Supponiamo che il tempo di vite di un certo modello di processore per computer sia una variabile aleatoria di media μ=10 e deviazione standard σ=5, dove l’unità di misura è 1 anno.

di _francesca.ricci

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Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità

[math]\frac{S_n - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}[/math]

si comporta come una normale standard per n molto grande (con

[math]S_n[/math]

abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

[math]P(\bar{T}{100} > 9,5) = P\left(\frac{1}{100} \cdot S{100} > 9,5\right) = P(S_{100} > 9,5 \cdot 100) = P(S_{100} > 950) = [/math]

[math]P\left(\frac{S_{100} - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} > \frac{2,3 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right)[/math]

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard, otteniamo:

[math]P(W > \frac{950 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}})[/math]

Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:

[math] P(W > \frac{950 - 100 \cdot 10}{5 \cdot \sqrt{100}}) = [/math]

[math]P(W > \frac{950 - 1000}{5 \cdot 10}) = P(W > \frac{-50}{50}) = [/math]

[math]P(W > -1) = 1 - P(W

Introduciamo la funzione

[math] \Phi [/math]

, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

[math] 1 - P(W

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di

[math] \Phi [/math]

[math] \Phi(1) = 0,8413 [/math]

2) Per la seconda parte possiamo procedere in maniera simile alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

[math]P(9,5 \leq \bar{T}_{100} \leq 10,5)[/math]

Procediamo applicando le regole per l'approssimazione normale:

[math]P(9,5 \leq \bar{T}_{100} \leq 10,5) = [/math]

[math]P(9,5 \leq \frac{1}{100} \cdot S_{100} \leq 10,5) = [/math]

[math]P(950 \leq S_{100} \leq 1050) [/math]

[math] P\left(\frac{950 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} \leq \frac{S_{100} - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} \leq \frac{1050 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right) [/math]

Introduciamo la variabile W:

[math] P\left(\frac{950 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} \leq W \leq \frac{1050 - n\mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}}\right) [/math]

Sostituiamo i valori numerici:

[math] P\left(\frac{950 - 100 \cdot 10}{5 \cdot \sqrt{100}} \leq W \leq \frac{1050 - 100 \cdot 10}{5 \cdot \sqrt{100}}\right) = [/math]

[math] P\left(\frac{950 - 1000}{5 \cdot 10} \leq W \leq \frac{1050 - 1000}{5 \cdot 10}\right) = [/math]

[math] P\left(\frac{-50}{50} \leq W \leq \frac{50}{50}\right) = [/math]

[math]P(-1 \leq W \leq 1) = P(W \leq 1) - P(W \leq -1) [/math]

Introduciamo come in precedenza la funzione Φ:

[math] P(W \leq 1) - P(W \leq -1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = [/math]

[math]\Phi(1) - [1 - \Phi(1)] = 2\Phi(1) - 1 [/math]

Dalle tabelle della normale standard ricaviamo:

[math] 2\Phi(1) - 1 = 2 \cdot 0,8413 - 1 = 0,6826 [/math]

Supponiamo che il tempo di vite di un certo modello di processore per computer sia una variabile aleatoria di media μ=10 e deviazione standard σ=5, dove l’unità di misura è 1 anno.

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