Seconda Prova Matematica 2008

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Per una migliore consultazione, si forniscono, dapprima, le soluzioni (ove possibile). Di seguito, poi, lo svolgimento degli esercizi (corredati di soluzione finale)

SOLUZIONI

PROBLEMA 1

[math] \frac{a}{2} \le x \le \frac{ \sqrt3}{2}a [/math]

b) Area del quadrilatero:

[math] S(x)=- \frac{\pi}{4}x^2 + \frac{\pi}{3}ax + a^2 \( \frac{\sqrt3}{8}- \frac{\pi}{6} \) [/math]

[math] a^2 \( \frac{\sqrt3}{8}- \frac{\pi}{6} \( \frac{17}{8}- \sqrt3 \) \) [/math]

per

[math] x= \frac{a \sqrt3}{2} [/math]

c) Area massima del rettangolo:

[math] a^2 \frac{\sqrt3}{16} [/math]

d) Volume:

[math] V= \frac{a^3}{16} [/math]

Problema 2

a) Area tra le due semicirconferenze:

[math] A= 2 \( \frac{\pi}{3}- \frac{\sqrt3}{4} \) [/math]

b) Area del rettangolo:

[math] A=1 [/math]

c) Rapporto tra le due superfici:

[math] S(x)= \frac{1+ \cos x }{|\cos x|} [/math]

QUESTIONARIO

3) Raggio di base

[math] r= \sqrt{ \frac{S}{3 \pi}} [/math]

, Volume

[math] V= \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{3 \pi}} [/math]

5) Polinomio:

[math] y=-x^3+x^2 [/math]

[math] n=7 [/math]

7) 1 soluzione per

[math] k4 [/math]

, 3 soluzioni per

[math] 0 \ge k \ge 4 [/math]

di cui 1 distinta e due coincidenti per

[math] k=0 \ \ k=4 [/math]

8 ) Entrambe positive

9) non esiste il limite

10) percentuale di inclinazione:

[math] p \approx 7,1% [/math]

Angolo di inclinazione

[math] x= \arctan 0,071 \approx 4,06^{\circ} [/math]

PROBLEMA 1

a)
Il triangolo ha gli angoli:

[math] A \hat{C} B = \frac{\pi}{2} [/math]

[math] C \hat{B} A = \frac{\pi}{3} [/math]

[math] C \hat{A} B = \frac{\pi}{6} [/math]

Ed e' pertanto meta' di un triangolo equilatero, con ipotenusa (ipotesi del problema)

[math] \bar{AB}=a [/math]

e dunque:

[math] \bar{CA}= \frac{a}{2} [/math]

[math] \bar{CB}= \frac{ \sqrt3}{2}a [/math]

Si consideri ora

[math] \bar{PB}=x [/math]

come imposto dal problema (e di conseguenza anche

[math] \bar{QB}=x [/math]

)

La lunghezza massima che il raggio x puo' assumere, corrispondera' pertanto alla lunghezza di CB (l'arco di circonferenza di lunghezza superiore non avrebbe intersezioni con il cateto CB)

Analogamente si procede nel ragionamento del raggio dell'arco di circonferenza con centro in A.

Il raggio della circonferenza "consequenziale" sara'

[math] \bar{AP}= \bar{AR}=a-x [/math]

e potra' assumere lunghezza massima pari a

[math] \frac{a}{2} [/math]

Pertanto

[math] a-x= \frac{a}{2} \to x= \frac{a}{2} [/math]

Pertanto la costruzione sara' realizzabile per

[math] \frac{a}{2} \le x \le \frac{\sqrt3}{2}a [/math]

La superficie del triangolo mistilineo PQCR e' data dalla differenza tra l'Area del triangolo ABC e le aree dei due settori circolari.

Calcoliamo l'Area del triangolo ABC, di cui conosciamo i cateti.

Pertanto

[math] A_{ABC}= \frac{ \frac{a}{2} \cdot \frac{ \sqrt3}{2}a}{2} = \frac{\sqrt3}{8}a^2[/math]

L'area dei settori circolari corrispondera' :
l'area della circonferenza (

[math] \pi r^2 [/math]

) corrisponde a meta' dell'angolo sotteso dalla circonferenza (espresso in radianti) per il quadrato del raggio..
Analogamente il settore circolare corrispondera' al quadrato del raggio moltiplicato per meta' dell'angolo sotteso dall'arco di circonferenza.

Dunque avremo:

per il settore circolare BPQ, l'area sara':

[math] \frac{\pi}{12} x^2 [/math]

Mentre per il settore APR, l'area sara':

[math] \frac{\pi}{6}(a-x)^2 = \frac{\pi}{3}(a^2-2ax+x^2) [/math]

Dunque l'area del quadrilatero mistilineo CQPR sara' :

[math] A_{(CQPR)}=A_{(ABC)}-A_{(APR)}-A_{(BQP)} [/math]

E dunque

[math] \frac{ \sqrt3}{8}a^2- \frac{\pi}{12}x^2- \frac{\pi}{6}(a-x)^2 = \frac{ \sqrt3}{8}a^2- \frac{\pi}{12} (3x^2- 4ax+2a^2)[/math]

Al fine di trovare i valori di massimo e minimo della superficie, possiamo agire in due modi diversi:

Possiamo considerare che la superficie e' rappresentata da una costante a cui viene tolto

[math] \frac{\pi}{12} [/math]

della funzione parabola.

La parabola

[math] f(x)=3x^2-4ax+2a^2 [/math]

e' una parabola con concavita' verso l'alto, il cui valore massimo (che quindi rende minimo il valore della superficie) e' nel vertice.

Piu' correttamente, pero', sarebbe procedere con la derivata prima della funzione

[math] S(x) [/math]

Il primo addendo, ha derivata nulla (e' una costante).

Pertanto

[math] S'(x)= \frac{ \pi}{12} (6x-4a) [/math]

Essa sara' > 0 per

[math] x> \frac23 a [/math]

e minore di zero in

[math] x

Pertanto per

[math] x= \frac23 a [/math]

avremo un punto di massimo, e pertanto l'Area del quadrilatero sara':

[math] \frac{ \sqrt3}{8}a^2- \frac{\pi}{12} (3 \( \frac23 a \) ^2- 4a\( \frac23 a \)+2a^2)= \frac{a^2}{2} \( \frac{ \sqrt3}{4}- \frac{\pi}{9} \)[/math]

I valori di minimo della superficie, saranno invece rappresentati dai valori imposti dalle limitazioni iniziali.

Infatti, dallo studio della derivata prima, abbiamo visto che la funzione cresce fino a

[math] x= \frac23 [/math]

e poi decresce, pertanto dal momento che la costruzione e' realizzabile nell'intervallo chiuso

[math] \[ \frac{a}{2} , \frac{ \sqrt3}{2}a \] [/math]

, in uno dei due estremi avremo il minimo assoluto.

Sara' pertanto opportuno calcolare i valori delle superfici, nei punti di frontiera, stabilendone la minore.

Dal momento che dall'Area del triangolo vengono sottratte le aree dei settori circolari, sara' sufficiente, dunque, calcolare i valori che queste due aree assumono agli estremi e prendere la somma maggiore (che tolta all'area del triangolo dara' la superficie minore del quadrilatero mistilineo).

Pertanto:

[math] \frac{\pi}{12}x^2+ \frac{\pi}{6}(a-x)^2= \frac{\pi}{6} \( \frac12x^2+(a-x)^2 \) [/math]

Ora possiamo studiare il valore massimo che la somma dei settori circolari puo' assumere (lasciando di conseguenza area minima al quadrilatero mistilineo)

Consideriamo

[math] f(x)= \frac12 x^2+(a-x)^2 [/math]

(la costante puo' essere trascurata)

[math] f(x)= \frac12 x^2+a^2-2ax+x^2 \to f(x)= \frac32x^2-2ax+a^2 [/math]

[math] f'(x)=3x-2a [/math]

Essa si annulla in

[math] x= \frac{2}{3}a [/math]

che pero' non ricade nel campo di esistenza.

Pertanto non si puo' fare altro che procedere per sostituzione.

Sostituiamo, dunque, i due valori limite del campo di esistenza.

[math] f \( \frac{a}{2} \)= \frac32 \( \frac{a^2}{4} \)-2a \frac{a}{2} + a^2 = \frac38 a^2 [/math]

[math] f \( \frac{ \sqrt3}{2}a \)= \frac32 \( \frac34 a^2 \)-2a \frac{\sqrt3}{2}a + a^2 = a^2(\frac{17}{8}- \sqrt3) [/math]

Essendo

[math] (\frac{17}{8}- \sqrt3) > \frac38 [/math]

per

[math] x= \frac{ \sqrt3}{2} [/math]

avremo superficie maggiore della somma dei settori circolari e pertanto area minore per il quadrilatero mistilineo.

L'area del quadrilatero sara' dunque

[math] a^2 \( \frac{ \sqrt3}{8} - \frac{\pi}{6} \( \frac{17}{8}- \sqrt3 \) \) [/math]

Si tracci l'altezza CH relativa all'ipotenusa.
Il triangolo CHB e' simile al triangolo ACB (in quanto entrambi rettangoli e con l'angolo

[math] \hat{B} [/math]

in comune.

Pertanto varra' la proporzione

[math] \bar{AC} : \bar{AB} = \bar{CH} : \bar{CB} [/math]

E dunque

[math] \bar{CH}= \frac{a \cdot \frac{\sqrt3 a}{2}}{ \frac{a}{2}}= \frac{ \sqrt3}{4} a [/math]

Si ponga h, l'altezza del rettangolo.

Avremo dunque che

[math] 0 \le h \le \ \frac{ \sqrt3}{4} [/math]

Consideriamo ora il triangolo GCF anch'esso simile al triangolo ACB (le rette AB e GF sono parallele pertanto CA e CB sono due trasversali e, per il Teorema di Talete, segnano angoli corrispondenti congruenti).

L'altezza del triangolo GCF sara'

[math] \frac{ \sqrt3}{4}a-h [/math]

Grazie alla proporzione tra le altezze, ricaviamo la lunghezza di GF, ipotenusa del triangolo GCF e base del rettangolo oggetto di studio.

Quindi

[math] \bar{GF}: \bar{AB} = \bar{CK} : \bar{CH} [/math]

Da cui

[math] \bar{GF}= \frac{a \cdot \( \frac{ \sqrt3}{4}a-h \) }{a \frac{ \sqrt3}{4}}=a- \frac{4 \sqrt3}{3}h [/math]

L'area del rettangolo sara' dunque

[math] A(h)= h \( a- \frac{ 4 \sqrt3}{3}h \) = - \frac{ 4 \sqrt3}{3}h^2+ah [/math]

Che e' una parabola con concavita' verso il basso che avra' pertanto nel vertice il suo punto di massimo.

L'ascissa del vertice sara'

[math] x_V=- \frac{b}{2a} =- \frac{a}{- \frac{ 8 \sqrt3}{3}}= \frac{3a}{8 \sqrt3} [/math]

che razionalizzato da' luogo a

[math] \frac{3a \sqrt3}{8 \cdot 3}= \frac{\sqrt3}{8}a [/math]

E pertanto l'Area massima del rettangolo sara'

[math] a \frac{ \sqrt3}{8} \(a-a \frac{4 \sqrt3}{3} \cdot \frac{ \sqrt3}{8} \)= a^2 \frac{ \sqrt3}{16} [/math]

Analogamente si poteva procedere con lo studio della derivata prima:

[math] A'(h)= - \frac{8 \sqrt3}{3}h+a [/math]

Che si annulla in

[math] h= \frac{3a}{8 \sqrt3} [/math]

(razionalizzato), e' positiva per

[math] h e pertanto nel punto critico ha un massimo.

Le sezioni sono tutti quadrati:
Partendo dal vertice A i lati di questi quadrati saranno progressivamente maggiori avvicinandoci alla sezione che generera' un quadrato di lato pari all'altezza CH e successivamente sempre piu' piccoli fino al raggiungimento del vertice B.

E' necessario, pertanto, studiare il volume del solido, sommando il volume del solido con sezione i quadrati di lato compreso tra 0 e CH e poi da CH a 0 (in corrispondenza di B)

Consideriamo dunque il solido con le sezioni comprese tra A e CH.

Questo solido e' una piramide, a base quadrata, di lato CH a altezza AH.

Pertanto avra' un volume pari a

[math] V_1= \frac13 \bar{AH} \bar{CH}^2 [/math]

Il solido con le sezioni comprese tra CH e B sara' anch'esso una piramide, a base quadrata di lato CH e altezza BH

[math] V_2= \frac13 \bar{HB} \bar{CH}^2 [/math]

Pertanto il volume totale del solido sara' dato da

[math] V_{TOT}= V_1+V_2= \frac13 \bar{AH} \bar{CH}^2 + \frac13 \bar{HB} \bar{CH}^2 [/math]

E dunque, raccogliendo a fattore comune:

[math] \frac13 \bar{CH}^2 \( \bar{AH}+ \bar{HB} \) = \frac13 \bar{CH}^2 \bar{AB} = \frac13 \cdot a \cdot \( \frac{\sqrt3}{4}a \)^2 = \frac{a^3}{16} [/math]

Volendo studiare, invece, il volume del solido attraverso l'uso delle nozioni di analisi:

Si ponga x la distanza dal vertice A ad una sezione generica del solito (ovvero il alto del quadrato)

Considerando la discussione precedente, avremo che

[math]0 \le x \le \frac{a}{4} [/math]

dal momento che

[math] \bar{AH}= \frac{a}{4} [/math]

Il rapporto tra il lato del quadrato (cateto) e dell'altezza del solido (x) sara' fisso e pari alla tangente dell'angolo opposto al cateto-lato del quadrato.

Da qui otterremo che

[math] l= x \tan \( \frac{\pi}{3} \)=x \sqrt3 [/math]

Pertanto l'area del quadrato di base sara'

[math] 3x^2 [/math]

Analogamente procederemo con il secondo solido, da cui ricaveremo il alto del quadrato come prodotto della tangente dell'angolo

[math] \hat{B} [/math]

per il cateto

[math]a-x [/math]

, cateto che avra' esistenza solo quando

[math] 0 \le a-x \le \bar{BH} \to 0 \le x \le \frac34a [/math]

Analogamente il lato del quadrato, dunque, sara'

[math] l= (a-x) \tan \( \frac{\pi}{6} \) = \frac{ \sqrt3}{3}(a-x) [/math]

E dunque l'area del quadrato di base sara'

[math] A=\frac13 (a-x)^2 [/math]

Il volume totale del solido, dunque, sara' la somma dei 2 volumi, calcolabili con l'integrale definito nelle limitazioni di cui sopra:

[math] V_{TOT}= \int_0^{\frac{a}{4}}3x^2dx+ \int_{\frac{a}{4}}^a \frac{(a-x)^2}{3}dx [/math]

E dunque

[math] V_{TOT}= \[x^3 \]_0^{\frac{a}{4}}- \[\frac{(a-x)^3}{9} \]_{\frac{a}{4}}^a = \frac{a^3}{64}+ \frac{3a^3}{64}= \frac{a^3}{16} [/math]

PROBLEMA 2

Si tracci il raggio comune alle due semicirconferenze

[math] \bar{CC'}[/math]

e si indichi con R e S i due punti di intersezione tra le due semicirconferenze.

Si evidenzi il triangolo

[math] CC'S[/math]

e si noti che:

- il lato

[math] \bar{CC'} [/math]

e' il raggio comune
- il lato

[math] \bar{CS} [/math]

e' raggio della semicirconferenza con centro in C
- il lato

[math] \bar{C'S} [/math]

e' il raggio della semicirconferenza con centro in C'.

Il triangolo in questione, dunque, e' un triangolo equilatero.

Inoltre la corda

[math] \bar{RS} [/math]

comune alle due semicirconferenze, divide l'insieme piano di intersezione tra i due semicerchi (di cui si vuole ricavare la superficie) in due parti uguali.

Pertanto sara' sufficiente calcolare la superficie di un settore circolare (ad esempio

[math] RSC [/math]

e raddoppiarne il valore, per concludere l'esercizio.

Consideriamo dunque l'area del settore circolare racchiuso dai due raggi

[math] \bar{CR} [/math]

[math] \bar{CS} [/math]

e dall'arco di circonferenza

[math]RC'S[/math]

Ricordando che l'area di un settore circolare e'

[math] \frac12 \pi r^2 \theta [/math]

dove

[math] \theta [/math]

e' l'angolo (in radianti) al centro, e che , per quanto detto sopra, il triangolo CSC'(equilatero)=triangolo CRC', concluderemo che l'angolo

[math] \theta = \frac23 \pi [/math]

e pertanto l'area del settore circolare sara'

[math] A_{sett.circ}= \frac12 \pi \r^2 \frac23 \pi= \frac{\pi}{3} [/math]

(si ricordi che il raggio e' unitario).

Dal settore circolare trovato, toglieremo la superficie del triangolo isoscele CRS di cui possiamo calcolare:

la base: grazie al triangolo rettangolo (meta' del triangolo isoscele) di cui conosciamo ipotenusa

[math] \bar{CS} = r = 1 [/math]

e l'angolo opposto.

Detto K il punto di intersezione tra

[math] \bar{RS} [/math]

[math] \bar{CC'} [/math]

avremo:

[math] \bar{SK}= \bar{CS} \sin K \hat{C} S = 1 \sin \frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt3 }{2}[/math]

Pertanto

[math] \bar{RS}=2 \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3 [/math]

l'altezza: analogamente sara'

[math] \bar{CS} \cos K \hat{C} S = \cos \frac{\pi}{3}= \frac12 [/math]

L'area del triangolo isoscele CRS dunque sara'

[math] \frac12 \cdot \frac12 \sqrt3= \frac{ \sqrt3}{4} [/math]

L'area della porzione di circonferenza RC'S sara' dunque

[math] \frac{\pi}{3}- \frac{\sqrt3}{4} [/math]

e l'area dell'insieme di piano intersezione dei due semicerchi

[math] 2 \( \frac{\pi}{3} - \frac{ \sqrt3}{4} \) [/math]

Il problema poteva essere risolto anche analiticamente.

Si considerino, in un piano cartesiano xOy le due circonferenze.

Per comodita' di scelta, l'asse delle ordinate passera' per i centir delle circonferenze, e poniamo il centro C all'origine degli assi.

La circonferenza a cui appartiene la semicirconferenza passante per AB sara' la circonferenza goniometrica,

[math] x^2+y^2=1 [/math]

La seconda circonferenza, identica alla precedente, subira' una traslazione pari a 1 (il centro C' avra' dunque x=0 e y=1) verso l'alto.

Pertanto, traslando, sara'

[math] x^2+(y-1)^2=1 \to x^2+y^2-2y+1=1 \to x^2+y^2-2y=0 [/math]

I punti di intersezione tra le due circonferenza (ovvero i punti R ed S) saranno

[math] \{x^2+y^2=1 \\ x^2+y^2-2y=0 [/math]

Da cui, con il metodo di riduzione (ovvero sottraendo dalla prima equazione, la seconda)

[math] \{ x^2+y^2=1 \\ y= \frac12 [/math]

Sostituendo i valori di y alla circonferenza, otterremo dunque

[math] R \( - \frac{\sqrt3}{2}, \frac12 \) [/math]

[math] S \( \frac{\sqrt3}{2}, \frac12 \)[/math]

Un ultimo accorgimento, necessario al calcolo dell'area compresa tra due curve attraverso il metodo di integrazione, e' che le curve siano funzioni.

Si ricordi che la circonferenza non e' una funzione, dal momento che non esiste corrispondenza biunivoca tra immagini e controimmagini (ovvero ad ogni valore di y e' associato piu' di un valore di x).

A tal proposito, dunque, sara' necessario considerare solo le semicirconferenze, utili alla soluzione del problema, che costituiscono pertanto due funzioni.

Della circonferenza con centro nell'origine, considereremo

[math] y= \pm \sqrt{-x^2+1} [/math]

considereremo solo il "pezzo" positivo (ovvero l'arco con concavita' verso il basso)

Mentre per la circonferenza "traslata", considereremo

[math] x^2+(y-1)^2=1 \to (y-1)^2=-x^2+1 \to y-1= \pm \sqrt{-x^2+1} \\ y=1 \pm \sqrt{-x^2+1}[/math]

Di cui considereremo solo la semicirconferenza con concavita' verso l'alto, e dunque

[math] y= 1 - \sqrt{-x^2+1} [/math]

A questo punto e' possibile procedere al calcolo dell'Area racchiusa tra le due funzioni, per i vaoli di x compresi tra R e S:

[math] S= \int_{- \frac{ \sqrt3}{2}}^{\frac{\sqrt3}{2}} \( \sqrt{1-x^2}- \( 1- \sqrt{1-x^2} \) \)dx [/math]

Calcoliamone l'integrale indefinito:

[math] \int \( \sqrt{1-x^2}- \( 1- \sqrt{1-x^2} \) \)dx = \int \( \sqrt{1-x^2}- 1+ \sqrt{1-x^2} \) \)dx = \\ = \int 2 \sqrt{1-x^2}+1 dx = 2 \int \sqrt{1-x^2} - \int dx [/math]

Integriamo per parti il primo addendo:

[math] \int \sqrt{1-x^2} dx = x \sqrt{1-x^2} - \int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int x\sqrt{1-x^2}- \int \frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \\ = x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}- \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx [/math]

Da cui, ricordando che

[math] \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx= \arcsin (x) [/math]

e che

[math] \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}= (1-x^2)(1-x^2)^{- \frac12} = (1-x^2)^{\frac12} = \sqrt{1-x^2} [/math]

Avremo in conclusione

[math] \int \sqrt{1-x^2} dx = x \sqrt{1-x^2}+ \arcsin (x) - \int \sqrt{1-x^2} dx [/math]

ovvero che l'integrale iniziale e' dato dalla somma dei primi due addendi meno se stesso, (che pertanto rappresenta dunque una costante).

E pertanto

[math] 2 \int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+ \arcsin (x) + K [/math]

da cui

[math] \int\sqrt{1-x^2}dx= \frac12 \[ x\sqrt{1-x^2}+ \arcsin (x) \] +k [/math]

Infine, per il secondo addendo dell'integrale iniziale, sara' banalmente

[math]\int d(x)= x [/math]

Pertanto l'integrale definito nell'intervallo sara'

[math] \int_{- \frac{ \sqrt3}{2}}^{ \frac{\sqrt3}{2}} \( 2 \sqrt{1-x^2} - 1 \) dx = 4 \[x\sqrt{1-x^2}+ \arcsin (x) \]_{- \frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{\sqrt3}{2}} \ \ \ - \[ x \]_{- \frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{\sqrt3}{2}} [/math]

Da cui sostituendo e risolvendo, si ottiene il risultato del primo procedimento.

Sarebbe stato utile notare che la prima funzione integranda

[math] \sqrt{1-x^2} [/math]

e' una funzione pari (infatti

[math] \sqrt{1-x^2}= \sqrt{1-(-x)^2} [/math]

) e dal momento che anche l'intervallo di studio dell'integrale definito e' simmetrico (ovvero siamo nel caso

[math] \int_{-a}^{a} [/math]

) si sarebbe potuto studiare il primo integrale nell'intervallo

[math] [0, \frac{\sqrt3}{2} ][/math]

raddoppiandone poi il valore.

Avremmo cosi' ottenuto:

[math] 2 \[ x\sqrt{1-x^2}+ \arcsin (x) \]_0^{\frac{\sqrt3}{2} - \ \ \[ x \]_{- \frac{\sqrt3}{2}}^{\frac{\sqrt3}{2} [/math]

ottenendo comunque il medesimo risultato:

[math] A=2 \( - \frac{\sqrt3}{4}+ \frac{\pi}{3} \) [/math]

Si tracci il rettangolo generico CDEF, con base CD sul diamtero e i vertici EF sulla semicirconferenza.

Poniamo la base del rettangolo

[math] \bar{CD}=2x[/math]

E pertanto le limitazioni saranno

[math] 0 \le x \le 2 \to 0 \le x \le 1 [/math]

Pertanto, ricordando che il raggio della semicirconferenza e' 1 e che la base del rettangolo e' simmetrica rispetto al centro della semicirconferenza, avremo

[math] \bar{AC}= \bar{DB}=(1-x) [/math]

E di conseguenza

[math] \bar{AD}= \bar{CB}=(1+x) [/math]

Si tracci ora il triangolo AFB che, in quanto inscritto in una semicirconferenza, sara' rettangolo in F.

Questo triangolo avra' l'altezza CF relativa all'ipotenusa corrispondente all'altezza del rettangolo.

Per il secondo teorema di Euclide, dal momento che sono esplicite le proiezioni dei cateti AF e FB sull'ipotenusa AB, avremo che

[math] \bar{CF}= \sqrt{(1-x)(1+x)}= \sqrt{1-x^2} [/math]

Pertanto l'Area del rettangolo sara'

[math] S(x)=2x \sqrt{1-x^2} [/math]

Al fine di trovare il valore di x tale che la superficie sia massima, deriviamo, ricordando la regola della derivata del prodotto

[math]f(x)=g(x)h(x) \to f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) [/math]

avremo

[math] S'(x)=2 \sqrt{1-x^2}+2x \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{2(1-x^2)-2x^2}{\sqrt{1-x^2} [/math]

Nel dominio, il denominatore e' sempre positivo, pertanto dara' il segno alla derivata il numeratore:

[math]-4x^2+2>0 \to x^2

Ricordando le limitazioni geometriche avremo dunque un punto di massimo per il valore

[math] x= \frac{\sqrt2}{2} [/math]

di conseguenza

[math] S(x)=2x \sqrt{1-x^2}= 2 \frac{\sqrt2}{2} \sqrt{1- \frac12}= 1 [/math]

Dai dati del problema posto x l'angolo suggerito dal testo, avremo che l'angolo potra' avere ampiezza

[math] 0 \le x \le \pi [/math]

[math] \bar{PH}= \sin x [/math]

, che avra' lunghezza positiva per ogni valore che l'angolo possa assumere;

[math] \bar{CH}= \cos x [/math]

. Qui e' da notare che se l'angolo assume un'ampiezza superiore a

[math] \frac{\pi}{2} [/math]

, il valore del coseno assume valori negativi.

Detto questo, occorrera': o studiare i due casi, ovvero studiare la figura per i valori

[math] 0 \le x \le \frac{\pi}{2} [/math]

[math] \frac{\pi}{2} e quindi considerare

[math] \bar{CH}= \{ \cos x \ \ per \ \ 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \\ - \cos x \ \ per \ \ \frac{\pi}{2}

che si traduce, per quanto detto,

[math] \bar{CH}= | \cos x | [/math]

Infine, essendo

[math] \bar{AH}=\bar{AC}+ \bar{CH} [/math]

ed essendo

[math] \bar{AC}=r=1 [/math]

[math] \bar{AH}= 1 + \cos x [/math]

. Il valore di cos x, in questo caso, andra' preso opportunamente positivo e negativo, in modo che CH venga rispettivamente aggiunto e tolto dal raggio.

Avremo dunque:

[math] S_1(x)= \frac{(1+ \cos x)( \sin x)}{2} [/math]

[math] S_2(x)= \frac{ |cos x | \sin x}{2} [/math]

E pertanto

[math] f(x)=\frac{\frac{(1+ \cos x)( \sin x)}{2}}{\frac{ |cos x | \sin x}{2}}= \frac{1+ \cos x}{|cos x|} [/math]

Con

[math] \cos x \ne 0 \to x \ne \frac{\pi}{2} [/math]

Consideriamo che:

la funzione da studiare e' rapporto tra due funzioni periodiche di periodo

[math] 2 \pi [/math]

e mantiene il periodo. Pertanto sara' sufficiente studiare la funzione in

[math] [0, 2 \pi] [/math]

;

Il valore assoluto al denominatore interviene solo nell'intervallo

[math] \( \frac{\pi}{2}, \frac32 \pi \) [/math]

. Anziche' studiare la funzione in due pezzi, sara' sufficiente studiare la funzione priva del valore assoluto, avendo cura di considerare i valori della funzione, per x appartenente all'intervallo, "ribaltati" per simmetria rispetto all'asse x.
In parole semplicistice, tutta la funzione che studieremo in quell'intervallo, avra' i valori "rovesciati" rispetto all'asse x, e quindi la positivita' (ovvero la funzione nell'intervallo sara' negativa e quindi dovra' essere considerata positiva) la crescenza/decrescenza (saranno invertite, ovvero dove la funzione senza valore assoluto nell'intervallo cresce, in realta' decresce e viceversa) la concavita'(dove risultera' verso il basso sara' verso l'alto e viceversa). Pertanto anche eventuali punti critici (massimi o minimi) saranno in verita' minimi e massimi.

Premesso questo, studiamo dunque la funzione

[math] f(x)= \frac{1+ \cos x}{\cos x} [/math]

Dominio

[math] \cos x \ne 0 \to x \ne \frac{\pi}{2} \ U \ x \ne \frac32 \pi [/math]

[math] D: \[ 0, \frac{\pi}{2} \) \ U \ \( \frac{\pi}{2}, \frac32 \pi \) \ U \ \( \frac32 \pi, 2\pi \] [/math]

Simmetrie

Sapendo che

[math] \cos (-x)= \cos x [/math]

avremo

[math] f(-x)= \frac{1+ \cso (-x)}{\cos (-x)}= \frac{1+ \cos x}{\cos x} = f(x) [/math]

La funzione e' pari e dunque simmetrica rispetto all'asse y.

In verita' abbiamo gia' ridotto, per la periodicita' della funzione, l'intervallo di studio. Il fatto che la funzione sia pari, dunque, e periodica, ci permette di ridurre ulteriormente l'intervallo di studio, dimezzandolo.

Otterremo cosi' la funzione da

[math] 0 [/math]

[math] \pi [/math]

per studio, da

[math]- \pi [/math]

[math] 0 [/math]

per simmetria e di conseguenza da

[math] \pi [/math]

[math] 2 \pi [/math]

per il periodo (sara' dunque la stessa funzione che avremo tracciato per

[math] \[ - \pi, 0 \] [/math]

continueremo dunque a studiare la funzione, nell'intervallo

[math] [0, \pi] [/math]

Intersezione con gli assi

Asse delle ordinate: Equazione x=0

[math] f(0)=\frac{1+ \cos 0}{\cos 0}= 2 [/math]

Asse delle ascisse: Equazione y=0

[math] \frac{1+ \cos x}{\cos x}=0 \to 1+ \cos x=0 \to \cos x= -1 \to x= \pi [/math]

Positivita'

[math] f(x)>0 \to \frac{1+ \cos x}{\cos x} > 0 [/math]

Il numeratore e' sempre positivo (o tutt'al piu' nullo), dal momento che aggiungiamo/togliamo ad 1 un valore compreso tra -1 e 1.

Quindi, ad eccezione del punto di intersezione

[math] x= \pi [/math]

il numeratore e' sempre positivo

Denominatore > 0

[math] \cos x > 0 \to 0 \ge x \ge \frac{\pi}{2} [/math]

(ricordando l'intervallo di studio, si omette il secondo intervallo di soluzione

[math] \( \frac32 \pi, 2 \pi \) [/math]

Ricordando inoltre che in

[math] \( \frac{\pi}{2}, \pi \) [/math]

i valori trovati devono essere "ribaltati", la funzione sara' dunque sempre positiva (quando non si annulla)

Comportamento nei punti di discontinuita': eventuali asintoti verticali

[math] \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x)= + \infty [/math]

[math] \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x)= - \infty [/math]

Il secondo limite appartiene gia' all'intervallo che dobbiamo "ribaltare" pertanto anch'esso tendera' a +infinito

Altri asintoti

La funzione e' periodica, pertanto non potra' avere ne' asintoti orizzontali ne' asintoti obliqui.

Studio della derivata prima

[math] f'(x)= \frac{- \sin x ( \cos x ) - ( 1 + \cos x)(- \sin x)}{\cos^2 }= \frac{\sin x}{\cos^2 x} [/math]

Denominatore sempre positivo (nel dominio), numeratore > 0 se

[math] \sin x > 0 \to 0

Pertanto la funzione, nell'intervallo di studio, crescerebbe sempre, ma ricordando che in

[math] \( \frac{\pi}{2}, \pi \) [/math]

i valori sono ribaltati, avremo che la funzione cresce in

[math] \( 0, \frac{\pi}{2} \) [/math]

e decresce in

[math] ( \frac{\pi}{2}, \pi \) [/math]

[math] x= 0 [/math]

avremo un punto di minimo relativo, in

[math] x= \pi [/math]

, punto di massimo, avremo un punto di minimo per "ribaltamento".

Studio della derivata seconda

[math] f''(x)= \frac{ \cos x (\cos^2 x) - \sin x (2 \cos x)(- \sin x)}{\cos^4 x} = \frac{\cos^3 x + 2 \sin^2 \cos x}{\cos^4 x}[/math]

E dunque

[math] f''(x)= \frac{ \no{ \cos x} ( \cos^2x+2 \sin^2 x)}{ \cos^{\no4}^3}= \frac{ \cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x}{\cos^3 x} [/math]

Ricordando che

[math] \sin^2 x+ \cos^2 x = 1 [/math]

[math] f''(x)= \frac{1+ \sin^2 x}{\cos^3 x }[/math]

Il numeratore e' sempre positivo, il denominatore, che pertanto da' il segno alla frazione, lo sara' per

[math] 0

Ricordando che per

[math] \frac{\pi}{2} i valori dovranno essere ribaltati, anche in questo intervallo, in cui la derivata e' negativa, la concavita' sara verso l'alto.

Pertanto tutta la funzione ha concavita' verso l'alto, e non aveno valori ulteriori che annullano la derivta seconda, non avremo punti di flesso.

La funzione dunque sara' la seguente:

QUESTIONARIO

L'enunciato e' falso.

Per motivare, dunque, e' sufficiente fornire una prova che dimostri che l'enunicato non ha validita'.

Si consideri lo stesso solido, ad esempio un parallelepipedo a base quadrata e spigolo diverso dal lato di base (che altrimenti renderebbe il parallelepipedo un cubo), e lo si sezioni con piani paralleli alla base e paralleli ad una faccia laterale.

Nonostante si stia procedendo alla sezione dello stesso solido (e quindi di uguale volume) avremo sezioni di superficie pari alla base (e quindi al quadrato), nel primo caso, e pari alla faccia laterale nel secondo (e quindi al rettangolo).

Le superfici dunque saranno rispettivamente (detto l il lato di base e h l'altezza, con

[math] l \ne h [/math]

[math] S_1=l^2 [/math]

[math] S_2=l \cdot h [/math]

Se le superfici fossero uguali, avremmo

[math] l^2=l \cdot h \to l=h [/math]

che contraddice l'ipotesi iniziale.

Si consideri uno dei 10 triangoli isoscele che vengono a formarsi dalla divisione del decagono tramite le diagonali.

L'angolo al vertice di ogni triangolo (il decagono e' regolare, pertanto i triangoli isoscele saranno tutti congruenti e gli angoli dei vertici, dunque tutti uguali) misurera'

[math] \frac{\pi}{5} [/math]

ovvero un decimo dell'angolo giro.

Il lato di ogni triangolo isoscele, invece, altro non sara' che il raggio della circonferenza circoscritta.

Dal momento che il lato e' sezione aurea del raggio, posto un lato AB, avremo che:

[math] r= \bar{AB} \frac{\sqrt5+1}{2} [/math]

da cui

[math] \bar{AB}= \frac{2r}{\sqrt5 + 1 } [/math]

da cui, razionalizzando

[math] \bar{AB} \frac{2r}{\sqrt5+1} \cdot \frac{ \sqrt5-1}{\sqrt5-1}= \frac{2r (\sqrt5-1)}{5-4}= \frac{r (\sqrt5 - 1)}{2} [/math]

Tracciamo l'altezza di un triangolo isoscele, che generera' due triangoli rettangoli di ipotenusa = r ed angolo pari a

[math] \frac{\pi}{10} [/math]

ovvero meta' dell'angolo del vertice del triangolo isoscele.

Il cateto opposto all'angolo, meta' della base del triangolo isoscele, sara' dunque

[math] r \sin \frac{\pi}{10} [/math]

e dunque la base del triangolo isoscele sara'

[math] \bar{AB}=2r \sin \frac{\pi}{10} [/math]

Per quanto detto sopra

[math] 2r \sin \frac{\pi}{10}= \frac{r (\sqrt5 - 1)}{2} \to \sin \frac{\pi}{10}= \frac{ \sqrt5 - 1}{4} [/math]

La superficie totale del cilindro e'

[math] S= \pi r^2 + 2 \pi r h [/math]

Mentre il Volume e'

[math] V= \pi h r^2 [/math]

Dal momento che variano raggio e altezza, mentre la superficie rimane invariata, possiamo trovare l'altezza in funzione del raggio:

[math] h= \frac{S- \pi r^2}{2 \pi r} [/math]

ricordando pero' che la superficie di base non potra' mai superare la superficie totale, pertanto (nel caso limite di altezza 0) avremo

[math] \pi r^2 che, trattandosi di lunghezze geometriche, significhera'

[math] 0 .

Il Volume dunque sara'

[math] V(r)= \pi \( \frac{S- \pi r^2}{2 \pi r} r^2= \frac{rS-\pi r^3}{2} [/math]

Deriviamo il volume e otteniamo

[math] V'(r)= \frac{S-3 \pi r^2}{2} [/math]

Ne studiamo la positivita' e la negativita':

[math] S-3 \pi r^2 >0 \to - \sqrt{\frac{S}{3 \pi}} che sempre in base alle limitazioni del problema dara'

[math] 0

Pertanto la funzione V(x) cresce nell'intervallo di cui sopra, avendo il suo massimo per

[math] r= \sqrt{\frac{S}{3 \pi} [/math]

Il Volume dunque sara'

[math] \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{3 \pi}} [/math]

Attraverso la regola di de l'Hopital, dal momento che le funzioni:

- sono definite a + infinito (entrambe esistono)
- sono derivabili a + infinito
- tendono entrambe a infinito

Allora il limite del rapporto e' uguale al limite del rapporto delle derivate.

Deriviamo il numeratore:

[math] f(x)=x^{2008} [/math]

[math] f'(x)=2008x^{2007} [/math]

[math] f''(x)=(2008 \cdot 2007)x^{2006} [/math]

e cosi' via.

Avremo, dopo aver derivato 2008 volte il numeratore,

[math] 2008!x^0=2008! [/math]

(Ricordiamo che 2008! e' il prodotto di 2008 per tutti i numeri interi che lo precedono)

Denominatore:

[math] g(x)=2^x \to g'(x)= \ln 2 2^x \to g''(x)= ( \log 2)^2 2^x [/math]

E pertanto derivando g(x) 2008 volte avremo

[math] ( \log 2)^{2008}2^x [/math]

Dal momento che la derivata ultima del numeratore e' un numero (2008!) e il denominatore tende a + infinito,

[math] \lim_{x \to + \infty} \frac{2008!}{( \log 2 )^{2008} 2^x}= 0 [/math]

essendo (brutalmente)

[math] \frac{2008!}{+ \infty} = 0[/math]

L'esercizio richiede di trovare un polinomio di terzo grado, della forma, dunque, generica:

[math] P(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/math]

Essendo

[math]P(0)=0 \to 0a+0b+0c+d=0 \to d=0[/math]

Ed essendo

[math] P'(x)=3ax^2+2bx+c [/math]

Avremo

[math] P'(0)=a0+b0+c=0 \to c=0 [/math]

Inoltre

[math]P(1)=1^2a+1b=0 \to a=-b [/math]

Il polinomio, con le conclusioni tratte finora, sara':

[math] P(x)=-bx^3+bx^2 [/math]

L'integrale dunque sara'

[math] \int -b(x^3-x^2)dx= -b \int (x^3-x^2)dx= -b \(\frac14x^4- \frac13x^3 \) +C [/math]

E dunque l'integrale definito sara'

[math] \[ -b \(\frac14x^4- \frac13x^3 \) ]_0^1=-b \(0-(\frac14-\frac13 \) \)= \frac{b}{12} [/math]

E quindi

[math] \frac{b}{12}= \frac{1}{12} \to b=1 [/math]

e quindi

[math] a=-1 [/math]

Il polinomio cercato sara' dunque

[math] P(x)=-x^3+x^2 [/math]

Una successione e' in progressione aritmetica se la differenza tra un elemento e il precedente e' pari ad una costante (detta ragione della serie)

Pertanto dovra' essere

[math] \binom{n}{3} - \binom{n}{2}= \binom{n}{2}- \binom{n}{1} [/math]

da cui

[math] \binom{n}{3}-2 \binom{n}{2}+ \binom{n}{1}=0 [/math]

Ricordando che

[math] \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} [/math]

Avremo (ad esempio)

[math] \binom{n}{3}= \frac{n!}{3! (n-3)!}= \frac{n(n-1)(n-2)\no{(n-3)!}}{3! (\no{(n-3)!}}= \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}= \frac{n(n-1)(n-2)}{6} [/math]

E dunque l'equazione sara'

[math] \frac{n(n-1)(n-2)}{6}-2 \frac{n(n-1)}{2}+n=0 \to \frac{n^3-3n^2+2n-6n^2+6n+6n}{6}=0 \\ n^3-9n^2+14n=0 \to n(n^2-9n+14)=0 \to n(n-2)(n-7)=0 [/math]

Che ha soluzioni per

[math] n=0,n=2,n=7[/math]

di cui sara' accettabile solo n=7, per quanto imposto dal problema (n>3)

Avremo dunque

[math] \binom{7}{3}- \binom{7}{2}= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}- \frac{7 \cdot 6}{2}= 14 [/math]

Analogamente

[math] \binom{7}{2}- \binom{7}{1}= \frac{7 \cdot 6}{2}-7=14 [/math]

C.v.d.

Dal momento che

[math] x^3-3x^2=-k [/math]

posto

[math] y=x^3-3x^2=y [/math]

avremo dunque

[math]y=-k [/math]

Si tratta di rappresentare il fascio di rette

[math] y=-k [/math]

e le rispettive intersezioni con la cubica

[math] y=x^3-3x^2 [/math]

La cubica ha dominio senza limitazioni, intersezioni con l'asse y in (0,0) e con l'asse x in

[math] x^2(x-3)=0 \to x=0 [/math]

[math] x=3 [/math]

, positiva in

[math] x > 3 [/math]

Sara' inoltre

[math] \lim_{x \to + \infty} x^3 \( 1- \no{\frac{3}{x}}^0 \) = + \infty [/math]

E analogamente per

[math] x \to - \infty [/math]

la funzione

[math] \to - \infty [/math]

Infine

[math] y'=3x^2-6x \to y'=x(3x-6) [/math]

Da cui si evince un massimo in

[math]x=0 \ y=0[/math]

e un minimo in

[math] x=2 \ y=-4 [/math]

Le intersezioni del fascio di rette parallele saranno dunque:

[math] -k>0 \to k 1 soluzione

[math] 0 \le k \le 4 [/math]

3 soluzioni (in k=0 e k=4 saranno una reale e distinta e due reali e coincidenti)

[math] k>4 [/math]

1 soluzione

Pertanto

[math] k4 [/math]

1 soluzione

[math] 0 \le k \le 4 [/math]

3 soluzioni

8 )

La funzione ha limitazioni sul dominio imposte da

[math] x^{\pi} [/math]

che e' definita solo per

[math] x > 0 [/math]

pertanto il dominio sara':

[math] D: (0, + \infty) [/math]

La derivata prima sara' data dalla differenza tra le derivate dei singoli addendi, pertanto

[math] f'(x)=\log \pi \cdot \pi^x- \pi \cdot x^{(\pi-1)} [/math]

Da cui

[math] f' \( \pi \)=\log \pi \cdot \pi^x- \pi \pi^{(\pi-1)}= \pi^{\pi} \( \log \pi -1) [/math]

il primo fattore e' positivo, mentre essendo

[math] \pi >e [/math]

avremo

[math] \log \pi > \log e [/math]

pertanto

[math] \log \pi > 1 [/math]

e quindi

[math] \log \pi - 1 > 0 [/math]

La derivata prima dunque sara' positiva.

Analogamente

[math] f''(x)= \log^2 \pi \cdot \pi^x - \pi ( \pi-1) x^{(\pi-2)} [/math]

E dunque

[math] f''(\pi)= \log^2 \pi \cdot \pi^{\pi}- \pi (\pi-1) \pi^{(\pi-2)} [/math]

Il secondo addendo potra' essere riscritto come (ricordando che

[math] a^m \cdot a^n= a^{(m+n)} [/math]

) eseguendo la moltiplicazione

[math] (\pi-1) \cdot \pi\cdot \pi^{(\pi-2)}= (\pi^2-\pi) \pi^{(\pi-2)}= \\ = \pi^2 \pi^{(\pi-2)}- \pi \cdot \pi^{(\pi-2)}= \pi^{(\pi-2+2)}- \pi^{(\pi-2+1)}= \pi^{\pi}- \pi^{(\pi-1) [/math]

e quindi

[math] f''(\pi)= \pi^{\pi} \log^2 - \pi^{\pi}+ \pi^{(\pi-1)} [/math]

Da cui raccogliendo a fattore parziale ai primi due addendi:

[math] f''(\pi)= \pi^{\pi} \( \log^2 \pi -1 \) + \pi^{\pi-1} [/math]

concluderemo che, trattandosi di prodotto di un valore positivo (

[math] \pi^{\pi} [/math]

per un valore anch'esso positivo (

[math] \log^2 \pi - 1 [/math]

per analogo ragionamento al precedente) a cui aggiungiamo un'ulteriore quantita' positiva (

[math] \pi^{(\pi-1)} [/math]

) sara' anch'esso positivo

L'argomento del valore assoluto sara':

[math] x-1>0 \to x>1 [/math]

e pertanto in questo intervallo, il valore assoluto e' inutile, dal momento che l'argomento e' positivo

[math] x-1 e dunque per tutti i valori dell'intervallo, il valore assoluto cambiera' il segno.

Abbiamo quindi la fnzione definita come:

[math] f(x)= \{ \frac{x^2-1}{x-1} \ \ x>1 \\ \frac{x^2-1}{-(x-1)} \ \ x

E dunque, dal momento che

[math] x^2-1=(x+1)(x-1) [/math]

avremo

[math] f(x)= \{ x+1 \ \ x>1 \\ -x-1 \ \ x

Calcoliamo il limite sinistro e destro del punto in questione.

Per

[math] x \to 1^+ [/math]

considereremo la prima funzione del sistema mentre per

[math] x \to 1^- [/math]

il secondo.

Avremo

[math] \lim_{x \to 1^+} x+1 = 2 [/math]

[math] \lim_{x \to 1^-} -x-1= -2 [/math]

Dal momento che i limiti sono diversi, il limite richiesto non esiste (e x=1 non e' pertanto punto di accumulazione).

I due limiti (sinistro e destro) esistono e sono finiti, ma diversi, pertanto avremo una discontinuita' di prima specie.

10)

si consideri un triangolo rettangolo di ipotenusa 1,2 km (=1200 m ) e cateto 85 m.

Per il teorema di Pitagora, avremo che il cateto mancante sara'

[math] \sqrt{1200^2-85^2} \approx 1196,99 m [/math]

pertanto la percentuale di inclinazione (ovvero il rapporto tra l'altezza e la lunghezza in piano) sara':

[math] \frac{85}{1196,99} \approx 7,1% [/math]

e, dal momento che l'angolo di inclinazione (che chiamiamo x) sara'

[math] \tan x = \frac{85}{1196,99} \to x= \arctan \( \frac{85}{1196,99 \) \approx 4,06^{\circ} [/math]

Seconda Prova Matematica 2008 - Soluzione

Soluzione della seconda prova di matematica assegnata all'esame stato di liceo scientifico, corso tradizionale, sessione ordinaria (tema di matematica e questionario)

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