Problemi di matematica generale

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1

         

cos sin cos sin esin sin 0

da cui .

e

Ne segue che deve essere  

     

1 ,

2cos sin e sin 0

e  

   1 sin 0

ossia: (7) e (8) .

2cos e e

L’equazione (7) non ha soluzioni,

     

k

mentre la (8) ha la soluzione , ove k 0, 1, 2,.....

Con questa soluzione, la matrice del sistema diventa:

1 1 0



(9) .

e 1 0

 

1

e 1 0

La matrice (9) ha sicuramente rango 2 . Si conclude che delle 3

equazioni del sistema (5) solo 2 sono indipendenti; ne segue che delle

tre equazioni al contorno solo 2 sono indipendenti. Il sistema è quindi



1

risolubile e ammette soluzioni.

Risolviamo il sistema (5) prendendo come equazioni indipendenti la

a a

1 e la 2 . Si ha:      

 

c c 0 c 0 c c



1 2 3 2 1

 

(10)       



 c e c cos k c sin k 0 , c e c 0 .

1 2 3 1 2

a

2

Sostituendo nella equazione del sistema si ha: 52

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 

1



  

 

 

c e c 0 c 0

, ; quindi .

c e 0

1 1 1

1  

e

Collegando i risultati, le tre condizioni al contorno del problema

differenziale ci permettono di trovare:

     

k c c 0 c

, , costante arbitraria .

1 2 3

Sostituendo nella (4), possiamo dire che il problema differenziale ha



1 soluzioni date dall’equazione:  

y (x) c sin(k x)

(11) .

k k



c c c

Abbiamo posto per indicare che i valori della costante

3 k 3

 dell’argomento della funzione

k x

possono variare assieme ai valori

goniometrica.

   

k

I valori con sono gli autovalori del problema

k

differenziale; 

c sin(k x)

le funzioni sono le autosoluzioni .

k

Per la linearità dell’equazione differenziale (1), data dal quesito iniziale,

 

c sin(k x)

una qualsiasi somma delle funzioni è ancora una

k

soluzione dell’equazione stessa; ne segue che la soluzione più generale

è data dalla funzione: 



  

y (x) c sin(k x)

(9) .

k k



k

Verifichiamo tale soluzione. 

    k 0

Per k = 0, si ha ovviamente . Per si ha:

y(0) y(1) y( 1) 0

 

 

        

2 2

y' k c cos(k x) y '' k c sin(k x)

, ,

k k

 

k k 53

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

      

     2 2 2

3 3 k k

y ''' k c cos(k x) , , .

k



k   

2 2 2 nell’eq. differenziale (1)

k

Sostituendo e

y, y', y'', y'''

     

2 2

y ''' y '' y ' y 0

si ha 



       

3 3 2 2

c [ k cos(k x) k sin(k x)

k 

k

      

3 3 2 2

k cos(k x) k sin(k x)] 0 .



l’identità 0 0

Si ha così . c.v.d. 54

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24. Limite I di una forma indeterminata 

In una semicirconferenza di diametro è inscritto un

AB 2r



BC CD

quadrilatero convesso ABCD tale che . La perpendicolare

al lato DC nel punto C intersechi nel punto E il diametro AB (fig.

15) .  

Posto (e quindi anche )s si determini il limite

BAC x CAD x

seguente 

CE EB 1

 

(1) (Si ha ) .

lim L L



 AB AD 4



x 0

Suggerimenti

  

Si ha poiché i due angoli hanno i lati a due a due

ACD BCE  

  

o CB 2rsen x AD 2r cos 2x

perpendi-colari ; poi , ,

90 2x

. Per il teorema dei seni applicato al triangolo CEB si trova

  .

EB 2rsenx cos 2x sen3x 55

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25. Limite II di una forma indeterminata 

In una semicirconferenza di diametro è inscritto un

AB 2r

  

quadrilatero convesso ABCD . Sappiamo che , ,

BAC 3x CAD

  .

ACD 2

Al variare dell’angolo x variano anche gli altri due angoli, anche se

uno di essi è sempre la metà dell’altro. Calcolare il limite

AC 3

 

(1) ( Si ha ) .

lim L L

 AD 2

 

x ( 6)

Suggerimenti    

  

AC 2r cos3x

Si ha , , ACD ABD 2

A D 2 r c o s ( 3 x ) AD

come angoli che insistono sullo stesso arco ,

   

          0 x 6

da cui , quindi . Si

BAC ACB 2 x

6

 

2 2

2cos x (cos x 3sen x) 

lim .....

trova .

 

 3 cos 2x sen2x

 

x ( 6) DC 

Di questo problema si calcoli anche il limite lim L'

 AD

 

x ( 6)

1



( )

L' 2 56

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26. Limite III di una forma indeterminata 

In una semicirconferenza di diametro è inscritto un

AB 2r

quadrilatero convesso ABCD . Sappiamo che l’angolo ha

BAC

ampiezza x mentre l’angolo ABD ha ampiezza 2x.

Determinare il limite seguente 

AB BD 4

 

(1) ( )

lim L L



 BD DC 5



x 0

Suggerimenti o o

   





Si ha , , , .

DAB 90 2x DAC 90 3x

ACD 2x

BDC x 

BD 2rcos2x

Inoltre e (teor. della corda)

  

o .

DC 2rsen(90 3x) 2rcos3x

27. Limite IV di una forma indeterminata 

In una semicirconferenza di diametro è inscritto un

AB 2r

quadrilatero convesso ABCD . Sappiamo che l’angolo ha

BAC

x mentre l’angolo ABD

ampiezza ha ampiezza 2x. Determinare il

limite seguente 

AD BC 

(1) lim L

 

 AB (AB DC)



x 0

Suggerimenti

  

o

BC 2rsen x

Si ha e (teor. della corda ) .

DC 2rsen(90 3x)

57

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28. Limite V di una forma indeterminata 

In una semicirconferenza di diametro è inscritto un

AB 2r

quadrilatero convesso ABCD avente i lati AD e DC uguali.. Si

consideri la perpendicolare al lato DC nel punto C e sia E il punto di

 

intersezione con il diametro AB. Posto , calcolare

BAC BDC 2x

il limite EB 1

 

(1) ( Si ha ) .

lim L L

 AB 3

 

x ( 4)

Suggerimenti  

 

Posto , si ha

DCA

DAC

          

  

o o o o

. Ma , quindi ;

180 (90 2x) 90 2x 45 x

 

 

o BC 2r sen x

anche . Poiché ,

BCE 45 x

applicando il teor. dei seni al triangolo (CEB) possiamo trovare EB e il

limite. 58

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29.  

Limite di una funzione per x x   



x 1

lim 2

Verificare il limite (1) .





x 1

Svolgimento x



 

x 1

Per si ha .

0



x 1

Dobbiamo verificare il sistema di disequazioni



 x 1





(2) x

 



 x 1

2 M

e dobbiamo far vedere che le soluzioni del sistema formano un intorno



destro del punto .

x 1

Prendendo i logaritmi in base 2 dei due membri della seconda

relazione del sistema (2) , essa diventa

x x

 

  



x 1 , ,

log 2 log M log M 0



2 2 2

x 1

  

x x log M log M 

2 2

(4) ossia ,

0



x 1

  

x log M x log M 

2 2

e quindi 0



x 1

Pertanto il sistema (4) diventa



 x 1

  

 log M

(5)        

2

(x 1) [x (log M 1) log M] 0, rad. 1, v.int .

  



2 2 log M 1

 

 2 59

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log M

  2

Soluzione 1 x 

log M 1

2

Le soluzioni del sistema (5) formano effettivamente un intorno destro



del punto e quindi il limite è verificato .

x 1

30. Calcolo elementare della derivata di una funzione

 3

Calcolare in modo elementare la derivata della funzione .

y 1 x

Si ha:

(1)  

3 3

x x h

1 1

    

3 3

 3 x (x h)

3 3

1 x x h

x h x

   

D lim lim lim   

3   

h h 3

x h x (x h)

x 0 x 0 x 0

       

  3

2 2

3 3

3 3 3 3

( x h x ) ( (x h) (x h) x x )

x h x

    

lim lim

  

           3

3 2 2

h x (x h)

x 0 x 0 3

3 3

h x (x h) ( (x h) (x h) x x )

 

(x h x)

  

lim

          3

2 2

x 0 3

3 3

h x (x h) ( (x h) (x h) x x )

4



1 1 1

     3

x .

    3

3 3 3 3 3

2 2 2 2 4

x ( x x x ) 3 x

Concludendo, si ha: 1 1 4

   

1

1 1 1

    

3 3 3

D D Dx x x

(2) .

3 1 3 3

x x 60

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31. Cono di sup. laterale minima circoscritto ad una sfera

Di tutti i coni circoscritti ad una medesima sfera di centro O e raggio

r trovare quello di superficie laterale minima (fig. 12).

Sia AB un diametro del cerchio di base ; evidentemente esso passa

per il piede H dell’altezza VH del cono . Sia poi VT una generatrice

L’area della sup.

del cono e T il punto di tangenza con la sfera.

laterale del cono è data dalla formula

  

S HB VB

(1) .

Risoluzione trigonometrica   

 0 x 2

Poniamo , con . Si ricava :

HVB x