La moda in matematica: misurare la frequenza dei valori

Concetti essenziali

In statistica, il termina moda (o norma) si indica con V0 e indica il valore che compare con maggior frequenza all’interno di una serie di dati. La moda può essere anche definita una misura di tendenza come lo sono la media e la mediana. Tuttavia, è possibile che, in una serie di dati, non sia possibile individuare la moda o che, ne esistano più di una: in quest’ultimo caso si parla di serie bimodale, trimodale o, semplicemente. multimodale.
Quando la serie comprende dei valori singoli, si parla di moda, se, invece, la serie è continua si parla di classe modale. Pertanto, la classe modale è l’intervallo di valori il cui effettivo è il più elevato in una serie di dati raggruppati per classe. Di solito i valori della serie sono numerici, ma si può anche determinare la moda di una serie che non sia numerica.

Esemplificazioni

Per esemplificare la procedura da seguire, utilizziamo la serie {18, 21, 11, 21, 15, 19, 17, 21, 17}. Se necessario, essa potrà essere integrata da altri valori
1) Ordiniamo la serie in ordine crescente, ossia: {12, 14, 17, 17, 18, 20, 21, 21, 21.
2) Ora contiamo la frequenza di ogni valore:
Nella serie data,
12 compare una sola volta
14 compare 1 volta
17 compare 2 volte
18 compare 1 volta
20 compare 1 volta
21 compare 3 volte
21 è il valore che si ripete più frequentemente e corrisponde alla moda della serie in esame
V0 = 21 A volte viene indicata anche con M0

Altro esempio

Supponiamo di dover individuare qual è, mediamente, il numero di animali domestici adottati da un campione di 50 famiglie. In tal caso si ricorre ad un prospetto con dati “condensati”:
12 famiglie – 0 animali
18 famiglie – 1 animale
11 famiglie – 2 animali
6 famiglie – 3 animali
3 famiglie – 4 animali
Il modo corrisponde a 1 animale domestico (Moda = 1) perché tale dato si ripete in 18 famiglie

Individuazione della moda per classi modali

Si ha questa tipologia di moda quando i valori sono raggruppati per intervalli o classi (es. classi di età)Immaginiamo di dover individuare la moda relativa ad un campione di 50 persone di un determinato quartiere che praticano uno sport.
[0 a 5 anni] : 5 effettivi
[6 a 10 anni] : 12 effettivi
[11 a 15 anni] : 10 effettivi
[16 a 20 anni]: 8 effettivi
[21 a 25 anni]: 15 effettivi
La classe modale è [21,25]: essa raggruppa il numero più alto di effettivi che in quel quartiere pratica regolarmente uno sport: sono i giovani fra i 21 e i 25 anni ad essere più interessati alla pratica di un’attività sportiva.
Per arrivare ad una stima più precisa, si calcola la media aritmetica fra 21 e 25 ≈ (21+25)/2 = 23 anni

Attenzione: La moda non deve essere confusa, né con la media, né con la mediana. In ogni modo, tutti e tre gli indici sono utilizzati in statistica quando si procede ad una prima analisi di dati.

Media

La media è un indicatore molto semplice che serve per avere un quadro sintetico di una situazione. Si ottiene sommando tutti i valori e dividendo il risultato per il numero delle misurazioni. Pertanto, essa può essere conosciuto anche con due elementi soltanto. In pratica, si tratta di una semplice media aritmetica.
Esempi:
Nella vita scolastica quotidiani si sente spesso questa frase: Con che media sei stato promosso? Con che media sei stato portato dal docente di latino allo scrutinio?
Calcoliamo la media riportata da Alberto alla fine dell’anno scolastico
Italiano 7 - Latino 6 - Matematica 7 - Latino 7 - Filosofia 7 - Storia 8 - Fisica 6 - Scienze 7 - Inglese 8 - Arte 6
Educazione fisica 7
Sommiamo le valutazioni nelle singole materie (=76) e dividiamo per il numero di materie (=11) e otteniamo 6,90, cioè una valutazione complessiva che sfiora il discreto
Ecco i voti che Giovanna ha riportato a latino nel secondo quadrimestre: 6,5 – 6 – 4,5 – 6,5 – 5,5 – 5
Media = 34 : 6 = 5,6
La valutazione complessiva non è adeguata anche se non molto distante dalla sufficienza

Mediana

La mediana è il valore centrale di una serie statistica. "Centrale" significa che fra la mediana e i due estremi della serie esite lo stesso numero di valori. Esempio: {9, 10, 12, 15 , 17, 19, 21}. 15 è la mediana perché è il valore di mezzo
Bisogna anche notare che nella serie data come esempio il numero dei valori è dispari e questo aiuta molto nell’individuazione della mediana. Qualora, la serie fosse costituita da un numero di valori pari, esempio {12, 16, 17, 17, 18, 20, 21, 21, 22, 24}, si procede in questo modo:
• si sommano i due valori centrali (18, 20) = 38
• il risultato si divide per 2 = 38/2 = 19

Altri concetti

Rispetto alla mediana e alla media, la moda ha il vantaggio che può essere individuata anche su distribuzione qualitative e non solo quantitative (per esempio i colori, le specie di un albero, ecc.). Può succedere che la moda, la media e la mediana coincidano: questo avviene quando la frequenza dei valori e unimodale e simmetrica. Nel caso in cui la distribuzione valoriale è asimmetrica media, mediana e moda non coincidono.