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Proprietà della varianza


La varianza gode di importanti proprietà. Vediamone alcune tra le più rilevanti.
La varianza di una variabile casuale X è uguale alla differenza tra il valore aspettato del quadrato di X e il quadrato del valore aspettato di X:
[math]Var[X ] = E[X^2 ] - E^2 [X ] [/math]
Questa proprietà può essere ricavata sviluppando il quadrato:
[math]Var[X ] = E[(x - E[X ])^2 ] =E[ x^2 + E^2 [X ] -2xE[X ] ][/math]
e utilizzando la proprietà delle combinazione lineare:
[math]Var[X ] = E[X^2 ]+ E[E^2 [X ]] - E[2xE[X ]][/math]
[math]= E[X^ 2 ] + E^2 [X ] - 2E[X ]E[X ] = E[X^2 ] - E^2 [X ] [/math]

È immediato verificare che, data una costante a ed una variabile casuale X
[math]Var[a] = 0[/math]

[math]Var[aX ] = a^2 Var[ X ][/math]

Si può inoltre dimostrare che la varianza di una combinazione lineare a coefficienti costanti di più variabili casuali statisticamente indipendenti è uguale alla combina zione lineare delle rispettive varianze con i coefficienti elevati al quadrato:
[math]Var\left [ \sum a_{i}X_{i} \right ]=\sum a_{i}Var[X_{i}][/math]

Come conseguenza di questa proprietà si ha che la varianza della media aritmetica di un campione è uguale alla varianza dell’intera popolazione, divisa per il numero N di misure (la dimensione) che compongono il campione:
[math]Var[\bar{X}]=\frac{1}{N}Var[X] [/math]

Infatti, considerando la media aritmetica come una combinazione delle xi con coefficienti tutti uguali a 1/N e utilizzando la proprietà
[math]Var[aX ] = a^2 Var[ X ][/math]
,
si ha:

Var[\bar{X}]= \sum \frac{1}{N^2}Var[X_i]=\frac{1}{N^2}\sum Var[X_i]= \frac{1}{N^2}N Var[X_i]

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