Proprietà della varianza
La varianza gode di importanti proprietà. Vediamone alcune tra le più rilevanti.
La varianza di una variabile casuale X è uguale alla differenza tra il valore aspettato del quadrato di X e il quadrato del valore aspettato di X:
È immediato verificare che, data una costante a ed una variabile casuale X
Si può inoltre dimostrare che la varianza di una combinazione lineare a coefficienti costanti di più variabili casuali statisticamente indipendenti è uguale alla combina zione lineare delle rispettive varianze con i coefficienti elevati al quadrato:
Come conseguenza di questa proprietà si ha che la varianza della media aritmetica di un campione è uguale alla varianza dell’intera popolazione, divisa per il numero N di misure (la dimensione) che compongono il campione:
Infatti, considerando la media aritmetica come una combinazione delle xi con coefficienti tutti uguali a 1/N e utilizzando la proprietà
si ha:
Var[\bar{X}]= \sum \frac{1}{N^2}Var[X_i]=\frac{1}{N^2}\sum Var[X_i]= \frac{1}{N^2}N Var[X_i]
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