Trigonometria problemi: Dimostrare che, se A B e C sono gli angoli di untriangolo, risulta: sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)

Daniele Grassucci
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Svolgimento: trasformando in prodotto: senA+senB+senC=2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2)+senC Essendo A,B,C angoli di un triangolo si ha: A+B=180°-C : 2cos(C/2)cos((A-B)/2)+senC Scrivendo C=(2C)/2...


Svolgimento:

trasformando in prodotto:

[math]senA+senB+senC=2sen((A+B)/2)\\cos((A-B)/2)+senC[/math]

Essendo
[math]A,B,C[/math]
angoli di un triangolo si ha:
[math]A+B=180-C[/math]
:

[math]2\\cos(C/2)\\cos((A-B)/2)+senC[/math]

Scrivendo
[math]C=(2C)/2[/math]
, si ha:

[math]2\\cos(C/2)\\cos((A-B)/2)+sen((2C)/2)=2\\cos(C/2)\\cos((A-B)/2)+2sen(C/2)\\cos(C/2)[/math]

mettendo in evidenza
[math]2\\cos(C/2)[/math]

[math]2\\cos(C/2)(\\cos((A-B)/2)+sen(C/2))[/math]

come
[math]C=180-(A+B),sen(C/2)=\\cos((A+B)/2)[/math]
,quindi:

[math]2\\cos(C/2)(\\cos((A-B)/2)+ \\cos((A+B)/2))[/math]
.

trasformando in prodotto, si ha:

[math]4\\cos(A/2)\\cos(B/2)\\cos(C/2)[/math]
.

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