Esercizi parabola

2

1. E’ data la parabola di equazione y = -x + 8x – 12.

a. Determina le coordinate dei punti di intersezione con la retta di equazione y = 3.

b. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola nei punti A e B e le coordinate del loro punto di

intersezione C

c. Trova il rapporto tra l’area del triangolo ABC e quella del rettangolo con un lato sull’asse x, inscritto

nella parabola e avente due vertici in A e B.

sol. A(3;3), B(5;3), t : 2x – y – 3 = 0, t : 2x + y – 13 = 0; C(4; 5), rapp. = 1/3

A B

2

2. Data la parabola y = -2x - 4x + 4 inscrivi nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x

un rettangolo che abbia l’altezza di lunghezza doppia della base

Sol. A(-2; 0), B(0;0); C(0; 4); D(-2; 4) 2

3. Dato il fascio di equazione y = (2k + 1)x – kx – k – 1 determina il parametro k in modo che

a. la parabola sia tangente alla retta y = 2x - 1 nel punto di ascissa uguale a 2.

b. la parabola abbia il vertice sulla retta x – y – 1 = 0.

Sol. domanda b. : k = 0 oppure k = -2/3

4. Una parabola ha il vertice nel punto V (-1; 8) e stacca sull’asse x una corda di misura 4. Scrivi

l’equazione della parabola. Sul ramo di parabola appartenente al secondo quadrante determina il/i

punto/i che abbiano dalla bisettrice del primo e terzo

quadrante distanza di misura .

4 2

2

Sol. y = -2x – 4x + 6; P(-2; 6), Q(-1/2 ; 15/2)

2

5. In una parabola di equazione y = ax + bx + c la

distanza tra il fuoco e la direttrice misura

2 2

   

b ac b ac

4 1 4 1

 

a. b.

2 2

a a

4 4

1 1

c. d.

2a 4a

2

6. Rappresentare la parabola y = x - | 2x – 1 | nel piano

cartesiano. Considerata una retta generica parallela

all’asse x, discutere il numero delle soluzioni al

variare di questa retta nel piano cartesiano.

  

2

y kx 4kx

1. Data la parabola , scrivere l’equazione della parabola simmetrica della prima rispetto

all’asse x.

Siano O e A le intersezioni delle due parabole, determinare k in modo che il quadrilatero OV AV abbia area

1 2

uguale 32, dove V e V sono i vertici delle due parabole.

1 2

Determinare i vertici del quadrilatero che ha i lati paralleli al quadrilatero OV AV e tangenti alle parabole .

)

1 2

Calcolarne l’area.   

2

y x 8x

2. E’ data la parabola . determinare le circonferenze tangenti alla parabola e all’asse x

appartenenti alla parte concava della parabola.

Determinare i punti di tangenza delle due circonferenze con la parabola.

Determinare l’area del quadrilatero formato dai quattro punti dopo averne specificato la tipologia.

3. Scrivere l’equazione della parabola P con asse di simmetria parallelo all’asse y, passante per i punti

1

O(0;0), A(4;0) e avente il vertice di ordinata 2.

Scrivere l’equazione della parabola P simmetrica di P rispetto all’asse x.

2 1

Nella parte di piano compresa tra le due parabole inscrivere un quadrato con i lati paralleli agli assi

cartesiani: determinarne i vertici, il perimetro e l’area.

Determinare l’equazione della circonferenza inscritta nel quadrato.

4. Si consideri la famiglia di coniche di equazione

        

2 2 2 ��,

(k 2)x (1 2k)y (2k 2)x (k 1)y 2k 0, k

a) Determinare k affinché rappresenti una circonferenza nel piano cartesiano reale.

Calcolarne centro e raggio.

b) Determinare k affinché rappresenti una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x. Scriverne

l’equazione .

(in forma implicita)

c) Determinare k affinché rappresenti una parabola P con asse di simmetria parallelo all’asse y. Scriverne

1

l’equazione. 2 2

   

y y

d) Considerando la retta . Determinare l’area del triangolo formato dalla retta e dalle

3 3

2

 

y

tangenti alla parabola P nei punti di intersezione della retta con la parabola stessa.

1 3

  

y x x 2x 1

5. Disegnare la curva di equazione

Simulazione di verifica   

2

y kx 4kx

1. Data la parabola , scrivere

l’equazione della parabola simmetrica della prima

rispetto all’asse x. Siano O e A le intersezioni delle

due parabole, determinare k in modo che il

quadrilatero OV AV abbia area uguale 32, dove V

1 2 1

e V sono i vertici delle due parabole.

2

Determinare i vertici del quadrilatero che ha i lati

paralleli al quadrilatero OV AV e tangenti alle

1 2

parabole. Calcolarne l’area.   

� 2

y kx 4kx

 

2

y kx 4kx �

La parabola simmetrica della parabola data è . Dal sistema si ricava O (0;0) e A(4;0). Il

 

2

y kx 4kx

�

quadrilatero è un rombo. La diagonale sull’asse x vale 4.

I vertici sono V (2;4k) e V (2;-4k). La diagonale parallela all’asse y è 8k

1 2

�

4 8k  32

Da si ricava k = 2 (la soluzione k = - 2 rappresenta le stesse parabole). Quindi le parabole sono

2

    

2 2

y 2x 8x e y 2x 8x . I coefficienti delle rette a cui appartengono i lati del rombo sono +4 e -4. Determino una retta

parallela ad un lato e tangente alla parabola.

  

� 2

y 2x 8x

�

Dal sistema trovo il valore di q = 2. Data la geometria del problema, trovo le intersezioni di questa retta con l’asse

  

y 4x q

�

x e con l’asse di simmetria. Quindi se y = 0 allora un punto è (-1/2 ; 0). Se x = 2 allora un altro vertice è (2 ; 10). Per simmetria posso

quindi dedurre gli altri due punti (9/2 ; 0) e (2 ; -10).

Una diagonale misura 9/2 – (-1/2) = 10/2 = 5. L’altra misura 10 – (-10) = 20. L’area è 50.

Problema n. 2

La parabola interseca l’asse x nei punti (0;0 e (8;0). Il vertice è V(4;16).

Per simmetria del problema il centro delle circonferenze tangenti deve appartenere all’asse di

simmetria della parabola. Quindi a = - 8. La condizione di tangenza con l’asse x determina che c =

16. La condizione di tangenza con parabola determina che b = 9 oppure b = -7.

         

2 2 2 2

x y 8x 9y 16 0 x y 8x 7y 16 0

Le circonferenze sono e .

   

A(4 2 5; 4) B(4 2 5; 4)

La prima circonferenza interseca la parabola nei punti e . La

 

D(4 2 3; 4) C(4 2 3; 4)

seconda circonferenza interseca la parabola nei punti e . Il

4 5 4 3

quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele. La base AB misura , la base DC misura .



16( 5 3)

L’altezza misura 8. L’area è .

Problema n. 3

Il passaggio per l’origine implica c = 0. Le altre due condizioni danno il seguente sistema (tenendo

presente che c = 0):  

b 4a

�

     

0 16a 4b

� b 4a 2

�

� � �

� �



 2 4 2

� � �

2 1

( 4a) 16 a

b 

 

 a

�

2 2

2

� � �

� 2

� 4a

4a 4a

�

1

  

2

y x 2x

La parabola è . Quella simmetrica è

2

1

 

2

y x 2x . Si incontrano nei punti (0;0) e (4;0). I

2

vertici sono (2; 2) e (2;-2). Ponendo A(x;y) il punto della

1

  

2

y x 2x

parabola a sinistra dell’asse di

2

simmetria, la condizione che ABCD sia un quadrato si può

esprimere con la condizione che la distanza di A dall’asse di

simmetria, cioè 2 – x, sia uguale alla distanza di A dall’asse

x, cioè y.  

y 2 x

� �  

x 3 5

� �

�

� �

1

Dal sistema . La

  

2

y x 2x  

y 5 1

� �

� 2

 

x 3 5

soluzione va scartata perché non corrisponde

ad un quadrato nella parte di paino compresa tra le due

parabole. Per simmetria con l’asse x e con l’asse di

simmetria della parabola gli altri punti sono

       

(3 5; 5 1), (1 5; 5 1), (1 5; 5 1)