i) Per calcolare la probabilità richiesta possiamo sfruttare i risultati ottenuti dal teorema del limite centrale; sappiamo infatti che la quantità
[math] \frac{X - μ}{σ} [/math]
è una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard per n abbastanza grande. Quindi possiamo procedere nel seguente modo:
[math] P(X>5) = P(\frac{X - μ}{σ} > \frac {5 - μ}{σ})[/math]
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
[math] P(\frac{X - μ}{σ} > \frac{5 - 4}{\sqrt(25)}) = P(\frac{X - μ}{σ} > \frac{1}{5} ) = 1 - P(\frac{X - μ}{σ}
Se introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard, abbiamo che:
[math] 1 - P(\frac{X - μ}{σ}
Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:
[math] 1 - Φ(0,2) = 1 - 0,57296 = 0,42074 [/math]
ii) Dato che la media del campione non è conosciuta, sappiamo che un intervallo di confidenza per la media della distribuzione è della forma seguente:
[math] I = [\bar x_n - \frac{σ}{sqrt(n)} ϕ_{1-α/2} , \bar x_n - \frac{σ}{sqrt(n)} ϕ_{1-α/2} ] [/math]
dove
[math]σ[/math]
è la deviazione standard del campione, [math]ϕ_{1-α/2}[/math]
è il quantile di ordine [math]1-α/2[/math]
della distribuzione normale standard e [math]\bar x_n[/math]
è la media campionaria.Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 400[/math]
[math]\bar x_n = 3,6[/math]
[math]σ^2 = 25[/math]
to [math]σ = 5[/math]
[math]1-α = 0,95[/math]
to [math]1-α/2 = 0,975[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine
[math]1-α/2[/math]
è 1,96. Avendo a disposizione tutti i dati necessari, possiamo determinare l'intervallo di confidenza richiesto:
[math] I = [ 3,6 - \frac{5}{\sqrt(400)} \cdot 1,96 ; 3,6 + \frac{5}{\sqrt(400)} \cdot 1,96 ] = [ 3,6 - \frac{5}{20} \cdot 1,96 ; 3,6 + \frac{5}{20} \cdot 1,96 ] = [/math]
[math] [ 3,6 - 0,49 ; 3,6 + 0,49 ] = [3,11 ; 4,09] [/math]
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