1998 - Sessione suppletiva PNI problema 1

Problema 1 Sessione suppletiva PNI 1998 Soluzione a cura di Nicola de Rosa

Punto b ( ) ( )

= =

y s x e y d x

tracci le linee di equazione ;

Il grafico di − <

 2 2 x se x 0



( ) = + = ≤ <



s x x x- 2 2 se 0 x 2

 − ≥

2 x 2 se x 2



è di seguito presentato: − <

 2 se x 0



( ) ( ) ( )

= − = = = − ≤ <



d x PO PA f x con f x x - x- 2 2 x 2 se 0 x 2

Il grafico di lo si ricava dal

 ≥

2 se x 2



( )

f x

grafico di ribaltando verso le ordinate positive le parti di grafico al di sotto dell’asse delle

− <

 2 se x 0



( ) = = − ≤ <



f x x - x- 2 2 x 2 se 0 x 2

ascisse. Il grafico di è di seguito presentato:

 ≥

2 se x 2



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< ∨ ≥

 2 se x 0 x 2



( ) ( )

= = − ≤ <



d x f x 2 x 2 se 0 x 1

Il grafico di è di seguito presentato:

 − ≤ <

2 2 x se 1 x 2



Punto c ( )

s x

=

y ;

tracci, quindi, la linea C di equazione ( )

d x +

x x- 2

( ) = + =

s x x x- 2

Poiché la funzione è strettamente positiva, la funzione y può essere

x - x- 2

( )

+ +

x x- 2 x x- 2 s x

= = =

y

scritta nel seguente modo , per cui il grafico di y lo si ricava dal

( )

−

x x- 2 d x

x - x- 2

+

x x- 2

( ) =

g x

grafico di ribaltando verso le ordinate positive le parti di grafico al di sotto

−

x x- 2 +

x x- 2

( ) =

g x

dell’asse delle ascisse. La funzione è equivalente a

−

x x- 2 < ∨ ≥

 x - 1 se x 0 x 2

+ 

2

x x-

( ) = =  .

g x 1

− ≤ < ∨ < <

x x- 2 se 0 x 1 1 x 2



 x-

1

+

x x- 2

( ) = =

g x

La funzione ha come grafico l’unione di due grafici, quello della retta y x - 1 in

−

x x- 2

[ [

( ) 1

− ∞ ∪ +∞ = =

,

0 2

, y di asintoto verticale

e quello della funzione omografica x 1 ed

x - 1

+ 2

x x-

[ [ ] [ ( )

∪ =

= 0

,

1 1

, 2 g x

y in . Il grafico di è di seguito presentato:

orizzontale 0 − 2

x x-

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− <



1 x se x 0

 1

 ≤ <

se 0 x 1

( ) + + −



x x- 2 x x- 2

s x 1 x

= = = = 

y è di seguito presentato:

Il grafico di ( ) − 1

d x x x- 2

x - x- 2  < <

se 1 x 2

 − 1

x

 − ≥

 x 1 se x 2

Punto d

determini la misura degli angoli formati dalle rette tangenti a C nei suoi punti angolosi;

( ) +

x x- 2 { }

s x

= = R / 1

La funzione y è continua in tutto ma presenta, oltre al punto di non

( )

d x x - x- 2

=

derivabilità x 1 , altri due punti di non derivabilità.

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− <

 x

1 se 0

 1

 ≤ <

x

se 0 1

( )

+ −

 2

x x- 2 x

1

=

= 

La derivata della funzione y

y è ' 1

x - x- 2  − < <

x

se 1 2

( )

 − 2

x 1

 ≥

 x

1 se 2

=

In x 1 la funzione presenta una cuspide con vertice in alto. Infatti

 

1

= = +∞

 

y

lim ' lim ( )

− 2

− −

→ →  

x

1

x 1 x 1  

1

= − = −∞

 

y

lim ' lim ( )

− 2

+ +

→ →  

x 1

x 1 x 1 +

x x- 2 = =

= x 0

, x 2 . Infatti si ha:

y sono i punti ad ascissa

I punti angolosi della funzione x - x- 2

( )

= − = −  

y

lim ' lim 1 1 1 = −

= −

− −

→ →  

y

lim ' lim 1

x x

0 0 ( )

− 2

− −

→ →  

x 1

x 2 x 2

  e

1

= = ( )

 

y

lim ' lim 1 = =

( ) y

lim ' lim 1 1

− 2

+ +

→ →  

x

1

x 0 x 0 + +

→ →

x 2 x 2

( ) ( )

A 0

,

1 , B 2

,

1

Le tangenti nei punti angolosi sono:

= − +

 y x 1



t : = +

A  y x 1

= − +

 y x 3



t : = −

B  y x 1 ( ) ( )

A 0

,

1 , B 2

,

1 . In conclusione le tangenti nei

e tali tangenti sono perpendicolari nei rispettivi punti

punti angolosi formano un angolo di 90°.

Punto e =

calcoli l’area della regione finita di piano compresa tra C e la retta di equazione .

y 2

L’area da calcolare è raffigurata in arancione nella figura seguente:

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