1987 - sessione ordinaria

Maturità scientifica ‐ sessione ordinaria 1986/1987 Soluzione a cura di Francesco Daddi

L’equazione della retta tangente alla parabola C’ nel suo punto P’ di intersezione tra C’ e la

generica retta parallela all’asse delle ordinate, ha coefficiente angolare pari a:

[ ] [ ]

= = − + = − + ;

m ' f ' ( x ) 2 x 4 2 k 4

=

= x k

x k

lo stesso ragionamento può essere fatto per la parabola C’’:

[ ] [ ]

= = − = − ;

m ' ' f ' ( x ) 2 x 2 2 k 2

=

= x k

x k = e quindi

affinché le due tangenti risultino parallele è sufficiente che risulti m ' m ' '

3 3

= =

− + = − da cui . L’equazione della retta richiesta è, perciò, la seguente: .

k x

2 k 4 2 k 2 2 2

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= − 3

2) Si studi la funzione e se ne disegni il grafico.

y x x

3 =

⎧ x mX ≠ ≠

⎨

Si sottoponga la curva alla trasformazione con e si determinino i coefficienti

m n

0

, 0

=

⎩ y nY

in modo che il segmento congiungente gli estremi relativi della curva trasformata risulti della

,

m n

stessa lunghezza e perpendicolare al segmento congiungente gli estremi relativi della curva

assegnata. Soluzione =

= − =

3

La funzione è una cubica che interseca l’asse delle ascisse per , e

x 3

y x x

3 x 0

1 2

= − = − − < <

2

. La derivata prima è ; per quindi la funzione cresce solo in

x 3 y ' 3 3 x y '> 0 1 x 1

2 − −

tale intervallo. La cubica ha minimo relativo in e massimo relativo in . Il punto di

A

( 1

; 2

) B (

1

; 2

)

flesso si trova nell’origine.

Determiniamo l’equazione cartesiana della curva trasformata: 3

m 3

m

= − = − +

3 3

da cui, ricavando ; la curva trasformata

Y , otteniamo:

nY 3

mX ( mX ) Y X X

n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 2 1 2

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ha estremi nei punti e .

C ; D ;

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

m n m n = − − + − − = =

2 2

: ; calcoliamo

Calcoliamo la lunghezza del segmento AB ( 1 1

) ( 2 2

) 20 2 5

AB 2 2

⎞

⎛ ⎞ ⎛

1 1 2 2 4 16

+ − − = +

= − −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ora la lunghezza del segmento : .

CD

CD ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2

m m n n m n

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−

y y

= =

B A

Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta : ; il coefficiente angolare

AB 2

m −

AB x x

B A

−

y y m

= =

D C

della retta , invece, risulta essere pari a: .

2

m

CD −

CD x x n

D C

A questo punto imponiamo che il segmento abbia la stessa lunghezza del segmento e sia

AB

CD

a questo perpendicolare; arriviamo a risolvere il seguente sistema nelle incognite :

,

m n

⎧ ⎧ + ⎧ ⎧

2 2

4 16 4 16

n m 1 1

+ = = = = −

⎪ 2 5 ⎪ 20 m m

⎪ ⎪

2 2 1 2

2 2

m n

⎪ m n 2 2

⎪⎪ ⎪ ⎪

⎪ → →

⎨ ⎨ ⎨ ⎨

; .

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= − =

1 1

m 2

n n 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= − = − 1 2

2 m n

⎪ ⎩ ⎩

⎪ ⎩

2 4

n

⎩

Vi sono allora due affinità che risolvono il problema:

⎧ ⎧

1 1

= = −

⎪ ⎪

x X x X

⎨ ⎨

e .

2 2

⎪⎩ ⎪⎩

= − =

y 2

Y y 2

Y

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3) In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri la funzione

−

2 x

=

y x

e se ne disegni il grafico.

Considerato l’arco della curva, essendo il punto di flesso e quello a tangente parallela

AB A B

all’asse delle ordinate, si determini il volume del solido ottenuto dalla rotazione della regione finita

di piano compresa tra l’arco , la retta e l’asse delle ascisse, di un intero giro attorno

AB OA

all’asse medesimo. Soluzione −

2 x ≥

Determiniamo il dominio della funzione; si deve avere per cui il dominio della funzione è

0

x

{ }

= ∈ ℜ < ≤ .

D x : 0 x 2

−

2 x = +∞

Poiché , si ha che l’asse delle ordinate è asintoto verticale.

lim +

→

x 0 x

Intersezione con l’asse delle ascisse:

⎧ −

2 x

=

⎪ y =

⎨ da cui ;

P ( 2

;

0

)

x

⎪ =

⎩ y 0

visto inoltre che la funzione è un radicale quadratico positivo, non può mai assumere valori

=

negativi; il punto è il suo minimo assoluto.

P ( 2

;

0

)

Calcoliamo la derivata della funzione:

− − − − − +

( 2 ) 1 2 1

1 x x x x x x

= ⋅ = ⋅ = − ;

y ' − −

− 2 2 2

2 2 2

x x x x x

2 x

2 x

il segno della derivata è sempre negativo, per cui la funzione è monotona decrescente e non

esistono né massimi né minimi relativi, né flessi a tangente orizzontale.

Studiamo la derivata seconda della funzione, dopo aver scritto in questo modo la derivata prima:

1 x x

= − = − ; applicando le regole di derivazione ricaviamo:

y ' − −

2 4 5

x 2 x 2 x x − − − − −

4 5 3 4 4 5 4

1 2 x x x (

8 x 5 x ) 1 x ( 2 x ) 4 x 6 x

= − ⋅ = − ⋅

' '

y − −

4 5 2 8 2

( 2 x x ) 2 x x ( 2 x )

x

2 −

4 5

2 x x

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− − − + − −

2 4

2 2 ( 2 3

) 3 2 2

x x x x x x

= − ⋅ =

' ' ;

y − −

8 2 2 2

2 ( 2 ) ( 2 )

x x x x x x

3

< ≤

≥

la derivata seconda è per .

0 x

0 2

3 3

= =

Per si ha un flesso a tangente obliqua, avente ordinata .

A y

x A

2 3

Determiniamo ora il punto in cui la tangente è verticale; dal momento che la derivata prima è

B

sempre negativa sul dominio della funzione, deve risultare:

1 x =

− = −∞ da cui e quindi .

x 2 B ( 2

;

0

)

lim → − B

x x 2

x 2 x

B

Il volume del solido si ottiene dalla somma del volume del cono avente vertice nell’origine, altezza

3 3

= =

e raggio uguale a , e del volume della calotta sferoidale ottenuta dalla

pari a x y

A A

2 3

rotazione dell’arco attorno all’asse delle ascisse.

AB

Abbiamo, quindi:

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2

⎛ ⎞ 2

1 3 3 ∫

⎜ ⎟

π π

= ⋅ + =

2

V f x dx

( ( ))

⎜ ⎟

3 3 2

⎝ ⎠ 3

2

π π π

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2

x

2 2 3 3

∫ ∫

π π π

+ = + − = + − − + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

dx dx

1 2 ln 2 2 2 ln

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x

6 6 6 2 2

3 3

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 9 3 1 16

π π

+ − − + = − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .

ln 4 2 ln ln

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 4 2 3 9

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4) In un sistema di assi cartesiani ortogonali si scriva l’equazione della retta r’ simmetrica, rispetto

=

alla bisettrice del primo e terzo quadrante, di una generica retta r di equazione . Si

y mx

individui la coppia di rette r ed r’ tali che il triangolo isoscele formato da esse e da una

perpendicolare alla bisettrice considerata abbia l’altezza uguale alla base.

Soluzione

La simmetria assiale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante ha le seguenti equazioni:

=

⎧ x ' y

⎨ ;

=

⎩ y ' x

= =

la generica retta viene trasformata nella retta di equazione cartesiana che, se

y mx x ' my '

1

= =

≠ =

, possiamo anche scrivere così: (se l’immagine della retta è la retta

y ' x ' y 0

m 0 m 0

m

= ).

x 0 = =

Indicati con il punto corrente su r e con il punto corrente su r’, il triangolo

P (

t , mt ) P ' ( mt , t )

isoscele avrà per base il segmento , avente lunghezza uguale a:

PP '

= − + − = ⋅ ⋅ −

2 2 ;

PP ' (

t mt ) ( mt t ) 2 t m 1

l’altezza del triangolo, invece, coincide con il segmento dove è il punto medio del

OM M

+ +

⎛ ⎞

t mt mt t

= ⎜ ⎟

: .

segmento '

PP M ;

⎝ ⎠

2 2