1. Dal momento che la spesa totale mensile è data dalla somma del canone mensile e della spesa dovuta alle telefonate al minuto, indicando con
[math]x[/math]
i minuti di conversazione ed
[math]f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\\[/math]
la funzione che indica la spesa totale mensile, si ha:
[math]f(x) := \frac{1}{10}x + 10\,.[/math]
Il grafico di tale funzione è banalmente una semiretta posta nel primo quadrante del piano cartesiano
[math]x,y[/math]
di coefficiente angolare
[math]m = \frac{1}{10}[/math]
e
[math]q = 10\\[/math]
:
"INSERIRE GRAFICO DI f PER x >= 0"
Essendo
[math]f[/math]
una funzione che indica la spesa totale mensile ha senso che
[math]f'(x) = \frac{1}{10} > 0 \; \; \forall\,x \in \mathbb{R}^+[/math]
, ossia sia crescente al crescere dei minuti di conversazione effettuati.
Per quanto riguardo il costo medio al minuto, facendo riferimento alla definizione (di carattere economico) di costo medio secondo cui esso è il rapporto tra la spesa totale e la quantità considerata, la funzione
[math]g : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\\[/math]
indicante il costo medio al minuto, si ha:
[math]g(x) := \frac{f(x)}{x} = \frac{1\cdot x + 100}{10\cdot x + 0} \; .[/math]
Il grafico di
[math]g[/math]
risulta essere un ramo di iperbole equilatera traslata posta nel primo quadrante, di centro
[math]\left(0,\,\frac{1}{10}\right)[/math]
e semiassi lunghi
[math]2\sqrt{5}\\[/math]
:
"INSERIRE GRAFICO DI g PER x > 0"
Essendo
[math]g[/math]
una funzione che indica il costo medio al minuto ha senso che
[math]g'(x) = - \frac{10}{x^2} > 0 \; \; \forall\,x \in \mathbb{R}^+[/math]
, ossia sia decrescente al crescere dei minuti di conversazione effettuati e asintotica a
[math]y = \frac{1}{10}[/math]
per
[math]x \to +\infty[/math]
, costo delle chiamate al minuto di conversazione.
Da tale osservazione si deduce anche che tale funzione è monotona decrescente e quindi priva di massimi e minimi relativi.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2. Detto
[math]x_0\\[/math]
il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, allora:
[math]g(x_1) = \frac{g(x_0)}{2} \; \Leftrightarrow \; \frac{1}{10} + \frac{10}{x_1} = \frac{1}{20} + \frac{5}{x_0} \; \Leftrightarrow \; x_1 = \frac{200\,x_0 + 0}{100 - x_0} \; . \\[/math]
Il grafico della funzione che esprime
[math]x_1[/math]
in funzione di
[math]x_0[/math]
risulta essere una iperbole equilatera traslata, di centro
[math]\left(100,\,-200\right)[/math]
. Si nota, inoltre, che
[math]x_1 > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 \le x_0 > 100[/math]
e che
[math]\begin{aligned} \lim_{x_0 \to 100^-} \frac{200\,x_0 + 0}{100 - x_0} = +\infty \end{aligned}\\[/math]
,
[math]\begin{aligned} \lim_{x_0 \to 100^+} \frac{200\,x_0 + 0}{100 - x_0} = -\infty \end{aligned}\\[/math]
. Dunque il grafico di tale iperbole risulta essere:
"INSERIRE GRAFICO DI x1 PER x0 > 0
e il significato di tale asintoto verticale significa che per avere il dimezzamento del costo medio al minuto occorre avvicinarsi ai 100 minuti di conversazioni effettuate.
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3. L'arco di curva che delimita la parte superiore della zona rappresentata in Figura 1, essendo il grafico di una funzione polinomiale di secondo grado, si ha:
[math]P(x) := a\,x^2 + b\,x + c[/math]
. Imponendo il passaggio per i punti
[math]A(0,\,2)[/math]
,
[math]B\left(2,\,\frac{7}{2}\right)[/math]
,
[math]C(4,\,4)\\[/math]
, si ottiene:
[math]\begin{cases} P(0) = 2 \\ P(2) = \frac{7}{2} \\ P(4) = 4 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} 2 = a\,0^2 + b\,0 + c \\ \frac{7}{2} = a\,2^2 + b\,2 + c \\ 4 = a\,4^2 + b\,4 + c \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} a = - \frac{1}{8}\\ b = 1 \\ c = 2 \end{cases} \\[/math]
ossia:
[math]P(x) = - \frac{1}{8}x^2 + x + 2[/math]
. Dunque, l'area della porzione di piano delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta
[math]x = 6[/math]
e dal grafico di
[math]P\\[/math]
è pari ad:
[math]A = \int_0^6 P(x)\,dx = -\frac{1}{8}\int_0^6 x^2\,dx + \int_0^6 x\,dx + 2\int_0^6 dx = 21\\[/math]
ed essendo
[math]A_Z = \frac{1\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}[/math]
l'area della zona Z non coperta dal segnale telefonico, segue che:
[math]A : 100\% = A_Z : p \; \Leftrightarrow \; p = 100\,\frac{A_Z}{A} \approx 2.38\% \,,\\ [/math]
ossia la zona coperta dal segnale risulta pari a
[math]100\% - 2.38\% = 97.62\%[/math]
e quindi
non è come riportato nel sito web consultato ove è riportato
[math]96\%[/math]
.
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4. Introducendo un sovrapprezzo di
[math]10[/math]
centesimi per ogni minuto di conversazione per
[math]x > 500\,min[/math]
, si ottengono rispettivamente le seguenti funzioni definite a tratti:
[math]f(x) := \begin{cases} \frac{1}{10}x + 10 & per \; 0 \le x \le 500 \\ \frac{2}{10}x + 10 & per \; x > 500 \end{cases} \; \; \; ; \; \; \; g(x) := \begin{cases} \frac{1}{10} + \frac{10}{x} & per \; 0 > x \le 500 \\ \frac{2}{10} + \frac{10}{x} & per \; x > 500 \end{cases} \; .\\[/math]
Rispetto al punto primo, ora tali funzioni in
[math]x = 500\,min\\[/math]
presentano rispettivamente un punto di discontinuità, essendo:
[math]\begin{aligned}f_{-}(500) = 60 \ne f_{+}(500) = 110 \; \; e \; \; g_{-}(500) = \frac{3}{25} \ne g_{+}(500) = \frac{11}{50} \end{aligned}\\[/math]
mentre solo
[math]f[/math]
presente un punto di non derivabilità essendo:
[math]\begin{aligned}f_{-}'(500) = \frac{1}{10} \ne f_{+}'(500) = \frac{1}{5} \; \; e \; \; g_{-}'(500) = -\frac{1}{25000} = g_{+}'(500) \end{aligned}[/math]
L'asintoto orizzontale di
[math]g[/math]
ora ha equazione cartesiana
[math]\begin{aligned}y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{10} + \frac{10}{x} = \frac{1}{5}\end{aligned}[/math]
, mentre per quanto riguarda monotonia non cambia nulla in quanto tali funzioni sono composizione di funzioni con la medesima monotonia.
Per quanto concerne eventuali punti di massimo e minimo assoluti di
[math]g[/math]
essendo
[math]g'(x) \ge 0[/math]
per alcun x non negativo e
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} g'(x) = 0 \end{aligned}[/math]
,
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} g'(x) = 0 \end{aligned}[/math]
presenta solamente un minimo assoluto che vale
[math]g(500) = \frac{3}{25}[/math]
, mentre per quanto riguarda
[math]g'[/math]
essendo monotona crescente non presenta punti stazionari. Sostanzialmente questi ultimi fatti implicano che una volta superati i
[math]500\,min[/math]
di conversazione il costo medio comincia a crescere per via del sovrapprezzo imposto su tali chiamate.
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