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L’eguazione di una retta

L’equazione della retta è scritta in forma implicita:

[math]ax+by+c=0[/math]
forma implicita

per disegnare una retta DEVO passare dalla forma implicita a:

[math] y= mx + q[/math]
forma esplicita

[math]m[/math]
è il coefficiente angolare (determina l’inclinazione della retta)
[math]q[/math]
è il termine noto
se
[math]y=mx[/math]
la retta passa per l’origine.
Il coefficiente angolare dà informazioni sulla “pendenza” della retta

Esempio:
scriviamo in forma esplicita l’equazione

[math]9x+3y-2=0[/math]

ricaviamo y:

[math]3y=-9x+2\qquad y=-9/3x +2/3\qquad y= -3x+2/3[/math]

Il coefficiente angolare è -3, l’ordinata all’origine è 2/3


Il coefficiente angolare note le coordinate di due punti
Considerando la retta di equazione

[math]y=2x -1[/math]
e due suoi punti
[math]A(2;3)[/math]
e
[math]B(3;5)[/math]
.
Calcoliamo il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti.
[math]\frac{y_a – y_b}{x_a-x_b}=\frac{5-3}{3-2}=2[/math]


Retta noto m E noto un punto

[math]Y – Yp = M( X-Xp)[/math]

Esempio
equazione passante per il punto

[math]P( -3; 1/2)[/math]
e coeff. Angolare noto
[math]m=-4[/math]

Risolvo, sostituendo:
[math]Y – 1/2= -4 (X + 3)\\
Y=-4X – 23/2[/math]


Equazione di una retta passante per 2 punti

[math]\frac{y-y_a}{y_b-y_a}=\frac{x-x_a}{x_b-x_a}[/math]


Distanza tra due punti
1 caso: stessa ordinata - orizzontale

Formula:

[math]AB = |X_B – X_A|= 6 – 2 = 4[/math]

2 caso: stessa ascissa - verticale

Formula:

[math]AB = |Y_b – Y_a| = 5- 1 = 4[/math]


3 caso: ascissa e ordinata diversa

Formula:

[math]AB=\sqrt{(X_a – X_b)^2 + (Y_a – Y_b)^2}[/math]

Usata anche come formula generale


Punto medio del segmento AB

Formula:

[math]M=\left( \frac{X_a + X_b}{2} ; \frac{Y_a + Y_b}{2}\right)[/math]


Le rette parallele
Abbiamo visto che il coefficiente angolare indica la pendenza di una retta rispetto all’asse X. Poiché due rette parallele formano con l’asse X due angoli congruenti, ci aspettiamo allora che due rette parallele abbiano lo stesso coefficiente angolare.

Aventi due rette

[math]r: Y= -2X +3 \qquad s: Y=-2X+5\ \Rightarrow\ mr=-2=ms\ \Rightarrow\ r // s[/math]


Le rette perpendicolari
Il coefficiente angolare è l’antireciproco dell’altro

Aventi queste rette:

[math]r: Y= -3/5 X + 4/5 \qquad s: Y= 5/3 X +8\\
mr= -3/5\qquad ms= 5/3\\
5/3 \cdot(-3/5)= -1\ \Rightarrow\ r\bot s[/math]

Distanza da un punto a una retta

L’equazione deve essere in forma implicita

[math]aX+bY+c=0[/math]

Formula:

[math]d=\frac{│a\cdot X_p + b\cdot Y_p + c│}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

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