Successioni e serie

Successioni e serie

Ermanno Travaglino

Una successione è una sequenza ordinata di numeri o di altre grandezze, e una serie è la somma dei termini di tale sequenza.

Una successione si rappresenta con l'espressione a₁, a₂, a_n, …, nella quale n è un intero positivo, e i termini possono essere o meno distinti; a₁ è il primo termine, a₂ il secondo, e così via.

Se l'espressione ha un ultimo termine, la successione si dice finita o, in altre parole, è composta da un numero finito di termini; nel caso contrario, essa si dice infinita.

Una successione è definita solo se esiste una regola che permette di determinare l'n-esimo termine per ogni numero intero positivo n. Ad esempio, tutti i numeri interi positivi, nel loro ordine naturale, costituiscono una successione infinita definita dalla relazione a_n = n.

La formula a_n = n² determina invece la successione 1, 4, 9, 16, …, cioè la sequenza dei quadrati dei numeri naturali.

Se si assegnano i valori 0, 1 ai primi due termini e poi si continua in modo che ogni termine sia la somma dei due termini precedenti, si ottiene la successione 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, nota come successione di Fibonacci.

Tra le successioni notevoli vi sono le successioni aritmetiche (dette anche progressioni aritmetiche), in cui è costante la differenza tra due termini consecutivi, e le successioni geometriche (o progressioni geometriche), in cui invece è costante il rapporto tra due termini consecutivi.

Come esempio, si consideri l'investimento di una data somma di denaro P. Se l'interesse dell'investimento è semplice, ed è dell'8%, dopo un numero di anni pari a n il capitale iniziale diventa P_n = P + P × (0,08)n.

Le quantità annue formano allora una progressione aritmetica, la cui ragione (la differenza costante tra due termini successivi) è (0,008)P.

Se invece l'interesse dell'investimento è composto, dopo un certo numero di anni le somme annue prendono la forma di una progressione geometrica il cui termine generale è g_n = P × (1,08)ⁿ.

In entrambi i casi è chiaro che P_n e g_n sono destinati a crescere indefinitamente all'aumentare di n.

In generale, tuttavia, i termini di una successione non necessariamente crescono senza limite.

Ad esempio, al crescere di n la successione a_n = 1/n si avvicina al valore limite 0, e b_n = A + B/n si avvicina più al valore sempre A.

In ciascuno di questi casi esiste quindi un numero finito L tale che, fissato un qualunque intervallo di tolleranza ε, i termini della successione, da un certo punto in poi, sono destinati a cadere entro l'intervallo da A − ε ad A + ε.

Ad esempio, nel caso della successione a_n = 2 + (−1)ⁿ/2n, L = 2.

Anche se assumessimo per ε un valore piccolissimo, come 1/10.000, si potrebbe dimostrare che per tutti gli n maggiori di 5000, i termini di questa successione non differiscono da 2 per più del valore ε.

Il numero L è chiamato il limite della successione, dal momento che anche se i suoi singoli termini possono essere minori o maggiori di L, alla fine si accumulano intorno al valore che esso assume.

Quando la successione ammette il valore limite L si dice che essa è convergente e che converge a L.

Allora, se la successione generica a_n converge a L, si scrive: lim_n a_n = L, e si legge «il limite di a_n per n che tende a infinito è uguale a L».

Serie

Il termine serie indica invece la somma a₁ + a₂ + … + a_n, o a₁ + a₂ + … + a_n + … dei termini di una successione.

Una serie può essere finita o infinita, a seconda che il numero di termini della successione corrispondente sia finito o infinito.

La successione s₁ = a₁, s₂ = a₁ + a₂, s₃ = a₁ + a₂ + a₃, …, s_n = a₁ + a₂ + … + a_n, …, è detta successione delle somme parziali della serie a₁ + a₂ + … + a_n + ….

La serie converge o diverge se e solo se converge o diverge la successione delle somme parziali.

Una serie si dice numerica se i suoi termini sono numeri; invece, se ogni termine è una funzione di una o più variabili, la serie è una serie di funzioni.

In particolare, una serie di potenze è una particolare serie di funzioni, data da a₀ + a₁(x − c) + a₂(x − c)² + … + a_n(x − c)ⁿ + …, in cui c e i termini a_n sono costanti.

Per le serie di potenze, determinare la convergenza o meno della serie vuol dire trovare, se esiste, l'insieme dei valori di x in corrispondenza dei quali si verifica la convergenza.

Se esiste un x per il quale la serie converge, allora l'insieme cercato è almeno quello degli x minori in valore assoluto di quello trovato.

La teoria della convergenza delle serie, elaborata dal matematico francese Augustin-Louis Cauchy intorno al 1820, ha grande importanza praticamente in ogni ramo della matematica pura e applicata.

Successioni di numeri reali

Sia f una funzione di una variabile, definita per ogni numero naturale positivo n e assumente sempre valori reali; si definisce successione di infiniti numeri reali (simbolo {a_n) l'insieme ordinato di numeri a₁ = f(1), a₂ = f(2), … a_n = f(n), ….

• lim_n→+∞ a_n = l (valore finito): successione convergente.
• Se lim_n→+∞ a_n = ±∞: successione divergente (positivamente o negativamente).
• lim_n→+∞ a_n non esiste: successione indeterminata.
• Successione limitata se esiste un numero positivo M tale che per ogni n risulta |a_n| ≤ M.
• Successione superiormente limitata se esiste un numero A tale che per ogni n sia a_n ≤ A.
• Successione inferiormente limitata se esiste un numero A tale che per ogni n sia a_n ≥ A.

Se per ogni n risulta:

• a) a_n < a_n+1: successione crescente in senso stretto.
• b) a_n ≤ a_n+1: successione crescente in senso lato.
• c) a_n > a_n+1: successione decrescente in senso stretto.
• d) a_n ≥ a_n+1: successione decrescente in senso lato.

Successione di Cauchy: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ r, s > δ: |a_r − a_s| < ε.

Teorema: una successione di numeri reali è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

Rappresentazione grafica di una successione di numeri reali:

a_n = f(n): insieme di infiniti punti isolati di coordinate (n; a_n).

Progressione aritmetica

Sequenza di numeri tale che ciascuno di essi sia maggiore o minore del precedente di una quantità costante detta ragione.