Il tempo di vita di un componente elettrico è una variabile aleatoria di media \mu = 100 (ore) e deviazione standard \sigma = 20 (ore) .

di _francesca.ricci

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1) Indichiamo con

[math]X_i[/math]

l'i-esimo componente; abbiamo per n = 16 che la media e la deviazione standard di ciascun componente valgono:

[math]E[X_i] = \mu = 100 [/math]

[math]\sqrt{Var[X_i]} = \sigma = 20 [/math]

Dal teorema del limite centrale sappiamo che la quantità

[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}}[/math]

si comporta come una normale standard per n grande, dove con

[math]S_n[/math]

abbiamo indicato la somma campionaria.

Considerando che la probabilità richiesta è:

[math] P(\bar{X}_n

possiamo procedere nel modo seguente:

[math] P(\bar{X}_n

[math] P\left(S_n

Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard, abbiamo:

[math] P\left(S_n

Dai dati del problema sappiamo che:

[math] E[S_n] = n \cdot E[X_i] = 16 \cdot 100 = 1600 [/math]

[math] \sqrt{Var[X_i]} = 20 [/math]

Quindi possiamo procedere sostituendo i valori numerici:

[math] P\left(S_n

[math] P\left(W

Introduciamo la funzione

[math] \Phi [/math]

, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

[math] P\left(W

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare il valore numerico di

[math] \Phi [/math]

[math] \Phi(0.8) = 0.7881 [/math]

2) Per il secondo punto possiamo procedere in maniera analoga alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

[math]P(98 \leq \bar{X}_n \leq 104) [/math]

Ovvero:

[math]P(98 \leq \frac{1}{n} \cdot S_n \leq 104) = P(98n \leq S_n \leq 104n)[/math]

Procediamo applicando le regole per l'approssimazione normale:

[math] P(98n \leq S_n \leq 104n) = [/math]

[math]P\left(\frac{98n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq \frac{104n - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right) = [/math]

[math] P\left(\frac{98n - E[S_n]}{\sqrt{n}} \leq W \leq \frac{104n - E[S_n]}{\sqrt{n}}\right) = [/math]

Sostituiamo i valori numerici trovati precedentemente:

[math] P\left(\frac{98 \cdot 16 - 1600}{20 \cdot 4} \leq W \leq \frac{104 \cdot 16 - 1600}{20 \cdot 4}\right) = [/math]

[math]P\left(\frac{-32}{80} \leq W \leq \frac{64}{80}\right) = [/math]

[math] P(-0.4 \leq W \leq 0.8) = P(W \leq 0.8) - P(W \leq -0.4) [/math]

Come in precedenza, introducendo la funzione

[math] \Phi [/math]

abbiamo:

[math] P(W \leq 0.8) - P(W \leq -0.4) = \Phi(0.8) - [1 - \Phi(0.4)] [/math]

Dalle tabelle otteniamo il valore numerico:

[math] \Phi(0.8) - [1 - \Phi(0.4)] = 0.6554 - 1 + 0.7881 = 0.4435 [/math]

Il tempo di vita di un componente elettrico è una variabile aleatoria di media [math] \mu = 100 (ore) [/math] e deviazione standard [math] \sigma = 20 (ore) [/math].

Se si provano 16 componenti di questo tipo, quanto vale (approssimativamente) la probabilità che la media campionaria delle loro durate sia: 1) minore di 104 ore; 2) compresa tra 98 ore e 104 ore (calcolare tali probabilità utilizzando l’approssimazione normale)

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