Un'urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Da essa vengono effettuate 2 estrazioni senza rimpiazzo

1. Qual è la probabilità che i due numeri estratti siano consecutivi?
2. Rispondere al quesito i) nel caso che le estrazioni avvengano con rimpiazzo;
3. Rispondere ai quesiti i) e ii) nel caso che l'urna contenga 900 palline numerate da 1 a 900;

1) Per risolvere il quesito è possibile procedere in diversi modi; in questo caso, procediamo considerando i seguenti eventi: A, l'evento in cui viene estratta al primo tentativo una pallina numerata con 1 o con 5; B, l'evento in cui viene estratta al primo tentativo una pallina numerata con 2 o con 3 o con 4; C, l'evento in cui i numeri estratti alla prima e alla seconda estrazione sono consecutivi.
La distinzione tra l'evento A e l'evento B è necessaria perché la probabilità di verificarsi dell'evento C dipende da quale tipo di pallina è stata estratta al primo tentativo. Infatti, se estraiamo una pallina marginale al primo tentativo, sarà più improbabile che la seconda estratta sia consecutiva alla prima.

Procediamo quindi considerando le probabilità condizionali; dalla definizione sappiamo che possiamo calcolare

Calcoliamo quindi tutte le probabilità in questione; poiché vi sono due palline su cinque che si trovano ai margini dell'intervallo, la probabilità dell'evento A sarà:

Allo stesso modo, poiché vi sono tre palline su cinque che si trovano nell'intervallo, non marginali, la probabilità dell'evento B sarà:

Se viene estratta una pallina marginale (ad esempio 1), ci sarà solo un'altra pallina che potrà essere estratta per far sì che le due siano consecutive (in questo caso la pallina 2), e poiché non vi sono reinserimenti, abbiamo che:

Se invece viene estratta una pallina interna (ad esempio 2), vi sono due palline che possono essere estratte in modo che la prima e la seconda siano consecutive (in questo caso la pallina 1 e la pallina 3), quindi si ha che:

Possiamo così calcolare la probabilità richiesta dal problema:

2) Supponiamo ora che le estrazioni avvengano con rimpiazzo, ovvero che dopo aver effettuato un'estrazione, la pallina venga rimessa nell'urna. Possiamo procedere con lo stesso ragionamento di prima, considerando gli stessi eventi A, B e C. Le probabilità dell'evento A e dell'evento B sono rimaste le stesse.

Cambiano invece le probabilità relative alla seconda estrazione.

Supponiamo che la prima pallina estratta sia ai margini dell'intervallo (ad esempio la pallina 1); alla seconda estrazione solo una delle palline presenti verificherà l'evento C (ovvero la pallina 2), ma in questo caso il numero totale delle palline nell'urna è sempre 5; quindi abbiamo:

Se la prima pallina estratta non è ai margini dell'intervallo, alla seconda estrazione due delle palline presenti verificheranno l'evento C, ma in questo caso il numero totale delle palline nell'urna è sempre 5; quindi abbiamo:

Procediamo calcolando la probabilità dell'evento C:

3) Per rispondere al terzo quesito possiamo procedere ragionando come in precedenza. Cominciamo dal caso senza rimpiazzo; la probabilità degli eventi A e B sarà:

La probabilità degli eventi condizionati sarà:

La probabilità dell'evento C è data da:

Consideriamo ora il caso con reinserimento; anche qui possiamo applicare gli stessi ragionamenti fatti in precedenza; abbiamo per gli eventi A e B le stesse probabilità del caso senza rimpiazzo:

Mentre per gli eventi condizionati dobbiamo considerare che il numero delle palline alla seconda estrazione è sempre 900:

La probabilità dell'evento C è data da:

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