[math]g'(x) = - \frac{10}{x^2} , ossia sia decrescente al crescere dei minuti di conversazione effettuati e asintotica a
, costo delle chiamate al minuto di conversazione. Da tale osservazione si deduce anche che tale funzione è monotona decrescente e quindi priva di massimi e minimi relativi.
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. Si nota, inoltre, che
[math]x_1 > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 \le x_0 e che
[math]\begin{aligned} \lim_{x_0 \to 100^-} \frac{200\,x_0 + 0}{100 - x_0} = +\infty \end{aligned}\\[/math]
,
[math]\begin{aligned} \lim_{x_0 \to 100^+} \frac{200\,x_0 + 0}{100 - x_0} = -\infty \end{aligned}\\[/math]
. Dunque il grafico di tale iperbole risulta essere:
"INSERIRE GRAFICO DI x1 PER x0 > 0
e il significato di tale asintoto verticale significa che per avere il dimezzamento del costo medio al minuto occorre avvicinarsi ai 100 minuti di conversazioni effettuate.
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3. L'arco di curva che delimita la parte superiore della zona rappresentata in Figura 1, essendo il grafico di una funzione polinomiale di secondo grado, si ha:
[math]P(x) := a\,x^2 + b\,x + c[/math]
. Imponendo il passaggio per i punti
[math]A(0,\,2)[/math]
,
[math]B\left(2,\,\frac{7}{2}\right)[/math]
,
[math]C(4,\,4)\\[/math]
, si ottiene:
[math]\begin{cases} P(0) = 2 \\ P(2) = \frac{7}{2} \\ P(4) = 4 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} 2 = a\,0^2 + b\,0 + c \\ \frac{7}{2} = a\,2^2 + b\,2 + c \\ 4 = a\,4^2 + b\,4 + c \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} a = - \frac{1}{8}\\ b = 1 \\ c = 2 \end{cases} \\[/math]
ossia:
[math]P(x) = - \frac{1}{8}x^2 + x + 2[/math]
. Dunque, l'area della porzione di piano delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta
[math]x = 6[/math]
e dal grafico di
[math]P\\[/math]
è pari ad:
[math]A = \int_0^6 P(x)\,dx = -\frac{1}{8}\int_0^6 x^2\,dx + \int_0^6 x\,dx + 2\int_0^6 dx = 21\\[/math]
ed essendo
[math]A_Z = \frac{1\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}[/math]
l'area della zona Z non coperta dal segnale telefonico, segue che:
[math]A : 100\% = A_Z : p \; \Leftrightarrow \; p = 100\,\frac{A_Z}{A} \approx 2.38\% \,,\\ [/math]
ossia la zona coperta dal segnale risulta pari a
[math]100\% - 2.38\% = 97.62\%[/math]
e quindi
non è come riportato nel sito web consultato ove è riportato
[math]96\%[/math]
.
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4. Introducendo un sovrapprezzo di
[math]10[/math]
centesimi per ogni minuto di conversazione per
[math]x > 500\,min[/math]
, si ottengono rispettivamente le seguenti funzioni definite a tratti:
[math]f(x) := \begin{cases} \frac{1}{10}x + 10 & per \; 0 \le x \le 500 \\ \frac{2}{10}x + 10 & per \; x > 500 \end{cases} \; \; \; ; \; \; \; g(x) := \begin{cases} \frac{1}{10} + \frac{10}{x} & per \; 0 500 \end{cases} \; .\\[/math]
Rispetto al punto primo, ora tali funzioni in
[math]x = 500\,min\\[/math]
presentano rispettivamente un punto di discontinuità, essendo:
[math]\begin{aligned}f_{-}(500) = 60 \ne f_{+}(500) = 110 \; \; e \; \; g_{-}(500) = \frac{3}{25} \ne g_{+}(500) = \frac{11}{50} \end{aligned}\\[/math]
mentre solo
[math]f[/math]
presente un punto di non derivabilità essendo:
[math]\begin{aligned}f_{-}'(500) = \frac{1}{10} \ne f_{+}'(500) = \frac{1}{5} \; \; e \; \; g_{-}'(500) = -\frac{1}{25000} = g_{+}'(500) \end{aligned}[/math]
L'asintoto orizzontale di
[math]g[/math]
ora ha equazione cartesiana
[math]\begin{aligned}y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{10} + \frac{10}{x} = \frac{1}{5}\end{aligned}[/math]
, mentre per quanto riguarda monotonia non cambia nulla in quanto tali funzioni sono composizione di funzioni con la medesima monotonia.
Per quanto concerne eventuali punti di massimo e minimo assoluti di
[math]g[/math]
essendo
[math]g'(x) \ge 0[/math]
per alcun x non negativo e
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} g'(x) = 0 \end{aligned}[/math]
,
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} g'(x) = 0 \end{aligned}[/math]
presenta solamente un minimo assoluto che vale
[math]g(500) = \frac{3}{25}[/math]
, mentre per quanto riguarda
[math]g'[/math]
essendo monotona crescente non presenta punti stazionari. Sostanzialmente questi ultimi fatti implicano che una volta superati i
[math]500\,min[/math]
di conversazione il costo medio comincia a crescere per via del sovrapprezzo imposto su tali chiamate.
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