1989 - problema 4

1989 Sessione ordinaria

−

2

3

4) Delle funzioni f(x) = 2x - 3x e g(x) = x 1 una non verifica nell'intervallo [-1; 2] tutte le

3 2

ipotesi del teorema di Lagrange (o del valore medio). Si dica per quale delle due ciò avviene e si

giustifichi l'affermazione. Si determinino per l'altra funzione i valori della variabile indipendente la

cui esistenza è assicurata dal teorema stesso.

SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale

di variabile reale è continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto

interno all'intervallo in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i

punti del grafico corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b].

In simboli : data [ ] →

f : a , b R [ ]

a, b

Continua in ( )

a, b

Derivabile in

allora −

( ) ( ) f (

b ) f ( a )

∃ ∈ =

'

c a , b : f c −

b a

= −

3 2

La curva di equazione f ( x ) 2 x 3 x è un polinomio di terzo grado, quindi continua e derivabile

in tutto R, per cui essa soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [-1; 2].

= −

3 2

Vediamo se l’altra curva di equazione g ( x ) x 1 soddisfa le suddette ipotesi.

Essa è certamente continua (quindi l’ipotesi di continuità è soddisfatta, per cui presumiamo ci sia un

errore nella traccia quando si afferma ‘una non verifica nell'intervallo [-1; 2] tutte le ipotesi del

teorema di Lagrange’) nell'intervallo [-1; 2], vediamo se è derivabile:

'

( ) 2 2

  −

2 1

= − = =

 

3 3

g ' x x 1 x

  3

3 3 x

Come si nota dalla derivata la funzione g(x) non è derivabile in x=0, infatti:

2

= = +∞

lim g ' ( x ) +

+

→ 0

x 0 2

= = −∞

lim g ' ( x ) −

−

→ 0

x 0

Per cui la funzione presenta in x=0 un punto di non derivabilità ed in particolare una cuspide.

Quindi essa non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.

= −

3 2

f ( x ) 2 x 3 x calcoliamo allora i punti interni all’intervallo [-1,2] che

Per la curva di equazione

soddisfano il teorema: