moderna, invece, uno dei primi ad affrontare un

Due nuove scienze

problema vicino al moderno concetto di integrale fu Galileo Galilei. Nel

questi dimostra che l’area sottesa dalla curva rappresentante la velocità in funzione del

tempo rappresenta lo spazio percorso; tuttavia, non aveva ancora i mezzi necessari per

generalizzare i concetti. Fino al XVII secolo, infatti, i matematici potevano risolvere problemi in

molti casi particolari, ma non possedevano un metodo generalizzato: il calcolo integrale

continuava ad essere un concetto geometrico , la cui definizione difettava in rigore. Ma ciò

non deve stupire in quanto, come già detto, gran parte dei risultati nell’ambito dell’analisi

infinitesimale furono raggiunti prima che si arrivasse ad una rigorosa definizione di limite,

Augustin-

necessaria per conferire ai risultati raggiunti solide basi teoriche. Solo nel 1823

Luis Cauchy diede una definizione rigorosa di integrale, dimostrando anche il teorema

fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli - Barrow).

Integrale Definito In alcune applicazioni è necessario calcolare con

esattezza l’area della regione di piano delimitata dal grafico di

una funzione y = f(x) e dall’asse delle ascisse.