Un'urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo

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Qual è la probabilità che le prime due palline estratte siano entrambe rosse?
Qual è la probabilità che la seconda e la terza estratta siano entrambe rosse, sapendo che la prima estratta era bianca? E se la prima estratta fosse stata rossa?
Qual è la probabilità che la seconda e la terza estratta siano entrambe rosse?

1) Il problema può essere risolto denominando con R l'evento "le prime due palline estratte sono di colore rosso"; si può procedere considerando una distribuzione ipergeometrica.

Infatti, considerando un totale di 11 palline, il numero di modi in cui possono essere estratte due palline è dato dal coefficiente binomiale:

[math]\binom{11}{2}[/math]

Consideriamo ora il numero di casi favorevoli; poiché le palline rosse sono in totale 4, esse possono essere scelte in un numero di modi dato da:

[math]\binom{4}{2}[/math]

Infine, la probabilità che nelle due prime estrazioni si abbiano entrambe le palline rosse è data da:

[math]P(R) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{11}{2}}[/math]

Svolgendo i calcoli si ha:

[math]P(R) = \frac{\frac{4!}{2!2!}}{\frac{11!}{2!9!}} = \frac{\frac{4\cdot3\cdot2!}{2!2!}}{\frac{11\cdot10\cdot9!}{2!9!}} = \frac{\frac{4\cdot3}{2}}{\frac{11\cdot10}{2}} = \frac{6}{55} \approx 0,11[/math]

2) Indichiamo con

[math]R_i[/math]

l'evento "i-esima pallina estratta è di colore rosso" e con

[math]B_i[/math]

l'evento "i-esima pallina estratta è di colore bianco"; in questo caso ci viene chiesta la probabilità seguente:

[math]P((R_2 \cap R_3)|B_1)[/math]

Se ipotizziamo che la prima pallina estratta sia di colore bianco, e dato che le estrazioni sono senza rimpiazzo, rimarranno nell'urna esattamente 10 palline. Tra queste dobbiamo estrarne altre due, e vogliamo che esse siano di colore rosso; tale estrazione può essere fatta in

[math]\binom{4}{2}[/math]

modi. Il numero di modi possibili per cui possono essere estratte la seconda e la terza pallina è invece dato da:

[math]\binom{10}{2}[/math]

Il rapporto tra le due precedenti espressioni ci fornisce la probabilità cercata:

[math]P((R_2 \cap R_3)|B_1) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}}[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math]\frac{\frac{4!}{2!2!}}{\frac{10!}{2!8!}} = \frac{\frac{4\cdot3\cdot2!}{2!2!}}{\frac{10\cdot9\cdot8!}{2!8!}} = \frac{\frac{4\cdot3}{2}}{\frac{10\cdot9}{2}} = \frac{6}{45} \approx 0,13[/math]

In maniera analoga possiamo ragionare nel caso in cui la prima estratta fosse rossa; in questo caso dobbiamo calcolare la seguente probabilità:

[math]P((R_2 \cap R_3)|R_1)[/math]

In questo caso, ipotizzando che la prima pallina estratta sia di colore rosso, tra le 10 palline rimanenti dobbiamo estrarne altre due, e vogliamo che anche esse siano di colore rosso; tale estrazione può essere fatta in

[math]\binom{3}{2}[/math]

modi, in quanto una pallina rossa era già stata estratta in precedenza. Il numero di casi totali possibili per la seconda e la terza estrazione rimane lo stesso.

La probabilità è data quindi da:

[math]P((R_2 \cap R_3)|R_1) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{10}{2}}[/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math]\frac{\frac{3!}{2!1!}}{\frac{10!}{2!8!}} = \frac{\frac{3\cdot2!}{2!1!}}{\frac{10\cdot9\cdot8!}{2!8!}} = \frac{\frac{3}{1}}{\frac{10\cdot9}{2}} = \frac{3}{45} \approx 0,066[/math]

3) In questo ultimo punto dobbiamo calcolare la probabilità che la seconda e la terza pallina estratta siano entrambe rosse, ovvero la probabilità:

[math]P(R_2 \cap R_3)[/math]

Possiamo risolvere il quesito considerando la formula delle probabilità totali, e considerando i casi in cui la prima estratta sia bianca e la prima estratta sia rossa; dobbiamo calcolare quindi la seguente probabilità:

[math]P(R_2 \cap R_3) = P((R_2 \cap R_3)|R_1) \cdot P(R_1) + P((R_2 \cap R_3)|B_1) \cdot P(B_1)[/math]

Le quantità in questione sono state già trovate nei punti precedenti; possiamo quindi procedere con i calcoli:

[math]P(R_2 \cap R_3) = P((R_2 \cap R_3)|R_1) \cdot P(R_1) + P((R_2 \cap R_3)|B_1) \cdot P(B_1)[/math]

Un'urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo

1) Qual è la probabilità che le prime due palline estratte siano entrambe rosse? 2) Qual è la probabilità che la seconda e la terza estratta siano entrambe rosse, sapendo che la prima estratta era bianca? E se la prima estratta fosse stata rossa?

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