1991 - problema 1

Riconosciamo subito nelle due equazioni dei due sistemi due parabole con asse parallelo all’asse

2

p y

= −

x

delle x. In particolare rappresenta un arco di parabola del primo e quarto quadrante con

2 2 p 2

  p y

p = − +

  x

vertice in mentre rappresenta un arco di parabola del secondo e terzo

, 0

  2 2 p

2  

p

−

  .

quadrante con vertice in , 0

 

2

Tale luogo è rappresentato in figura:

Per la simmetria possiamo calcolare l’area sottesa dall’arco di parabola nel primo quadrante e poi

moltiplicare per 4. In particolare l’arco di parabola del primo quadrante avrà una equazione che

ricaviamo dall’equazione della parabola stessa:

2

p y

= − = − = ± −

⇒ ⇒

2 2 2

x y p 2 px y p 2 px e tra le due l’equazione che rappresenta l’arco

2 2 p = −

2

del primo quadrante è ovviamente y p 2 px .

Per cui l’area sarà: p p ( )

 

2 2 1

( )

1

∫ ∫

= − = − − − =

  2

2

A 4 p 2 px dx 4 2 p p 2 px dx

2

 

 

2 p

0 0

p

( ) ( )

   

3 3

2 2 4 4

2

− − = − − =

2 2 2

p 2 px p p

   

2 2

   

p 3 3 p 3

0

2  

y 2

p p p p p p p

= → = − → = → = =

B 2  

0 y y

x

Ora se per cui B , ed

B B B 0  

4 4 2 2 p 2 4

0 0 0 2 2

 

p

=   B O sarà:

per cui l’area del triangolo A

A , 0 0 0

0  

2 2

1 p p p 2

= =

A * *

A B O 2 2 8

0 o 2

L’area del triangolo AOB è : 2 x y

= =

A xy

AOB 2

Ed essendo equivalente all’area di A B O si ha:

0 0 2

2 x y p 2

= = =

A x y

AOB 2 8

Ora per calcolare i punti richiesti dalla traccia va risolto il seguente sistema:

 2

p y

= −

x

 2 2 p



 2

p 2

=

 x y

 8

 − ≤ ≤

p x p

 − ≤ ≤

 p y p

Si parte sostituendo la prima equazione nella seconda, ottenendo:

 

2 2

p y p 2

− =

  y

 

2 2 8

p

 

Che si scinde in due sottosistemi:

 

   

2 2 2 2

( )

p y p 2 p y p 2

− = − − =

   

 

y y

   

 

e

   

2 2 p 8 2 2 p 8

 

≤ ≤ − ≤ ≤

 

0 y p p y 0



 

2 2

p y p 2

− =

 

 y

 



Risolviamo il sistema  

2 2 p 8

 ≤ ≤



0 y p

L’equazione posiamo scriverla esplicitamente in questo modo: ( )

 

  2

p py p p p

− + = → − + − = → = = ± −

 

 

3 2 3 2

4 y 4 yp p 2 0 4 y y 0 y , y 5 1

 

  2

 

2 2 2 2 2

( )

p p

= = −

y , y 5 1 possono essere accettate perché positive da cui si ricava

delle quali solo 2 2 2

   

p p p p p p p

= − = → −

   

x , , ,

p

=

y    

2 4 4 4 4

2 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

     

+ + +

p p p p p p

1 6 5 5 1 5 1 5 1

     

= − − = → − − −

2

p p

x , 5 1 , , 5 1

( )      

p

= −

y 5 1 p

2 2 8 4 8 8 8

     

2 2 2 2

2 2

Risolviamo ora l’altro sistema:



 

2 2

( )

p y p 2

− − =

 

 y

 



 

p

2 2 8

 − ≤ ≤

 p y 0

L’equazione posiamo scriverla esplicitamente in questo modo: ( )

 

  2

p py p p p

− − = → + − − = → = − = ± +

 

 

3 2 3 2

4 y 4 yp p 2 0 4 y y 0 y , y 5 1

 

  2

 

2 2 2 2 2

( )

p p

= − = − −

y , y 5 1 possono essere accettate perché negative da cui si

delle quali solo 2 2 2

ricava    

p p p p p p p

= − = → − − −

   

x , , ,

   

p

= −

y 

  

2 4 4 4 4

2 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

     

+ − + − +

p p 5 1 p 5 1 p p 5 1 p

1 6 5    

 

= − + = → − − − − −

2

x p p , 5 1 , , 5 1

( )      

p

= − −

y 5 1 2 2 p 8 4 8 8 8

     

2 2 2 2

2 2

In conclusione i punti sono i seguenti:    

p p p p

−

   

, , ,

   

4 4

2 2

   

p p p p

− − −

   

, , ,

   

4 4

2 2

( ) ( )

( ) ( )

   

+ +

p 5 1 p p 5 1 p

   

− − −

, 5 1

, 5 1 ,

   

8 8

2 2 2 2

   

( ) ( )

( ) ( )

   

− + − +

p 5 1 p p 5 1 p

   

− − − − −

, 5 1 , , 5 1

   

8 8

2 2 2 2

   