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(2a+x)/(a-2) -1/(2a-4)=1 scompongo in fattori i denominatori (2a+x)/(a-2) -1/(2(a-2)) =1 Condizione di esistenza a-2 e 0 arr a e 2 m.c.m. 2(a-2) (2(2a+x)-1)/(2(a-2)) = (2(a-2))/(2(a-2)) elimino il denominatore comune

Il seguente appunto spiega come trattare problemi di aritmetica relativi alle proporzioni, fornendo un esempio specifico trattando un problema sulle forniture di gas delle caldaie.

Svolgimento: int(1/(3+5x)^6)dx=1/5int((3+5x)^(-6)D(5x))dx= =1/5((3+5x)^(-5)/(-5))+c=-1/(25(3+5x)^5)+c .

Svolgimento: int(x/(sqrt(2-3x^2)))dx=-1/6int((2-3x^2)^(-1/2)(-6))dx= =-1/6int((2x-3x^2)^(-1/2)D(2-3x^2))dx=-1/6((2-3x^2)^(1/2)/(1/2))+c= =-1/3sqrt(2-3x^2)+c .

Svolgimento: int(1/(sin(x+a)))dx=int(1/(2sin((x+a)/2)cos((x+a)/2)))dx= int(1/(tg((x+a)/2)*2cos^2((x+a)/2)))dx=int((D(tg((x+a)/2)))/(tg((x+a)/2)))dx= log(|tg((x+a)/2)|)+c .

Svolgimento: Assumendo x^2 come fattore finito, si ha int(x^2sinx)dx=int(x^2D(-cosx))dx=-x^2cosx+2int(xcosx)dx= Integrando di nuovo per parti, scegliendo x come fattore finito si ha =-x^2cosx+2xsinx-2int(sinx)dx=(2-x^2)cosx+2xsinx+c .

Svolgimento: Eseguendo la sostituzione x^2=t , cioè x=sqrtt , si ha dx=(1/(2sqrtt))dt e perciò int(x^5e^(x^2))dx=int(t^2sqrtte^t*1/(2sqrtt))dt=1/2int(t^2e^t)dt Integrando per parti, si ha subito int(t^2e^t)dt=e^t(t^2-2t+2)+c da cui, ponendo...

Svolgimento: Ponendo t=cosx , risulta dx=-(dt)/(sqrt(1-t^2)) .Perciò: int_(0)^((pi)/2)(sqrt(1+cosx))dx=-int_(0)^(1)((sqrt(1+t))/(sqrt(1-t^2)))dt= int_(0)^(1)(1/(sqrt(1-t)))dt=[2sqrt(1-t)]_(0)^(1)=2 .

Svolgimento: Eseguendo la sostituzione sqrt(1+x)=t , cioè x=t^2-1, dx=2tdt , allora, per x=1,t=sqrt2 e per x=8, t=3 . Pertanto: int_(1)^(8)((sqrt(1+x))/x)dx=int_(sqrt2)^(3)((2t^2)/(t^2-1))dt= =[2t+log((t-1)/(t+1))]_(sqrt2)^(3)=6-2sqrt2+log(1/...

Svolgimento: Con la sostituzione x=t^2 ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(arctg(sqrtx))dx=int(2tarctg(t))dt=t^2arctg(t)-int(t^2/(1+t^2))dt= =t^2arctg(t)-t+arctg(t)+c=xarctg(sqrtx)-sqrtx+arctg(sqrtx)+c .

Svolgimento: Con la sostituzione x=e^t ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(cos(logx))dx=int(e^tcost)dt=1/2e^t(sint+cost)= =1/2x[sin(logx)+cos(logx)]+c .

Svolgimento: int(1/(1+e^x))dx=int((1+e^x-e^x)/(1+e^x))dx=int(dx)-int(e^x/(1+e^x))dx= =x-log(1+e^x)+c .

Svolgimento: int(1/(sinxcosx))dx=int(1/(tgxcos^2x))dx= =int((D(tgx))/(tgx))dx=log(|tgx|)+c .

Svolgimento: Applichiamo la semplice regola d'integrabilità  e otteniamo int(x^4+3x^3-5x^2-10)dx=4x^3+9x^2-10x+c .

Svolgimento: int(x^3/(sqrt(1-x^4)))dx=-1/4int((-4x^3)/(1-x^4)^(-1/2)D(1-x^4))dx= =-1/2sqrt(1-x^4)+c .

Svolgimento: Applichiamo la semplice regola d'integrabilità  e otteniamo int_(1)^(2)(1/x-1/x^2-3x^2+12x)=[logx+1/x-x^3+6x^2]_(1)^(2)= log(2)+1/2-8+24-(log(1)+1-1+6)=log(2)+21/2 .

Svolgimento: int(x/(1+x))dx=int((1+x-1)/(1+x))dx= int(1)dx-int(1/(1+x))dx=x-log(|1+x|)+c .

Svolgimento: int((3x+2)/(4x+5))dx=1/4int((12x+8)/(4x+5))dx=1/4int((12x+15-7)/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/4int(1/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/(16)int(4/(4x+5))dx= 3/4x-7/(16)log(|4x+5|)+c .

Svolgimento: int_(1)^(3)(1/(x(1+x)))dx=int_(1)^(3)((1+x-x)/(x(1+x)))dx= =int_(1)^(3)(1/x)dx-int_(1)^(3)(1/(1+x))dx= [log(|x|)-log(|1+x|)]_(1)^(3)=log(1)-log(2)-(log(3)-log(4))=log(4)-log(3)+log(2) .

Svolgimento: int(1/(mx^2+n))dx=1/nint(1/(m/nx^2+1))dx= =1/nsqrt(n/m)int((sqrt(m/n))/((sqrt(m/n)x)^2+1))dx= =1/(sqrt(nm))arctg(sqrt(m/n)x)+c .