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Teorema dei punti medi - Conseguenza

Ripetiamo l'enunciato del teorema dei punti medi, il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo, è parallelo al terzo lato ed equivalente alla sua metà.
Conseguentemente a ciò, il triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati di un qualsiasi triangolo, è simile al triangolo iniziale, e, equivalente ad
[math]\frac{1}{4}[/math]
dell'area del triangolo iniziale.
Proviamo a dimostrare
Sia
[math]ABC[/math]
un triangolo, e siano:
  • D il punto medio di AB;
  • E il punto medio di BC;
  • F il punto medio di AC.
Per il Teorema dei Punti Medi abbiamo che:
[math]DE = \frac{1}{2}AC[/math]
[math]
EF = \frac{1}{2}AB
[/math]
[math]
DF = \frac{1}{2}BC
[/math]
Di conseguenza i triangoli
[math]ABC[/math]
e
[math]DEF[/math]
sono simili, perché hanno tre lati in proporzione.
Se si traccia l'altezza del triangolo
[math]ABC[/math]
e del triangolo
[math]DEF[/math]
, avremo che:
[math]h_{DEF} = \frac{1}{2}h_{ABC}[/math]
Di conseguenza il rapporto tra le aree sarà equivalente a
[math](\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}[/math]
.
Esercizio
Sia ABC un triangolo equilatero di lato 8. Siano D, E, F i punti medi dei lati. Si costruisca il triangolo DEF, e si consideri il triangolo GHI dato dai punti medi dei segmenti DE, EF, DF. Calcolare l'area del triangolo GHI.
Svolgimento
Calcoliamo innanzitutto l'area del triangolo ABC.
[math]S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2}*8*8*\frac{1}{2}=16\sqrt{3}[/math]
A questo punto l'area di DEF sarà uguale a
[math]16\sqrt{3}*\frac{1}{4}=4\sqrt{3}[/math]
.
Infine si ottiene che l'area di GHI è uguale a:
[math]4\sqrt{3}*\frac{1}{4}= \sqrt{3}[/math]
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